何 帆,黃 迎,石秋菊,歐陽康

(湖南理工學院 數(shù)學學院,湖南 岳陽 414006)

引言

2012年全國大學生數(shù)學建模比賽B題是一個如何給大同某建筑配置太陽能發(fā)電裝置的優(yōu)化問題.首先原題中給的太陽輻射數(shù)據(jù)是按時刻獲取的,為了準確地計算出年總輻射強度,對輻射數(shù)據(jù)先按時刻做平均,得到每時刻的平均輻射強度,再對平均輻射強度進行擬合得到輻射強度的變化函數(shù),由該函數(shù)通過積分可得≥30W/m2和≥80W/m2輻射的總強度.其次,設(shè)計太陽能發(fā)電的使得收益效率最大化的電池及逆變器的選擇問題,需要結(jié)合實際情況,我們可以把基本需求歸納為:選用的電池及逆變器的成本最低,但使得收入最大化.因此需建立非線性整數(shù)規(guī)劃模型來對最優(yōu)方案進行選擇.再次,由于需確定的變量非常多,目前有的整數(shù)規(guī)劃算法均不能有效地求解該問題.在第一問中給出了對針對同類型電池組件進行性價比的優(yōu)選模型,對電池組件進行了優(yōu)選.然后再取最優(yōu)和次優(yōu)的電池組件作為選擇的對象進行模型的計算,大大減小了計算量.最后,在第二問可調(diào)整電池組件的安裝角度時,先考慮如何確定電池組件平面的方位角和高度角使得接受的太陽光年輻射總強度能達到最大,然后分析可行的安裝方案,并考慮陰影的影響.第三問根據(jù)第二問的結(jié)果,分析考慮電池組件的最佳方位角和高度角來進行參考設(shè)計小屋,可使得電池組件的安裝的復雜程度降低.

1 模型的假設(shè)

(1)假設(shè)題中所給的數(shù)據(jù)真實可靠;

(2)假設(shè)太陽能小屋的光照僅受氣象條件影響,而不受樹蔭等其它外界因素的影響;

(3)假設(shè)太陽能光伏電池組、逆變器在自身溫度變化的情況下,其電能的轉(zhuǎn)換效率不變;

(4)假設(shè)每個表面上的陽光輻射強度是均勻的;

(5)假設(shè)電池組并聯(lián)時,電壓差不超過10%,電壓按最低電壓輸出.

2 模型的建立

2.1 問題一

在該問中,對數(shù)據(jù)進行了預處理,并對太陽的輻射建立了曲線擬合模型,計算出年太陽輻射總強度.并建立了問題一的基本模型,進行了優(yōu)化,計算出相關(guān)的結(jié)果.

圖1

2.1.1 數(shù)據(jù)預處理及模型分析

從附件4中的數(shù)據(jù)來看,屋頂?shù)拈L斜面(圖1中ABFE面)的輻射強度未知,需計算ABFE面上的陽光輻射強度.當陽光從某角度入射ABFE面時,在 ABCD平面和 DCFE立面上投下的陰影由幾何學可知都是平行四邊形.而ABFE面上的輻射能量就等價于陰影上的輻射能量.因此ABFE面上的輻射強度可按下式近似計算,

其中W水平、W南、W水散分別為水平方向、南立面方向、水平散射的總輻射強度.

每天的輻射強度受氣象的影響比較強烈,為了計算全年的總輻射強度,這里采用先求每時刻上的平均數(shù)據(jù),再建立曲線方程.由于當輻射強度小于30 W/m2時,太陽能電池均不能工作.這里將小于20的數(shù)據(jù)都剔除,再進行曲線的擬合.

圖2 各方向單日平均輻射強度及擬合曲線(*原始曲線,+擬合曲線)

由圖2可知除了東、西面,其它方向都比較符合二次曲線的特征.因此對除了東、西立面外其它方向均采用二次曲線擬合模型:f(x)=ax2+bx+c,而東、西立面的輻射強度則采用三次曲線擬合:f(x)=ax3+bx2+cx+d.使用最小二乘法可計算出系數(shù),結(jié)果見表1.

表1

考慮太陽的輻射是連續(xù)變化的,這里可以根據(jù)擬合函數(shù)進行積分,可得到一天中太陽的總輻射強度,假設(shè)每年按365天計算,即可得到每個方向上的年總輻射量,公式如下:

考慮某些電池在 30W/m2或 80W/m2的輻射強度以下不能工作,因此積分的上下限分別取方程f(t)=30和f(t)=80的根,從而可計算出每天可產(chǎn)生電能的太陽總輻射量,見表2.

表2

2.1.2 建立模型

由于同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時,同型號的電池板可串聯(lián),不同型號的電池板不可串聯(lián).在不同表面上電池不能進行串、并聯(lián)連接.因此這里認為在不同表面上不能共用逆變器.總的發(fā)電量是每個表面發(fā)電量的和.總的經(jīng)濟效益為所有面上的經(jīng)濟效益的和,因此該問題可以分解為每一個面上的組合優(yōu)化問題.外表面有 6個,其中頂部小斜面由于朝北,并且坡度較陡,不適合安裝光伏電池,因此這里僅考慮其它5個面.假設(shè)第l個表面上的經(jīng)濟收入為Zl,成本為Cl,則可得經(jīng)濟效益的表達式:.

假設(shè)第l個表面:使用了第i種逆變器的數(shù)量的數(shù)量為xl,i個,第i個逆變器下使用第j個電池有g(shù)l,i,j組,每組電池數(shù)量為nl,i,j,所有光伏組件在0～10年效率按100%,10～25年按照90%折算,25年后按80%折算,則35年該表面的發(fā)電總收入為,

而該面上的總成本則為

其中ηi表示第i種逆變器的效率,ηPVj為第j塊電池板的轉(zhuǎn)換效率,Wj表示第j塊電池板受太陽光的輻射強度,Mi為第i塊逆變器的價格,MPVj為第j塊電池板的單價(元/wp),PPVj為額定功率,每塊電池的價格實際上是PPVjMPVj.

考慮到小屋的各個外表面面積約束,逆變器的額定功率及允許輸入電壓范圍約束,及不同電池組并聯(lián)的約束,從而建立如下基本模型.

模型Ⅰ:

其中Sj為第j種電池板的面積,為可鋪設(shè)面的面積,Pi為第i種逆變器的功率,Uj為第j塊電池板的輸出電壓,ULOWi與UUPi為第i種逆變器允許輸入的最低與最高電壓.

2.1.3 模型改進

由于模型Ⅰ變量數(shù)量(共450個變量)過多,通過LINGO編程計算不能得到可行解.模型優(yōu)化的思路為如何減少變量的個數(shù).由數(shù)據(jù)知電池分為3類,每類電池的適用范圍相同.因此考慮在相同的光照強度、相同的面積下對每類電池的性價比,選出每類電池性價比最高的 2種電池進行計算可以大大減少模型求解中計算的復雜度.另外還可以根據(jù)每個表面的光照特征來確定適用的電池,進一步減少可選電池數(shù)量,簡化模型的計算量.

(1)由性價比優(yōu)選電池:隨機模擬一塊矩形面積S,給定輻射強度為1000W/m2,比較同類電池產(chǎn)生的功率和其價格的比做為性價比指標進行判定.

模型Ⅱ:

其中i為同一類電池的個數(shù).為了排除特定面積的影響,隨機給出十萬個面積進行計算,然后以十萬次結(jié)果的平均作為性價比的評價指標,模擬結(jié)果見表3.結(jié)果表明3類電池中A3、B7和C6的性價比為各自類別中最高.后面都僅考慮每組排名前兩位的電池型號進行計算.

表3

(2)由太陽輻射優(yōu)選電池:由平均輻射強度可以統(tǒng)計出強度分別超過200,80,30的大致時長(見表4),由此根據(jù)電池的特性可以確定某個外表面上適用的電池類型,比如北立面輻射強度超過80的僅僅只有約4個小時,使用A、B型電池的開機率太低,因此北立面只能選C型電池.

(3)模型優(yōu)化:模型Ⅰ中由于同時考慮了5個表面,在計算上比較復雜.考慮到每個表面是獨立的逆變器,因此可以把總的收益效率分解為5個面的效率的和,每個面的收益效率均使得最大即可,因此這里對每個表面建立相同的模型即可.

表4

模型Ⅲ:

其中NPV為相應表面上可選的電池數(shù)量,該數(shù)量綜合電池的優(yōu)選和輻射強度的優(yōu)選結(jié)果見表5.

表5

表6

2.1.4 模型求解

(1)計算結(jié)果

經(jīng)過簡化的模型數(shù)據(jù)量大大減少,通過LINGO程序計算可得到優(yōu)選結(jié)果見表6.

(2)方案設(shè)計

根據(jù)表6的計算結(jié)果,在方案的設(shè)計時,不僅要考慮方案的可行還要便于實際情況的安裝和維護,設(shè)備的選擇方案見表7.

表7

表8

(3)收益計算

根據(jù)太陽輻射總量和表7的設(shè)備選擇可計算出收入,見表8.易算出每年收入效率為:10.4%.成本的回收年限為:9.2年.

2.2 問題二

對于問題二,選擇架空方式安裝光伏電池,需要考慮電池板的朝向與傾角問題,使得接受到的太陽輻射盡可能大.

2.2.1 問題分析

當電池板法向的高度角和方位角記α,β確定時,可以確定該電池板的所在的平面位置,如圖3,4所示.

圖3

圖4

設(shè)北向為x軸正向,東向為y軸正向,垂直xy平面向上為z軸,設(shè)電池板的法向的高度角和方位角分別為α,β,其法向單位向量 (x1,y2,z3).則x1=cosαcos(π?β),y1=cosαsin(π?β),z1=sinα.太陽的直射方向隨著時間變化的,設(shè)i為日期的序號,t為時刻,第i日,記第t時刻的太陽高度角為ai,t和方位角為bi,太陽光線的單位向量可表示為(?xi,t,?yi,t,?zi,t),向量取負,其中xi,t=cosai,tcos(π?bi,t),yi,t=cosai,tsin(π ?bi,t),zi,t=sinai,t.太陽能電池板法線和太陽光方向夾角的余弦為:

2.2.2 建立模型

記Wi,t為第i天,第t時刻的太陽法向直射強度.對于單位電池板的面積SB=1,則太陽光垂直通過的面積為cosθ,則可求α,β使得一年中總輻射最大的模型,

模型Ⅳ:

其中(xi，t,yi，t,zi，t)由數(shù)據(jù)計算所得.通過編程計算可得到高度角a=34o6′和方位角b=214o3′.但按照這個角度去安裝光伏電池,考慮施工上會有很大的困難,這里僅僅考慮高度角的變化.按每一面的最優(yōu)化建模,得到模型如下,

模型Ⅴ:與模型Ⅲ相同,面積約束改為

2.2.3 模型求解

(1)計算結(jié)果

通過LINGO程序計算得到結(jié)果見表9.

(2)方案設(shè)計

根據(jù)表9的結(jié)果,在方案的設(shè)計時,不僅要考慮方案的可行還要便于實際情況的安裝和維護,設(shè)備的選擇方案如表10.

(3)收益計算

根據(jù)表 9的設(shè)備選擇及計算出的輻射總量可計算出收入見表 11.同時可計算出每年收入效率為:16.4%,成本的回收年限為:6.8年.

表9

表10

表11

2.3 問題三

本問中根據(jù)前兩問給出了計算結(jié)果,參考光伏電池的最優(yōu)高度角和方位角進行了小屋的設(shè)計,并建立最優(yōu)模型進行了計算,計算出了總的收益效率.

2.3.1 問題分析

這里參考問題二中最優(yōu)化的方位角和高度角.方位角在214o3′分,及高度角在 3 4o6′時太陽輻射最強,考慮太陽光法向直射輻射強度在 14點時刻最強.因此在朝向上需要考慮將南立面向西偏一定的角度,或者將西立面向南偏一定角度.另外,對于屋頂朝南的斜坡,需要盡可能地符合最優(yōu)的高度角,以保證屋頂更多地接受太陽輻射,并可使安裝簡化.設(shè)計如圖5所示.

圖5

2.3.2 模型建立

按照上述的設(shè)計方案,頂部和南立面的太陽光輻射可以達到最優(yōu)情況,這里采取墻面附貼的形式進行安裝,通過對一個外表面進行建模所得模型與模型Ⅴ同.但墻外表的太陽光輻射強度按公式(8)計算.

2.3.3 模型求解

采用LINGO編寫程序,計算出結(jié)果.

(1)計算結(jié)果

通過LINGO程序計算(見附錄)可得到計算結(jié)果,見表12.

(2)收益計算

根據(jù)公式(8)計算出的太陽輻射總量和表 8的設(shè)備選擇可計算出收入,見表 13.同時易算出每年收入效率為:21.4%,成本的回收年限為:4.8年.

表12

表13

3 模型的評價

本文中的給出太陽輻射的曲線擬合模型,優(yōu)選電池組合的非線性整數(shù)規(guī)劃模型及改進的模型,針對非線性整數(shù)規(guī)劃模型難以求解的問題,給出了減少變量的優(yōu)選電池的方法法,有效地減低了求解的復雜程度,是一種有效的處理辦法.

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[2] 蕭樹鐵.數(shù)學實驗[M].北京:高等教育出版社,2006:73～77

[3] 【日】太陽光發(fā)電協(xié)會編.太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)的設(shè)計與施工[M].劉樹民,宏 偉,譯.北京:科學出版社,2006