查傳捷 李 琦②

①研究員，②教授，北京大學(xué)數(shù)字地球工作室，北京100871＊ 創(chuàng)新方法基礎(chǔ)性設(shè)計與實施（2008IM05100）

面向氣候變化的復(fù)雜地球系統(tǒng)建模與模擬探索（下）＊

查傳捷①李 琦②

①研究員，②教授，北京大學(xué)數(shù)字地球工作室，北京100871
＊ 創(chuàng)新方法基礎(chǔ)性設(shè)計與實施（2008IM05100）

公設(shè)化 混沌 非線性 非連續(xù)性 蝴蝶效應(yīng) 吸子

科學(xué)界有一種不成文的法則：物理是具體模式，其原始術(shù)語摘自于真實世界的對象與關(guān)系。數(shù)學(xué)則是理想模式，其原始術(shù)語來自于對猜想的演繹。一般說來，物理學(xué)以觀察、測量與實驗為現(xiàn)象辯護。數(shù)學(xué)則是以推理演繹為物本身辯護。前者是對物理現(xiàn)象的詮釋，后者是闡述事物隱含的本質(zhì)。顯而易見，這兩種知識有本質(zhì)上的差異，亦各有先天的盲點與缺陷。因此在入門的瞬間，彼此不一致的裂痕業(yè)已出現(xiàn)，并延續(xù)下來。這就是千百年來科學(xué)知識疑竇叢生的肇因。這篇論文秉持真理，根據(jù)宇宙時空結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換所遵循的自然律為立足點，更為數(shù)學(xué)打開了通往物理公設(shè)化（axiomatisation）的門扉，進而令數(shù)學(xué)與物理學(xué)一致，以破解千百年來科學(xué)界“懸而未解”的種種問題，從根本上徹底消弭了自古以來令數(shù)學(xué)與物理陷于嚴(yán)重困擾的基礎(chǔ)危機。

人類在有文字之前已懂得結(jié)繩記數(shù)，但對于數(shù)字的本質(zhì)，迄今仍未能完全清楚。所以龐加萊在1897年蘇黎世舉辦的第一屆國際數(shù)學(xué)年會上演講時指出：數(shù)學(xué)的目標(biāo)是為了了解時空結(jié)構(gòu)與自然律、數(shù)字的概念，以及美學(xué)［1］。

1 數(shù)字的概念及無理數(shù)問題

據(jù)數(shù)學(xué)史料記載，早在公元前5世紀(jì)以前一位畢達哥拉斯學(xué)派（Pythagorean）的成員伊帕索斯（Hippasus）因為發(fā)現(xiàn) “”而大肆吹噓，結(jié)果被丟進大海。這篇論文既非對數(shù)學(xué)史的補遺，也不對史料考據(jù)感興趣，而是為了闡釋數(shù)字概念及其與宇宙構(gòu)成的元素（原子）兩者之間的關(guān)系。所以，先從數(shù)學(xué)界宣稱業(yè)已破解的希伯特第四個問題著手，這個問題亦即源自于“2 ＝”的證明。由于數(shù)學(xué)界無法提供答案，因此被界定為題目過于含糊而舍棄掉了，后來變更為直線與最短距離問題，并衍生出一門數(shù)學(xué)的旁支——“變分法”，藉由在極值附近點的特質(zhì)，找出一種恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)曲線，來解釋幾何證明極限時所產(chǎn)生的問題。其實這個問題，也就是對無理數(shù)極值的探索。況且古希臘的自然哲學(xué)原本就沒有數(shù)學(xué)與物理的區(qū)分，若以此為出發(fā)點整合數(shù)學(xué)與物理，不亦宜乎？

考慮等腰直角三角形△AOB，令線段AO和OB長度皆為1，因此三角形△AOB斜邊的長度為“”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)家們可以輕易地指出：一個單位等腰直角三角形直 角 對 邊 的 長 度 是 “”， 但 鋸 齒 線AO3A1O4B1O5A2B2B長度為2。（每段長度皆為1／4。）如此繼續(xù)下去，豈不是可以幾何證明 2 ＝？這就是無理數(shù)極值的問題，如圖1。

圖1 以幾何證明 2 ＝

數(shù)學(xué)的目的是探究真理，數(shù)學(xué)是解釋自然的工具，而不是隨心所欲制造一些莫名其妙的東西。凡是基于不存在幻想的論證是無效的。伊帕索斯的“”并不是一件前所未有的“發(fā)現(xiàn)”，而是“創(chuàng)作”了一件子虛烏有的東西，徒增后世學(xué)習(xí)者的負擔(dān)，因此被丟進大海也算是咎由自取。正確的邏輯演繹，并不等于正確的答案，若沒有正確的前提，正確的邏輯也不能演繹出正確的答案，這叫做：“垃圾進來，垃圾出去（garbage in and garbage out）?！毕２卣J為這個問題或許可透過測地線（geodesics）詮釋［2］，如圖2。

圖2 測地線示意圖

一般測量得到的數(shù)據(jù)，往往依尺碼長度而定。顯然一尺一尺的度量遠比一哩一哩的度量要長。一般測量的誤差往往超過40%，或許也算是“證明”了測地線一步步地趨近于1.414 213 562…但始終無法成為真正的”，卻又恰好超過40%！然而不論測量的技術(shù)如何進步，都沒有辦法測量出河流、國界與海岸線真正的長度。當(dāng)測量的尺度小到盡頭，無可避免最后都變成了一團沒有部分的原子?？墒窃拥哪又两袢允强茖W(xué)未解之謎。況且還有一個海森伯的測不準(zhǔn)定理在一旁虎視眈眈。

若不斤斤計較確切長度的極值，那么古埃及的拉繩者們只要一根棍子及一條繩子，就能夠輕易地量出一個單位正方形對邊的長度大致是1.414…奈何“”是個斤斤計較的東西，只要改變其中任意1個數(shù)字，它就再也不是”了。事實上迄今也未有人能夠真正寫出一個正確的”。請看下面的方程式，圖3的Heighway’s Dragon［3］似乎為這個極值問題揭開了神秘面紗的一角：

就物理模式而言，它無法成為觀察、測量與實驗的對象，也無法落地。即使拿宇宙中所有的原子來充當(dāng)數(shù)字，也無法寫出一個”。嚴(yán)格說來，無理數(shù)根本不算是數(shù)字，而是一個字母、一個符號；因為它雖說闡述事物隱含的本質(zhì)，卻非依據(jù)事實。所以無理數(shù)只是一個理想的模式，并不存在，這也就是數(shù)學(xué)的第一個基礎(chǔ)危機。

17 世紀(jì)早期就有了以字母與符號取代繁瑣計算公式與冗長數(shù)字的表達方式。這種簡潔的表達方式影響十分深遠，逐漸改變了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，又蔓延到其他的科學(xué)領(lǐng)域。

圖3 Heighway’s Dragon

希伯特更是全心全意相信符號，他甚至還在《約翰福音》中加上“太初有符號”，他將其解釋為無意義的符號，可以任意重復(fù)。反之，有意義的符號，如2就是1＋1的縮寫，于是1就是1／2＋1／2，也是1／4＋1／4＋1／4＋1／4，或1／4＋3／4，或1／8＋7／8，或3／8＋5／8，…；又譬如字母“a，b，c，…”代表任意數(shù)；“x，y，z，…”代表任意未知數(shù)；“f，g，h，…”是函數(shù)，諸如此類的表達方式，尤其在全新的領(lǐng)域由于沒有現(xiàn)成的表達方式，就出現(xiàn)了大量的符號，配合著嶄新專有名詞與方程式。然而名詞定義往往曖昧不明，方程式的描述方式也有待商榷。

這里舉個簡單的例子：計算一個雞蛋的體積。

當(dāng)然你可以應(yīng)用微積分及公式花費幾小時，或幾分鐘求出一個近似值，誤差不超過±10%?；蛟S，你也可以學(xué)阿基米德將蛋丟進裝了水的量杯中，只要花費幾秒鐘，就可以求出一個近似值，誤差大概不會超過1%。

這種奇怪的計算法當(dāng)然經(jīng)得起重復(fù)驗證，或許物理學(xué)家也會欣然接受？或許還有一些研究基因的學(xué)者們會更進一步睿智地宣稱：因此證明，“雞”只不過是“蛋”用來復(fù)制自己的工具罷了。

2 方程式與代數(shù)“解”

探討方程式的解法，至少應(yīng)該回溯到16世紀(jì)初。這一段數(shù)學(xué)史上最輝煌燦爛的成就，是意大利數(shù)學(xué)家們在三次與四次方程式的代數(shù)“解法”上投入的努力。

三次方程式求解可回溯到德利安問題或倍立方問題。倍立方問題，就是求，相當(dāng)于解三組拋物線與雙曲線方程式：x2＝ay，x2＝bx，xy＝ab，也就是：a∶x＝x∶y＝y(tǒng)∶b，又稱黃金分割、求中項比或斐波那契數(shù)列，顯示出一個源遠流長的問題，即無理數(shù)的存在性問題。

早期有關(guān)方程式的代數(shù)“解法”是從數(shù)學(xué)的“擂臺賽”拉開序幕。在這里可能有必要再一次復(fù)習(xí)一遍三次方程式的通式：

當(dāng)時數(shù)學(xué)家們并不知道這種表示法，他們將此通式分門別類，分成為13種不同的類型，然后分別處理，尋求解法［4］。

三次方程式的“解”究竟是什么模樣？

圖4 電腦繪制的非線性三次方程式f∶z→z3－1的解

轉(zhuǎn)眼三次方程式的熱潮已過，緊接著“五”次方程式登上舞臺。五次方程式的問題更加復(fù)雜，不過此時方程式“解法”的方向，也已經(jīng)悄悄地朝向“無解”的方向進行。

意大利物理學(xué)家魯菲尼（Ruffinii）［5］首先提出五次方程式“無”代數(shù)解，他發(fā)表了兩冊篇幅長達516頁的巨著，不過推理過程曲折，十分難懂，數(shù)學(xué)界毫無反應(yīng)。而后魯菲尼又再接再厲，以更嚴(yán)謹(jǐn)而且更為淺顯的推理過程，分別于1803年、1805年、1813年又提出了3次［6］，不過始終引不起當(dāng)代數(shù)學(xué)家們的注意。最后魯菲尼在意大利走投無路，只好將他的證明寄給英國倫敦皇家學(xué)會。隨后他收到了一封措詞十分婉轉(zhuǎn)的回函：盡管有幾位會員讀了他的作品還算滿意，不過基于學(xué)會的政策，不能對任何證明背書。此后五次及五次以上方程式的解法，逐漸悄悄地由有解轉(zhuǎn)向無解。而后由挪威的天才數(shù)學(xué)家阿貝爾（Niels HenriK Abel）擔(dān)綱，接演五次方程式“無”代數(shù)解悲劇的續(xù)集。在阿貝爾早年的論文中，他證明了五次方程式不可能有代數(shù)解。這是由于他發(fā)現(xiàn)了超越數(shù)的緣故。阿貝爾這篇號稱是當(dāng)代數(shù)學(xué)界最偉大的論文，當(dāng)時根本沒有人讀。不過他并未在論文中提出超越數(shù)附近極值的特性。

阿貝爾13年后在《純數(shù)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年鑒》（Journal fürdierieneundangewandteMathematik，1826，known as Crelle’s Journal）的創(chuàng)刊號上留下了5篇論文［7］，其中就包含了對超越函數(shù)、無窮級數(shù)的收斂性與橢圓函數(shù)等重要數(shù)學(xué)概念的探討。在次年的年鑒中，他的雙周期函數(shù)理論緊接著誕生。

同時，數(shù)學(xué)界另一位悲劇天才伽羅瓦（Qvariste Galois）也提供了另類的詮釋。伽羅瓦的論文導(dǎo)致群論的誕生，為科學(xué)家打開了一扇通往真理的門扉，不過仍未能將數(shù)學(xué)與物理調(diào)和起來，當(dāng)然也不能提出具體的物理答案。

超越數(shù)最著名的例子，就是圓周率π。

古希臘著名的幾何問題化圓為方（quardrature of the circle），也就是求圓周率。對此當(dāng)年希臘有一個專門術(shù)語：τετραγωνιξειν，意思是一生獻身于“化圓為方”的人。其中的佼佼者名叫安迪豐（Antiphon，Αυτιφωυ）。據(jù)數(shù)學(xué)史書中記載，他提出了“窮竭法”來尋找答案。其實窮竭法，也就是說永遠無法找出答案。

從來沒有任何一個其他數(shù)字，能讓數(shù)學(xué)家們投入如此多的心血。

據(jù)悉有人用20世紀(jì)的超級計算機，夜以繼日地計算。最后終于計算出了510億個小數(shù)點的近似值，這可真是需要大書特書哪！因為這個數(shù)字若以平常的方式印出來，長度可達61 200英里（98 492 km），差不多可繞地球兩圈半，只可惜仍舊是近似值［8］。這也無可厚非，因為計算圓周率的電腦程式，被電腦界稱為：無限循環(huán)的臭蟲（bug）。后來干脆拿來當(dāng)作評鑒電腦速度與可靠性的“標(biāo)準(zhǔn)”，也算是因勢制宜，物盡其用。

事實上，無論是21世紀(jì)的超級計算機，還是英國數(shù)學(xué)家艾倫·圖靈（Allan Turing）的圖靈機，甚至電視科幻影集StarTrekWolfintheFold中的“邪惡電腦”，也描述不出任何一個無理數(shù)，遑論超越數(shù)？

近年來更有人利用電腦繪圖，繪制出曼德布洛特集合（Mandelbrot set）、柯赫曲線（Koch-curve）、勞倫斯吸子（Lorenz attractor）等等圖案，更進一步詮釋出極值在附近點的特質(zhì)：五彩繽紛的圖案看來無序，顯示出它們根本無法收斂，卻環(huán)環(huán)相扣！

隨后又出現(xiàn)分形、混沌的理論相互呼應(yīng)，猝然進入了混沌與模糊數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

其實根本用不著依賴任何現(xiàn)代科技，古埃及的拉繩者們只要一根棍子及一條繩子，就能夠求出圓周大約為直徑的3倍，如果有一把精確的尺，更可以求出圓周率的值約為3.141 592…

奈何圓周率又是一個斤斤計較的東西，容不下一絲一毫的差池，只要改變其中任意1個數(shù)字，譬如：只要將第五位數(shù)由5改為6，它就再也不是圓周率了［9］。

大自然時空結(jié)構(gòu)無限折迭（fold catastrophe）、迭代（iteration）讓尺度的大小失去了意義。

再舉一個例子來說明專家們對極值的謬誤觀念，請看下面這一條取自古希臘歐幾里德的幾何問題［10］：無限交錯數(shù)列S＝1－1＋1－1＋1－1…

S＝a（rn－1）／（r－1），其中r為比值，a為首項值。

S的極值是什么？

有一部分人認為：

S＝（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）… 所以極值為0。

另外一部分人認為：

S＝1－（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋（1－1）… ＝1－S，所以極值為1。

現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家們，則采取歐拉（Leonhard Euler）提出的解法：

因為S＝1－S，所以2S＝1?S＝1／2。

這里有50%的機會可以找到0，也有50%的機會可以找到1，但絕對找不到1／2！因為1／2在數(shù)列中根本不存在！所以這只是概率的答案，而非極值的特質(zhì)。歐拉善于舞文弄墨又喜歡賣弄聰明，這就是歐拉自謂“改不掉的老毛病”，也是模糊數(shù)學(xué)問題之所在。

3 羅素悖論及模糊數(shù)學(xué)

模糊數(shù)學(xué)是美國控制論專家扎德（L.A.Zadeh）為研究實際問題，以集合論為基礎(chǔ)，將隨機性、概率、統(tǒng)計為數(shù)學(xué)工具，而衍生出來的一門邊緣學(xué)科［11］，成為類比系統(tǒng)理論的根基。類比電腦的運算速度無可非議，但是隨機性無法控制亦無法仿真，所以業(yè)已被數(shù)字電腦所取代。

集合是以德國數(shù)學(xué)家策梅羅（Eerst Zermelo）的策梅羅公設(shè)（二值邏輯）為基礎(chǔ)，但出現(xiàn)了羅素悖論（Russell’s paradox）：一個不包含自己的集合。

扎德企圖要將隨機性、概率、統(tǒng)計學(xué)引入集合論，輒以非亞里士多德邏輯取代策梅羅的二值邏輯，于是對元素x與集合S給出了一個特征函數(shù)C（x）：

在給出此一特征函數(shù)C（x）定義時，扎德舍棄了集合論中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募希⊿et）觀念代以較為模糊的“級”（Class），用較松散的局部屬于關(guān)系（∈－partial-order relationship，i.e.，min（a，b）and max（a，b））取代聯(lián)集與交集（union，∪，intersection，∩），并以封閉性區(qū)間［0≤x≤1］，取代二元集合｛0，1｝。

換言之，扎德給出的特征函數(shù)C（z）＝｛for?z∈C｜f∶z→z4＋1，where［0≤｜z｜≤1］，and Cis complex number｝中，C（x）＝0是集合，C（x）＝1不是集合。若給出了一個封閉性區(qū)間［0≤｜z｜≤1］，事實上亦代表極值0存在。若以方程式f∶z→z4＋1界定特征函數(shù)C（z），就是將函數(shù)域（range，i.e.，image domain）由二元集合｛0，1｝擴張至無限的復(fù)數(shù)領(lǐng)域中［12］，如圖5。

方程式的四個根（±1，±i）將平面分隔成四塊區(qū)域，每一個解中隱含著其他三個解，形成一片蒙蒙復(fù)譎的雜詭邊界，看不見最終的結(jié)構(gòu)。這就是方程式極值在附近點的特質(zhì)。無限永遠也無法收斂，若可以收斂，那它就沒有無限的特質(zhì)了。若更進一步仔細分析，就知道這是古希臘著名的“化圓為方”幾何問題，也就是將圓攤平在高斯的復(fù)數(shù)平面（C＊，the set of complex number without addition zero）上。

圖5 在復(fù)平面以牛頓法（Newton method）解方程式：f∶z→z4＋1

眾所皆知，概率是比值，統(tǒng)計也只能處理可數(shù)的事物，有理數(shù)乘法不封閉，沒有乘法反元素，乘法交換律不成立，所以在模糊數(shù)學(xué)中互補律（A∪A′＝E，A∩A′＝?）不成立。尤其模糊數(shù)學(xué)中的數(shù)字應(yīng)該是離散與量子的，界定級的陳述也不能使用微積分或是非線性方程式。因為非線性方程式無法相加，況且無解。

由于在模糊數(shù)學(xué)使用局部屬于的關(guān)系，所以一般的真值表并不適用；在一般數(shù)學(xué)中的結(jié)合律（a☆（b☆c）＝ （a☆b）☆c）、交換律（a☆b＝b☆a）、分配律（a★（b☆c）＝ （a☆b）★（a☆c））…也需要檢討［13］。

事實上，多值邏輯與雙值邏輯本是同一件事，只是增加一個Do-loop，也就是電腦硬體中的回遞線路，所以無所謂非亞里士多德邏輯，見圖6。

圖6 多值邏輯與雙值邏輯

4 極值的收斂與無限的代數(shù)性

科學(xué)家們顯然曲解了極值與無限的代數(shù)性，以為只要是函數(shù)收斂就有極限，就可以找到極值解決問題。

這真是大錯特錯！非線性方程式的極值根本不會收斂，也不能使用微積分表述！

若從物理角度看，函數(shù)是闡述物理與化學(xué)反應(yīng)的方程式，每一次越過臨界點，就產(chǎn)生分子結(jié)構(gòu)重組。例如：解諾維爾·史托邁爾這類方程式，就好像走迷宮，每走出一步之后，迷宮的墻壁就會重組，這是非線性斯托克斯流體動力方程式（Navier-Stokes equations）面臨的問題。正如馮諾曼（John Von Neumann，1903—1957）所言：這種方程式的特性是同時改變所有相關(guān)的特性，包括次序與維度一起改變，因此高難度的數(shù)學(xué)是可預(yù)期的。

很少有人能夠跟得上目前科學(xué)專業(yè)發(fā)展的步調(diào)，各行專業(yè)類別間，就像是戰(zhàn)艦上防水閘門般密封阻隔著，專家們自顧不暇，毫無余裕來閱讀其他類別的期刊。沒有人會在氣象的期刊中尋找混沌的理論，也沒有幾個人會在應(yīng)用科學(xué)的期刊中尋找模糊數(shù)學(xué)的理論。

在混沌的理論里，數(shù)學(xué)家們仿佛遇見了雙面神杰納斯（Janus），從這一面看去看到了秩序中摻雜著隨機性，從另一面看去，則看到了混沌的復(fù)雜系統(tǒng)中隱含著與生俱來的秩序。然而對任何一位科學(xué)家而言，掌握幾條數(shù)學(xué)公式，要比描述龐大的自然細節(jié)要簡明多了。因此科學(xué)家們尋找答案的目標(biāo)，已不僅僅只是為了正確地描述宇宙，并且還要以最簡明扼要有效的方式描述出來，這就是奧坎剃刀（Ockham’s Razor）原則——以最少的方式，巨細靡遺描述出大自然所有的細節(jié)。

迭代、折迭與邏輯“自洽”的本質(zhì)導(dǎo)向分形結(jié)構(gòu)與混沌理論。分子結(jié)構(gòu)自發(fā)性失稱與自我復(fù)制的規(guī)則，隱藏在脫氧核糖核酸（DNA）中，復(fù)制出繽紛的大千世界。

這亦是大自然演化出生命游戲所采取的時空轉(zhuǎn)換規(guī)則。

倘若極值是無理數(shù)，這可是圖靈機也無法解決的無限問題。不論諾曼的圖靈機還是諾維爾·史托邁爾方程式，都逃不出無理數(shù)的糾纏。交錯級數(shù)看起來詭異，其實也只不過是另一種描述無限的方式：循環(huán)，它在物理的宇宙中，即所謂平衡。當(dāng)條件到達臨界點時，就產(chǎn)生相變。相變皆源自于分子結(jié)構(gòu)的崩解，當(dāng)物理、化學(xué)與生化反應(yīng)同時交換一小包能量，若能量突破閾值，就導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的崩解，系統(tǒng)突變。

當(dāng)科學(xué)家們計算公式取近似值時，他們也同時在主張，這些微分方程式的解答是由無限項次所構(gòu)成，他們所憑借的是假設(shè)其余的項次影響不大，所以只要計算其中的前幾項就能取得合理的近似值。但一小段直線上的點與無限長的直線、無限大的平面，甚至整個空間中的點數(shù)目是一樣多，這一點可以用導(dǎo)體中電荷的屏蔽效應(yīng)證明，也可以用數(shù)學(xué)的高斯定律證明［14］。

牛頓首創(chuàng)攝動原理，然后企圖以流數(shù)法來解答三體運動混沌的軌跡，卻始終未嘗成功。牛頓無法解開太陽、月球與地球間的三體運動問題，因為行星的軌跡既混沌又不連續(xù)。只好拼湊出近似值，設(shè)法讓計算式中的數(shù)據(jù)吻合測量的數(shù)據(jù)，這種方式雖嫌粗糙，但原則上也還說得過去。因為當(dāng)年牛頓與萊布尼茨所描述的軌跡與其說是連續(xù)的，不如說是稠密的；牛頓本人從未提到過連續(xù)性，也沒有無理數(shù)。

只怪后來的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱俗屛⒎e分合理化，加上了連續(xù)性與無理數(shù)，又創(chuàng)造出導(dǎo)函數(shù)，并為它建立了連續(xù)統(tǒng)假說。

數(shù)學(xué)的角色應(yīng)該是使科學(xué)的理論發(fā)光，而不是用臆想的術(shù)語來讓人莫測高深；也就是必須用事實來為數(shù)學(xué)劃出是非、分界，而不是被無限的演繹牽著鼻子走。若不能清楚是非、分界，那豈不是治絲益棼？又怎能清楚合理地去描述這個充滿了混沌的領(lǐng)域呢？

事實上，不論科學(xué)家們?nèi)绾谓咝谋M智，他們應(yīng)用的微積分或流數(shù)法又如何高階，使他們誤以為答案已趨于極值；一旦刪去“尾數(shù)”，就等于刪去了“無限多”的點，也就是將無理數(shù)變成了有理數(shù)。

5 建立離散數(shù)字

一旦摘除了原本的連續(xù)性，就改變了數(shù)字的代數(shù)性。更糟的是，這些改變蔓延到所有的物理量，進而延伸至科學(xué)所有的領(lǐng)域。就這樣，正確的答案一再從科學(xué)家們所設(shè)下的精妙公式與數(shù)字的陷阱中溜走。

數(shù)字一定是連續(xù)性的嗎？量子力學(xué)不是連續(xù)性的！

無理數(shù)存在嗎？電腦中沒有無理數(shù)！

為了避免正確的答案從公式與數(shù)字的陷阱中溜走，最明智的方法是摘下連續(xù)性與無理數(shù)的枷鎖，建立離散數(shù)字。

首先，取自然數(shù)“n”的倒數(shù)1／n。1／n相當(dāng)于自然數(shù)“n”的加法與乘法反元素。因此可以定義一個一對一映射函數(shù)（Φ）：將所有的自然數(shù)對應(yīng)到一個半開放的單位區(qū)間（0，1］，區(qū)間中元素的數(shù)目與自然數(shù)（N）、正有理數(shù)（Q＋）相等（也就是，∞）。

由于無限大“∞”不存在，它的倒數(shù)“1／∞”也不存在。所以這里出現(xiàn)一個不含“0”的半開放區(qū)間（0，1］。若再以這個半開放區(qū)間（0，1］做單位尺標(biāo)可以建立一組稠密的數(shù)列：①，②，③，…數(shù)列中每一單位中的點數(shù)與自然數(shù)相等（也就是，∞）。所以數(shù)列的大小與實數(shù)、復(fù)數(shù)的大小相當(dāng)（也就是，2∞）。若依樣畫葫蘆，再令○n?1／○n，可以得到另一組更稠密的超越數(shù)列：?，?，?，…整個數(shù)列的大小為（2∞）∞，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中所有的函數(shù)轉(zhuǎn)換，也相當(dāng)于宇宙中所有物理的質(zhì)能轉(zhuǎn)換。

這就是目前為止，科學(xué)家們在自然界中找到的所有無限大，顯然也只有這三種無限大屬于物理的世界，所以它們也通過了存在性的檢驗。以此類推，也可形成任何大小的不連續(xù)數(shù)列。（也就是，（（…（（（2∞）∞）∞）∞…）∞）∞），不過這些無限大在自然界中找不到，因此最好還是適可而止，避免違背了“存在性”。

這種數(shù)系的代數(shù)性與一般的數(shù)字大相徑庭，具有各式各樣的“反元素”，離散而封閉。封閉性是數(shù)字具體化過程中不可或缺的必要條件之一，也是數(shù)字“二元運算”的必要條件，更闡釋出宇宙中沒有任何可以超越二元運算的具體東西，因此解決了多次元問題，排除了量子力學(xué)中不可思議的多重宇宙理論，更明白指出宇宙中的無限只有可數(shù)的無限及不可數(shù)的無限兩種。

目前所有數(shù)學(xué)中所熟悉的集合，無論有限、無限皆盡于此。譬如：N，Z，或Q，屬于可數(shù)無限集合；R與C則屬不可數(shù)的無限集合。

顯而易見，整數(shù)（Z）不連續(xù)。自然數(shù)這個集合雖說無限，但不封閉，也沒有反元素。所以它無法逆運算，既沒有減法也沒有除法，也就是說，算不上是“二元運算”。同樣，正有理數(shù)（Q＋）也有同樣的問題［15］。

在物理世界中雖找不到 “＜1”的東西。不過卻找得到對應(yīng)于 “＜1”的反元素，譬如電子的反元素質(zhì)子，也有影子與鏡像，皆是具體的物理現(xiàn)象，也遵守大自然的物理法則，甚至可以確實執(zhí)行。因此，雖說 “＜1”與負數(shù)不存在，然而對應(yīng)于 “＜1”與負的現(xiàn)象卻“存在”。不過無理數(shù)與超越數(shù)不存在，它們只是子虛烏有的理想與符號。

不過這種數(shù)字并不均勻，在那些半開放區(qū)間（0，1］附近特別稠密，有如元素原子的光譜一般，所以沒有存在性的問題。至于這個半開放區(qū)間（0，1］，就是一般所謂的叢點；或者更時髦的說法，就是混沌的奇異點。

接下來再解決“0”的“存在性”問題，“0”就用來闡釋宇宙中的虛空。若時間差為“0”，距離與位置也就失去了測量的基準(zhǔn)，因而形成了時空的奇異點。這就是芝諾的飛馳之箭在物理空間所劃下的軌跡，也是測不準(zhǔn)定理的緣由。

因此可以透過原子光譜的精致結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)“原子”附近的時空特別稠密且不連續(xù)，而原子的塞曼-斯塔克效應(yīng)（Zeeman-Stark effect）也可以證明。況且虛空本來就什么也沒有，也就是空集合（?，或｛｝，這是一階的 “0”：），一個由等值時間面構(gòu)成的拓撲性封閉“空泡”，這是二階的 “0”。既具有caridinal set的特質(zhì)，又具有ordinal set的特質(zhì)。至于二階以上的“0”在自然界中找不到，因此還是暫時割愛，避免違背了“存在性”。

Definition：The zero of Billy’s number：B1and Billy’s knots：B2.

An empty isochronal topological closure sphere：，is the second level“zero”，an initial element for Billy’s knots，the set：，which generate from a single light source S，is a “partially order class”in 3-D space，where，andis the unity element in B2，where“i”is subscripts.

真正的連續(xù)性與封閉性只存在于二階結(jié)構(gòu)——原子的球面。這也就是為何一階邏輯可以闡述原子與宇宙中基本元素的一階特性：因為它們是離散的，并不連續(xù)。至于二階邏輯，則用以闡述原子與宇宙的二階特性：具備各式各樣的反元素，也就是這些反元素足以讓它們封閉。就是這緣故，它們存在；也就是這緣故，它們可以具體化。

假設(shè)B2s為光源S的一個時空節(jié)點，而等時拓撲封閉小泡內(nèi)含的能量為｛q｝，則q就是小泡內(nèi)含的一小包能量。

如此一來，能量與質(zhì)量的關(guān)系與集合論元素與集合的關(guān)系不謀而合。至于將能量束縛在時空節(jié)點B1中，科學(xué)家將它稱為弱核力（week nuclear force）。所以光量子（light quantum）是集合中的單一元素（singleton），定義為：｛q｝∈，也是光源S的successor set S＋。因此時間包含在時間內(nèi)（time∈time），也清楚指出時間不包含在時間內(nèi)（time?time）；所以也消弭了羅素悖論（Russell’s paradox）的疑點。

這種方法稱為construction by recursion，或視為是Axiom of Infinity等價。于是A＋B＝A∪B，A－B＝A∩B′，這就是一般數(shù)學(xué)的加法與減法。

只不過非線性系統(tǒng)無法相加，亦往往無解（也就是混沌），在流體與機械動力系統(tǒng)中往往是被舍棄的部分。以摩擦力為例，若沒有摩擦力，只要一條慣性方程式就可以搞定；但加入摩擦力后，系統(tǒng)立即變得復(fù)雜無解：找不到極值。在大自然的游戲中非線性主宰游戲的“數(shù)字與運算”規(guī)則，線性只不過是特例。事實上，數(shù)學(xué)的“數(shù)字與運算”物理化時所面臨的問題，是在無限中尋找極值（窮竭法），及非線性系統(tǒng)中的反元素或“反運算”問題。除法就是反乘法或乘法反元素的乘法，它的數(shù)學(xué)定義如下：

其實宇宙中任何物體都是集合，所以任何大自然的“數(shù)字與運算”皆來自于集合“屬于”（∈-well-order relationship）的關(guān)系，這正是集合唯一的關(guān)系。根據(jù)“construction by recursion”或“Axiom of Infinity”，只要借著空集合（?）與successor set即可應(yīng)用“屬于”的關(guān)系建立所有的“數(shù)字”與“運算”（注：屬于等價于集合的聯(lián)集（∪）與交集（∩））。

因此也只要先具體化空集合與successor set，同樣可以應(yīng)用屬于的關(guān)系具體化所有的“數(shù)字”與“運算”。然而任何一個集合A的二元運算，亦即集合的轉(zhuǎn)換，可視為是集合對自身的排列組合ρ，并不關(guān)切集合內(nèi)的元素是否無限，只要記住，運算的步驟必須是可數(shù)的無限。而任一ρ，相當(dāng)于一對獨立、不接圓（或許更恰當(dāng)?shù)拿枋鍪遣唤迎h(huán)）的排列組合。因此，可以用它們的旋轉(zhuǎn)代替乘法運算（?）。換言之，任一次不接環(huán)的旋轉(zhuǎn)皆相當(dāng)于兩個加法交換群的乘積，而每一個“群”都必定與某組排列組合同構(gòu)，旋轉(zhuǎn)只形成“循環(huán)群”。有限交換群也就是循環(huán)群。所以，任一轉(zhuǎn)換函數(shù)ρ，皆相當(dāng)于將若干不接圓迭加起來，一并做有限次數(shù)的排列組合，運算也就是共集合有限次數(shù)的指定運算，只限定運算次數(shù)有限，不接圓與元素的數(shù)目根本沒有任何影響。如此一來，就解決了無限的問題。

若令（0，1）∪｛1｝＝（0，1］，無疑也可以一對一對應(yīng)于一個直徑為1的單位圓。此外，也可以很容易證明，單位圓、任意圓、矩形，或幾何圖形中的點也一樣多。以此類推，可以證明任意二維拓撲結(jié)構(gòu)，甚至整個三維空間中的點也一樣多。

換言之，任何一條直線可以無限“迭加”與“分割”，無視于這一條直線究竟有多長。注意A與B′的封閉性，封閉性是二元運算中不可或缺的必要條件（有“反”元素及吻合結(jié)合律），結(jié)合律又衍生到分配律，分配律攸關(guān)質(zhì)能的分配與轉(zhuǎn)變。進而跨入拓撲轉(zhuǎn)換與克萊恩（Felix Klein，1849—1925）就職演說與書面論文《愛蘭根大綱》（ErlangerProgramm，1872）［16］，以《群論》為基礎(chǔ)重述幾何學(xué)的定義。

6 結(jié)論

如此一來，可以重新定義一套不連續(xù)的數(shù)字：“Billy’s number”，其實 “Billy’s number”并不稀奇，它就是在熒光幕上所看見的數(shù)字化數(shù)字（pixel），建立的方法也是當(dāng)年普利克建立坐標(biāo)相同的手法。此外，挪威邏輯學(xué)家史克萊姆（Thoraff Skolem）也曾從邏輯與集合論的觀點提出這一方面的研究成果。

數(shù)學(xué)史揭示，從古希臘迄今數(shù)學(xué)曾經(jīng)出現(xiàn)過三次基礎(chǔ)危機。每次危機皆是由于數(shù)學(xué)發(fā)展出新工具，應(yīng)用的領(lǐng)域極速擴展，導(dǎo)致原本數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的堅實性出現(xiàn)裂痕，以至于理論不能為應(yīng)用提供發(fā)展方向與證明，而應(yīng)用反而動搖了理論的根基。隨著時間的推移，矛盾越來越多，問題也越來越明顯，令人們終于意識到數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)原來是建立在沙灘上。所以每一次危機，總有一大部分不適用的理論被迫改造與放棄。說來令人難以置信，這三次基礎(chǔ)危機并未渡過，并且延續(xù)了下來，這就是千百年來數(shù)學(xué)懸而未解問題的肇因。

“Een schip op het strand is een baken in zee.”（Dutch proverb）

沙灘上的船骸，是大海的燈塔。（他山之石，可以攻錯。）（A ship on the beach is a lighthouse to the sea.）

“鑒古而知今”是人類之所以能夠在地球蕓蕓眾生中崢嶸頭角脫穎而出的原因。當(dāng)回顧數(shù)學(xué)史時，可看到以下這些事實：萊布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz）是第一個踏在連續(xù)與離散之間的人，19世紀(jì)畢達哥拉斯派（Pythagorean brotherhood）學(xué)者德國柏林大學(xué)數(shù)學(xué)教授克羅尼克（Leopold Kronecker）是第一個踏入離散數(shù)學(xué)門扉的人。至于本文則是第一篇剔除了現(xiàn)代分析之父魏爾斯特拉斯（Weierstrass Karl T.W.）的函數(shù)極限“ε－δdefinition”定義，給出離散數(shù)字的定義，為數(shù)字、原子與時空結(jié)構(gòu)劃上等號，將古典物理及量子力學(xué)與數(shù)學(xué)及混沌理論整合起來的論文。

克羅尼克在宴會中，曾經(jīng)語重心長地舉杯致詞［4］：

只有自然數(shù)來自上帝，其他一切皆是人為。

“Die ganze Zahlen hat Gott gemacht，alles andere ist Menschenweck.”

“God made the whole numbers，all the rest is the work of man.”

據(jù)悉萊布尼茨曾經(jīng)有感而發(fā)，說了一句俏皮話［4］：

“The principle of pure d-ism，as opposed to the dot-age of university.”（大自然的原則對照大學(xué)中的老耄。）

話中的 “pure d-ism，deism”是雙關(guān)語，將大自然的原則對照于神諭（oracle）。

如今根據(jù)電腦時代中的觀點，將萊布尼茨的俏皮話改為：

“The fundamental principle of universe as opposed to the dot of computer-age.”（宇宙中的基本原則對照于電腦時代中的點。）

拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）評述［16］：

萊布尼茨相信他已在“2”進制中看到了上帝創(chuàng)造萬物，在那里只有“0”與“1”，“0”代表虛無，“1”代表上帝。

“2”進制數(shù)字是電腦中采取的數(shù)字，亦是布林代數(shù)（Boolean algebra）中的數(shù)字，相當(dāng)于歐幾里德幾何學(xué)中沒有大小的點。無疑它們僅是 “Billy’s number”中的一個小小部分，亦可對照于西元前五世紀(jì)學(xué)者琉希帕斯（Leucippus）及他的弟子德謨克利特（Democritus）提出的原子：一種均勻堅硬，既不可改變又不可分割的物體。原子有不同的大小與形狀（也就是拓撲性）。

近百年來，物理學(xué)邁入鉆牛角尖的危機，但這情況又因為混沌理論與電腦模擬戲劇化地出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機。相對論剔除掉了歐幾里德幾何學(xué)中的平行公設(shè)，量子力學(xué)推翻了牛頓力學(xué)中的連續(xù)性，混沌理論與電腦模擬又戲劇化地凸顯了畢達哥拉斯無理數(shù)不存在的論點。

然而這些問題“懸而未解”卻以訛傳訛，以至于又衍生出后續(xù)的種種問題。

若用 “Billy’s number”取代目前數(shù)學(xué)中連續(xù)性的數(shù)字，由于它同時具有caridinal set與ordinal set及時間與空間的維度，與拓撲性及代數(shù)性特質(zhì)。它的數(shù)列稠密而不連續(xù)，它的元素是離散的，既沒有無理數(shù)，也沒有超越數(shù)，因此徹底消弭了數(shù)學(xué)史上三次的基礎(chǔ)危機。它那些顯而易見的特質(zhì)，剔除掉了一切不能具體化的東西。它消弭了微積分、撫平了牛頓力學(xué)與量子力學(xué)間的傷痕，除掉了笛卡爾坐標(biāo)、解析幾何之類與不吻合事實，或不能具體化的東西，帶領(lǐng)著我們跨越數(shù)學(xué)與物理間的知識鴻溝，并為數(shù)學(xué)打開了通往物理公設(shè)化的門扉，從根本上整合了大自然中所有的知識。

此證（Quod Erat Demonstrandum）。

（2012年4月19日收到）

［1］The lst International Congress of Mathematicians ［C］.Zürich，1897.

［2］International Congress of Mathematicians［C］.Paris，1900.

［3］RIDDLE L.Department of Mathematics，Agnes Scott College，http：／／people.bath.ac.uk／cs3mmh／ifs.

［4］EVES H W，EVES J H.An introduction to the history of mathematics［M］.6th ed.Philadelphia：Saunders College Pub.，1990.

［5］ROSE P L.The Italian renaissance of mathematics［M］.Geneva：Librairie Droz，1975.

［6］RUFFINI P.Teoria generale della equazioni［M］.1799.

［7］ABEL N H.Journal für die riene und angewandte Mathematik，1826.（known as Crelle’s Journal）

［8］GRAY J J.The Hilbert challenge［M］.胡守仁，譯，2000.

［9］BLATER D.The Joy ofπ［M］.洪萬生，譯本導(dǎo)讀，1999.

［10］HEATH T L.The thirteen books Euclid’s elements［M］.藍紀(jì)正，朱恩寬，譯.1999（第九卷，命題三十五）：281.

［11］模糊數(shù)學(xué)入門［M］.臺北：九章出版社，1996.

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［13］FRALEIGH J B.A first course in abstract algebra［M］.Boston：Addison-Wesley，1967：203-205.

［14］RICHARDS J A，JR SEAR F W，WEHR M R，et al.Modern collage physics［M］.1962：395-403.

［15］FRALEIGH J B.A first course in abstract algebra［M］.Boston：Addison-Wesley，1967.

［16］LAPLACE P S.Essai philosoque sue les probabilites（概率哲學(xué)探究）［M］.5th ed.Cambridge：Cambridge University Press，2009.

Modeling and Simulation of Complex Earth System for Climate Change（Part II）

CHA Billy①，LI Qi②
① ②Professor，CyberGISStudio，PekingUniversity，Beijing100871，China

There is an unwritten rule in science，indicates that physics is a concrete model and the primitive terms are objects and relations adapted from the real world.But，mathematics is an ideal model，that the primitive terms are objects and relations adapted from some other postulation development.Their characters are naturally different.As a result，physicists use observations，measurements，and experiments argue for these phenomena they found.While，mathematicians use deduction debate for their noumenas，the former is physical description，and the latter is the fact of substance.Trivial，this two kind knowledge have themselves inherent incompletion，and there is inconsistency trouble with them at the very initial stage，which continuous unlimited among their descendant subjects.Thus，those unsolved problems arise.For this reason，in this article，we base on the truth and through geometric structure of time-space and nature laws in universe which they followed，let the physics and mathematics consistency，and then those unsolved problems can be accomplished.Further for that，revealed a way to the axiomatisation of physics，eliminate the profoundly disturbing crises wherein the foundation of mathematics.

axiomatisation，chaos，nonlinear，discontinuity，butterfly effect，attractor

10.3969／j.issn.0253-9608.2012.06.002

（編輯：方守獅）