陶襄樊，陳美霞，魏建輝

(華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

圍繞彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)預(yù)報(bào)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛而深入的研究。目前主要的預(yù)報(bào)方法大致可以分為基于模態(tài)的方法、基于近場(chǎng)聲全息的方法以及基于物理聲學(xué)的方法等。

文獻(xiàn)［1］對(duì)聲輻射模態(tài)作了深入研究，并利用聲輻射模態(tài)對(duì)平板的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行了重構(gòu)。文獻(xiàn)［2］以簡(jiǎn)支矩形板為研究對(duì)象，分別運(yùn)用振動(dòng)模態(tài)和聲輻射模態(tài)對(duì)其輻射聲功率進(jìn)行了預(yù)報(bào)，并比較了2種模態(tài)展開(kāi)方法對(duì)傳感器數(shù)目的要求。文獻(xiàn)［3］忽略聲波的波長(zhǎng)對(duì)結(jié)果分辨率的影響，提出了近場(chǎng)聲全息技術(shù)。文獻(xiàn) ［4］以1個(gè)無(wú)限大障板簡(jiǎn)支的薄板為研究對(duì)象，通過(guò)Helmholtz波動(dòng)方程最小二乘法得到聲壓的球面波函數(shù)表達(dá)式，對(duì)簡(jiǎn)支薄板的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)，并與解析法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)［5］對(duì)3種主流的近場(chǎng)聲全息技術(shù)的算法進(jìn)行了分析和對(duì)比，綜述近場(chǎng)聲全息發(fā)展的現(xiàn)狀。文獻(xiàn)［6］從物理聲學(xué)的角度，基于平面波假設(shè)直接建立表面聲壓與聲速的簡(jiǎn)單關(guān)系，避免了Helmholtz積分方程及其逆矩陣的求解，實(shí)現(xiàn)了高頻范圍內(nèi)輻射聲場(chǎng)的快速預(yù)報(bào)。文獻(xiàn) ［7］以聲場(chǎng)疊加原理為基礎(chǔ)，根據(jù)聲傳遞特性直接建立結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)與輻射聲場(chǎng)間的傳遞關(guān)系提出了單元輻射疊加法，在更寬的頻率范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)的快速近似預(yù)報(bào)。

通過(guò)結(jié)構(gòu)表面M個(gè)測(cè)點(diǎn)的振速及結(jié)構(gòu)前N階模態(tài)求解模態(tài)參與因子，是基于振動(dòng)模態(tài)疊加原理預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的基礎(chǔ)?，F(xiàn)有的相關(guān)研究中，為使方程有唯一解，一般在M≥N的情況下求解模態(tài)參與因子，從而在N的值較大時(shí)需要布置非常多的傳感器。為解決這一問(wèn)題，本文通過(guò)充分考慮模態(tài)參與因子向量自身的稀疏特性，提出了預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的欠定盲分離方法，實(shí)現(xiàn)在M＜N的情況下，對(duì)水下雙層加筋圓柱殼速度場(chǎng)的重構(gòu)，并以重構(gòu)出的速度場(chǎng)作為邊界條件，運(yùn)用邊界元方法對(duì)水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)。

1 理論分析

1.1 模態(tài)疊加原理

對(duì)于水下彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，由結(jié)構(gòu)干模態(tài)疊加原理［8］，結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移響應(yīng)向量在頻域中的解可表示為

式中:φr為真空中結(jié)構(gòu)的第r階振型;ξr為結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)參與因子。將式(1)表示成矩陣的形式:

式中:［Φ］為結(jié)構(gòu)在真空中的固有模態(tài)矩陣，稱(chēng)為干模態(tài)，可以看成是結(jié)構(gòu)在空氣中的模態(tài)矩陣;［ξ］為模態(tài)參與因子向量。

對(duì)于水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)，若將其離散為n自由度系統(tǒng)，由式(2)可得，結(jié)構(gòu)表面法向振動(dòng)速度場(chǎng)可表示為

由模態(tài)疊加原理［9］可知，高階模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)很小，所以可采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒ǎ雎愿唠A模態(tài)的影響。設(shè)選取的模態(tài)階數(shù)為N，式(3)可表示為

從而可得結(jié)構(gòu)表面任意M個(gè)測(cè)點(diǎn)法向振速為

由式(5)可以看出，通過(guò)M個(gè)測(cè)點(diǎn)法向速度，結(jié)合結(jié)構(gòu)空氣中的前N階模態(tài)矩陣，如果能求得模態(tài)參與因子向量 ［ξ］N×1，則由式(4)可以重構(gòu)出結(jié)構(gòu)表面的速度場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)預(yù)報(bào)水下雙層加筋圓柱殼振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的目的。

對(duì)于由式(5)確定的線性方程組，當(dāng)M≥N時(shí)，式(5)為超定或恰定方程組，通過(guò)最小二乘法或解方程可以得到 ［ξ］N×1的唯一解，但此時(shí)測(cè)點(diǎn)數(shù)目必須大于或等于模態(tài)的數(shù)目。對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，當(dāng)振動(dòng)響應(yīng)的頻率較高時(shí)，需要的模態(tài)數(shù)目較多，此時(shí)需要布置較多的傳感器，實(shí)際中往往難以實(shí)行。

相比而言，M＜N更符合實(shí)際中常常需要的情況。此時(shí)式(5)為欠定方程組，方程的解非唯一，這成為在M＜N的情況下進(jìn)行速度場(chǎng)預(yù)報(bào)的難點(diǎn)。由模態(tài)疊加原理可知，對(duì)于結(jié)構(gòu)在某一頻率下的響應(yīng)，只有少數(shù)幾階模態(tài)的貢獻(xiàn)較大，其他各階模態(tài)對(duì)響應(yīng)的貢獻(xiàn)都很小，從而 ［ξ］N×1向量具有一定的稀疏特性。本文的欠定盲分離預(yù)報(bào)方法正是從 ［ξ］N×1向量自身的稀疏特性出發(fā)，從式(5)的所有解中，尋找最接近結(jié)構(gòu)實(shí)際振動(dòng)情況的解。

1.2 欠定盲分離方法

欠定盲分離是信號(hào)研究領(lǐng)域里近幾年的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，主要用來(lái)解決式(6)所描述的問(wèn)題:

向量的稀疏性是指向量的大多數(shù)元素為0或接近0，而遠(yuǎn)大于0的元素個(gè)數(shù)非常少;向量中遠(yuǎn)大于0的元素個(gè)數(shù)越少代表向量越稀疏。式(6)所描述的是1個(gè)優(yōu)化問(wèn)題:當(dāng) ［V］M×1和 ［Φ］M×N已知時(shí)，在M＜N的情況下，通過(guò)研究 ［ξ］N×1滿(mǎn)足的稀疏特性，對(duì) ［ξ］N×1附加稀疏性約束，從等式條件的所有解中，找出滿(mǎn)足 ［ξ］N×1向量稀疏特性的最優(yōu)解。該最優(yōu)解可作為實(shí)際情況的近似解。

數(shù)學(xué)上向量的0范數(shù)l0定義為向量中非零元素的個(gè)數(shù)，因此可以用向量的0范數(shù)l0來(lái)對(duì)向量的稀疏性進(jìn)行度量［10］，從而可以將欠定方程組(5)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

l0范數(shù)最小化問(wèn)題是一個(gè)非凸最優(yōu)化問(wèn)題，目前為止還沒(méi)有解決這一問(wèn)題的有效算法，并且當(dāng)‖ξ‖0=M時(shí)，任何滿(mǎn)足約束條件的有M個(gè)非零元素的向量 ［ξ］都是式(7)的最優(yōu)解，從而無(wú)法確定最終解。針對(duì)這一問(wèn)題，文獻(xiàn) ［11］指出l0與l1范數(shù)解的等價(jià)性，利用l1范數(shù)代替l0范數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸最優(yōu)化問(wèn)題，式(7)可以等價(jià)表述為

綜合式(6)～式(8)可以看出，利用盲分離的思路，通過(guò) ［ξ］N×1向量具有的稀疏特性，結(jié)構(gòu)速度場(chǎng)的重構(gòu)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在等式［V］M×1=［Φ］M×N［ξ］N×1條件下，求模態(tài)參與因子使其1范數(shù)最小的優(yōu)化問(wèn)題。式(8)所表述的凸最優(yōu)化問(wèn)題的解可以唯一確定，并且對(duì)這一類(lèi)凸最優(yōu)化問(wèn)題，目前已有多種成熟的求解方法，如線性規(guī)劃法［12］、最短路徑法［13］和組合算法［14］等，其中線性規(guī)劃法是一種常用的求解方法。

本文在M＜N的情況下，采用線性規(guī)劃方法對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。由式(8)可以看出，模態(tài)選取的階數(shù)、測(cè)點(diǎn)的位置及個(gè)數(shù)都會(huì)對(duì)式(8)中的等式約束條件產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到 ［ξ］N×1的解。首先用數(shù)值方法對(duì)這些影響因素進(jìn)行分析，在分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)值和試驗(yàn)方法對(duì)水下雙層加筋圓柱殼的振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

2 數(shù)值分析

2.1 模型介紹

本文所選用的模型為工程領(lǐng)域里常用的雙層圓柱殼結(jié)構(gòu)，具體結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。雙層圓柱殼內(nèi)徑R1=0.425 m;外徑R2=0.525 m;長(zhǎng)度L=1.05 m;內(nèi)殼厚度t=4 mm;外殼厚度t2=2 mm;實(shí)肋板厚度t3=2 mm;內(nèi)殼環(huán)肋截面尺寸4 mm×33 mm;材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，阻尼比ξ=0.005。

2.2 影響預(yù)報(bào)結(jié)果的因素

根據(jù)上述的欠定盲分離預(yù)報(bào)方法，本文首先研究選取的模態(tài)階數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。考慮到水下雙層加筋圓柱殼的測(cè)點(diǎn)一般布置在內(nèi)殼，在雙層加筋圓柱殼的內(nèi)殼均布了24個(gè)測(cè)點(diǎn)，對(duì)24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)由A到C截面依次編號(hào)為1～24號(hào)，如圖1所示。以圖1中坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，在聲場(chǎng)中確定了2個(gè)場(chǎng)點(diǎn)，分別為P(0，6，0.525)和Q(0，10，0.525)。以水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲功率和較遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)Q的場(chǎng)點(diǎn)聲壓作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，比較了不同模態(tài)階數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，結(jié)果如圖2所示。

經(jīng)分析可以看出:在0～400 Hz范圍內(nèi)，利用前300，500和700階模態(tài)均可較準(zhǔn)確預(yù)報(bào)出輻射聲功率和場(chǎng)點(diǎn)聲壓;在400～800 Hz范圍內(nèi)，利用前300階模態(tài)預(yù)報(bào)出的輻射聲功率結(jié)果偏差較大，利用前500和700階模態(tài)預(yù)報(bào)出的輻射聲功率和場(chǎng)點(diǎn)聲壓結(jié)果較準(zhǔn)確。說(shuō)明預(yù)報(bào)時(shí)所需要的模態(tài)階數(shù)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算頻率有關(guān)，計(jì)算頻率越大，所需要的模態(tài)階數(shù)也就越多，當(dāng)選取的模態(tài)包括了對(duì)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的幾階模態(tài)后，再增加模態(tài)的階數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響不大，這與模態(tài)疊加法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的原理是一致的。

由圖2可看出，利用前500階模態(tài)已經(jīng)可以較準(zhǔn)確重構(gòu)出0～800 Hz的輻射聲場(chǎng)。在保持模態(tài)階數(shù)N為500的情況下，本文研究了測(cè)點(diǎn)位置的變化對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。分別選取2組測(cè)點(diǎn)，一組為圖1中的24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)，另一組為24個(gè)隨機(jī)選取的測(cè)點(diǎn)，對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

由圖3可看出，在0～400 Hz的頻率范圍內(nèi)，通過(guò)24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)所得的輻射聲功率和場(chǎng)點(diǎn)聲壓結(jié)果與24個(gè)隨機(jī)測(cè)點(diǎn)結(jié)果相差不大，在400～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，24個(gè)隨機(jī)測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)果的擾動(dòng)性較大，相比之下，24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)出的結(jié)果更加穩(wěn)定。由式(8)可以看出，等式約束條件與所選的測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，所選測(cè)點(diǎn)越能反映計(jì)算頻率處整個(gè)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分布情況，則預(yù)報(bào)的結(jié)果越準(zhǔn)確，24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)考慮到的位置越全面，越能更好反映0～800 Hz范圍內(nèi)各個(gè)計(jì)算頻率處結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分布情況，預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確性就更穩(wěn)定，在布置測(cè)點(diǎn)時(shí)，建議優(yōu)先選取均布的方式來(lái)布置測(cè)點(diǎn)。

在以上分析的基礎(chǔ)上，仍取模態(tài)階數(shù)為500，進(jìn)一步研究了測(cè)點(diǎn)數(shù)目的變化對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響。依次選擇了12，24和40個(gè)測(cè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)。其中12個(gè)測(cè)點(diǎn)為圖1中1～24號(hào)測(cè)點(diǎn)中的奇數(shù)號(hào)點(diǎn);24個(gè)測(cè)點(diǎn)為圖1中1～24號(hào)測(cè)點(diǎn)，40個(gè)測(cè)點(diǎn)為在1～24號(hào)測(cè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上在每相鄰兩檔測(cè)點(diǎn)的中間又對(duì)應(yīng)均布8個(gè)測(cè)點(diǎn)所得到的測(cè)點(diǎn)。對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

圖4 24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)和40個(gè)均布測(cè)點(diǎn)前500階模態(tài)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比Fig.4 The comparison of reconstruction between twenty-four equispaced measure points and forty equispaced measure points in five hundred modes

由圖4可看出，12個(gè)測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)出的輻射聲功率和場(chǎng)點(diǎn)聲壓偏差較大，24個(gè)和40個(gè)場(chǎng)點(diǎn)預(yù)報(bào)出的輻射聲功率和場(chǎng)點(diǎn)聲壓較準(zhǔn)確，并且40個(gè)測(cè)點(diǎn)比24個(gè)測(cè)點(diǎn)能更準(zhǔn)確預(yù)報(bào)出場(chǎng)點(diǎn)聲壓。說(shuō)明通過(guò)欠定盲分離的方法可以實(shí)現(xiàn)較少測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)輻射聲場(chǎng)的目的，并且增加測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以提高預(yù)報(bào)的精度。

綜合分析圖2～圖4的結(jié)果可以看出，本文提出的欠定盲分離預(yù)報(bào)方法夠通過(guò)較少數(shù)目的測(cè)點(diǎn)對(duì)水下雙層加筋圓柱殼輻射聲場(chǎng)做出預(yù)報(bào)，并且該方法對(duì)模態(tài)階數(shù)及測(cè)點(diǎn)位置的要求比較寬松，使得該預(yù)報(bào)方法在實(shí)際使用時(shí)有一定的靈活性。

2.3 數(shù)值預(yù)報(bào)結(jié)果

在上述分析的基礎(chǔ)上可以看出，通過(guò)24個(gè)均布測(cè)點(diǎn)和結(jié)構(gòu)的前500階模態(tài)，可以較好地對(duì)圖1所示的水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證欠定盲分離方法的預(yù)報(bào)結(jié)果，本文對(duì)這一條件下的振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行了綜合分析，結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 振速級(jí)和聲功率級(jí)預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.5 The reconstruction results of vibration velocity and radiated acoustic power

從圖5可以看出，本文方案在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)對(duì)結(jié)構(gòu)均方振速的預(yù)報(bào)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合得很好，能滿(mǎn)足預(yù)報(bào)精度的要求。對(duì)輻射聲功率的預(yù)報(bào)結(jié)果，在0～800 Hz頻率范圍內(nèi)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致;數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明在400～600 Hz范圍內(nèi)輻射聲功率有一段較劇烈的波動(dòng)，而本文方法對(duì)這一波動(dòng)細(xì)節(jié)的預(yù)報(bào)能力較差。綜合對(duì)比均方振速和輻射聲功率的結(jié)果，本文方法能在滿(mǎn)足要求的誤差范圍內(nèi)對(duì)水下雙層加筋圓柱殼均方振速和輻射聲功率進(jìn)行預(yù)報(bào)。

在以上分析的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步對(duì)水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)的場(chǎng)點(diǎn)聲壓和聲壓指向性進(jìn)行了預(yù)報(bào)。其中，聲壓對(duì)比所選場(chǎng)點(diǎn)為圖1中坐標(biāo)系下的 P(0，6，0.525)和 Q(0，10，0.525)點(diǎn);聲壓指向性對(duì)比所選的場(chǎng)點(diǎn)位于中垂面內(nèi)R=50 m的圓周上，選取的預(yù)報(bào)頻率為260 Hz和680 Hz。對(duì)比結(jié)果如圖6和圖7所示。從圖6可以看出，在0～800 Hz的頻率范圍內(nèi)，本文方法能較準(zhǔn)確預(yù)報(bào)出輻射聲場(chǎng)中的場(chǎng)點(diǎn)聲壓隨頻率的變化情況，重構(gòu)結(jié)果和預(yù)報(bào)結(jié)果吻合得很好。從圖7可以看出，在f=260 Hz和f=680 Hz這2個(gè)峰值頻率處，預(yù)報(bào)結(jié)果能對(duì)輻射聲場(chǎng)的聲壓指向做出判斷。場(chǎng)點(diǎn)聲壓和聲壓指向性的結(jié)果說(shuō)明，在測(cè)點(diǎn)數(shù)目較少的情況下，利用欠定盲分離方法對(duì)水下雙層加筋圓柱殼的輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)是可行的。

本文同時(shí)對(duì)比了f=260 Hz和f=680 Hz頻率處前500階模態(tài)的模態(tài)參與因子，結(jié)果如圖8所示。

圖8 模態(tài)參與因子重構(gòu)結(jié)果Fig.8 The construction results of modal participation facto

從圖8可知，在260 Hz和680 Hz的響應(yīng)峰值頻率處，欠定盲分離方法所得的模態(tài)參與因子與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，重構(gòu)結(jié)果能找到對(duì)響應(yīng)貢獻(xiàn)最大的模態(tài)，并且重構(gòu)出的最大模態(tài)參與因子誤差在5%以?xún)?nèi)，說(shuō)明基于模態(tài)參與因子自身的稀疏特性，運(yùn)用欠定盲分離方法求解模態(tài)參與因子是合理的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種欠定盲分離的方法并對(duì)水下雙層加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)。數(shù)值結(jié)果表明該方法的預(yù)報(bào)結(jié)果是可靠的，并且該方法中測(cè)點(diǎn)數(shù)目和選取的模態(tài)階數(shù)相互獨(dú)立，能實(shí)現(xiàn)用較少數(shù)目的測(cè)點(diǎn)預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)振動(dòng)和輻射聲場(chǎng)的目的。

同時(shí)，本文研究了測(cè)點(diǎn)位置、模態(tài)階數(shù)和測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)欠定盲分離方法預(yù)報(bào)結(jié)果的影響，在測(cè)點(diǎn)位置和數(shù)目一定時(shí)，當(dāng)所取的模態(tài)階數(shù)滿(mǎn)足計(jì)算頻率所需要的模態(tài)階數(shù)后，再增加模態(tài)階數(shù)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的影響非常小，這說(shuō)明本文方法的預(yù)報(bào)結(jié)果在一定范圍內(nèi)不會(huì)隨模態(tài)階數(shù)的變化而出現(xiàn)振蕩，具有較好的穩(wěn)定性。在模態(tài)階數(shù)一定時(shí)，均布測(cè)點(diǎn)和任意位置測(cè)點(diǎn)均可以對(duì)輻射聲場(chǎng)進(jìn)行預(yù)報(bào)，說(shuō)明本文方法對(duì)測(cè)點(diǎn)位置的要求比較寬松，由于均布測(cè)點(diǎn)能更好地反映結(jié)構(gòu)在各個(gè)計(jì)算頻率處的振動(dòng)分布情況，預(yù)報(bào)出的結(jié)果更穩(wěn)定，在選取測(cè)點(diǎn)的位置時(shí)，建議優(yōu)先采用均布測(cè)點(diǎn)的測(cè)點(diǎn)布置方式。

［1］姜哲.聲輻射問(wèn)題中的模態(tài)分析:Ⅲ.聲場(chǎng)重構(gòu)［J］.聲學(xué)學(xué)報(bào)，2005，30(3):242 －247.

［2］陶建成，邱小軍.兩種模態(tài)展開(kāi)法預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)輻射聲功率時(shí)振動(dòng)傳感器數(shù)目的要求研究［J］.應(yīng)用聲學(xué)，2009，28(4):283－290.

［3］童仲堯，洪偉榮，吳榮仁.近場(chǎng)聲全息技術(shù)及其工程應(yīng)用［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(S):302 －304.

［4］WILLIAMS E G，MAYNARD J D.Holographic imaging without the wavelength resolution limit［J］.Physical Review Letters，1980，45(7):554 －558.

［5］LU H C，WU S F.Reconstruction of vibroacoustic responses of a highly non-spherical structure using helmholtz equationleast-squares method［J］.J.Acoust.Soc.Am，2009，125(3):1538－1548.

［6］CHERTOCK G.Sound radiation from vibrating surfaces［J］.J.Acoust.Soc.Am，1964，36(7):1305 －1313.

［7］王斌.基于表面振動(dòng)監(jiān)測(cè)的大型水下結(jié)構(gòu)輻射噪聲預(yù)報(bào)研究［D］.上海:上海交通大學(xué)，2008.35－59.

［8］陸鑫森.高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)［M］.上海:上海交通大學(xué)出版社，1992.

［9］傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用［M］.上海:上海交通大學(xué)出版社，2002.

［10］KARVANEN J，CICHOCKI A.Measuring sparseness of noise signals［A］.Proceedings of fourth international symposium on independent component analysis and blind signal separation［C］，Japan，2003:125 －130.

［11］DONOHO D L.For most large underdetermined systems of linear equations the minimal-norm solution is also the sparsest solution［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2006，59(6):797 －829.

［12］LI Y Q，CICHOCKI A，AMARI S.Analysis of sparse representation and blind source separation［J］.Neural Computation，2004，16(6):1193－1234.

［13］BOFILL P，ZIBULEVSKY M.Underdetermined blind source separation using sparse representations［J］.Signal Processing，2001，81(11):2353 －2362.

［14］TAKIGAWA I，KUDO M，TOYAMA J.Performance analysis of minimum l1-norm solutions for underdetermined source separation［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2004，52(3):582 －591.