☉安徽省五河第二中學(xué) 劉瑞美 張永輝

在當(dāng)今積極推進(jìn)新課程理念過(guò)程中，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和聯(lián)系，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)主動(dòng)探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程.鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣.同時(shí)高中數(shù)學(xué)課程還力求通過(guò)各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).

下面是筆者隨行聽(tīng)取的高三復(fù)習(xí)課中的“函數(shù)圖像變換”專題中的第一課時(shí)，授課老師通過(guò)學(xué)生自主探究與合作學(xué)習(xí)探究平移變換和伸縮變換的規(guī)律，師生配合默契，整個(gè)教學(xué)過(guò)程在愉快的情境下完成.聽(tīng)完本節(jié)課后筆者感觸頗深，現(xiàn)摘錄課堂探究片段，并就此談幾點(diǎn)感悟，不到之處，還望各位賜教.

教學(xué)片段1：函數(shù)圖像平移變換1

師：我們來(lái)研究由函數(shù)y=f（x）的圖像通過(guò)怎樣的變換可以得到函數(shù)y=f（x+a）的圖像.按照從特殊到一般的原則，首先考慮下列函數(shù)，請(qǐng)每組同學(xué)從中選擇一種（各組不同）合作探究.

經(jīng)過(guò)學(xué)生的自主探究和合作交流，并在教師的巡視指導(dǎo)下，讓學(xué)生交流探究結(jié)果，提出猜想：函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移（a>0）|a|個(gè)單位，或向右平移（a<0）|a|個(gè)單位就可以得到函數(shù)y=f（x+a）的圖像.這就是我們通常所說(shuō)的：左加右減原則.

師：如何驗(yàn)證猜想？

學(xué)生繼續(xù)分組探究，證明后教師演示函數(shù)圖像左右平移變換動(dòng)畫課件.

師：剛才我們?cè)谘芯亢瘮?shù)圖像左右變化的規(guī)律時(shí)，大家都采用了什么方法？請(qǐng)同學(xué)們猜猜老師選擇這些特殊函數(shù)的意圖.（留給學(xué)生思考和再探索的空間）.

教學(xué)片段2：函數(shù)圖像平移變換2

師：上面我們研究了函數(shù)圖像左右平移的變化規(guī)律，下面再來(lái)研究一下由函數(shù)y=f（x）的圖像通過(guò)怎樣的變化可以得到函數(shù)y=f（x）+b的圖像.仿照上面的方法，請(qǐng)同學(xué)們還是按照從特殊到一般的原則，請(qǐng)每組同學(xué)從冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)選擇一種（各組不同）合作交流.

學(xué)生分組探究，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生概括并交流探究結(jié)果，提出猜想：函數(shù)y=f（x）的圖像向上平移（b>0）|b|個(gè)單位，或向下平移（b<0）|b|個(gè)單位就可以得到函數(shù)y=f（x）+b的圖像.

師：這就是我們通常所說(shuō)的：上加下減原則.驗(yàn)證猜想后，教師演示函數(shù)圖像上下平移變換動(dòng)畫課件.

感悟一：注重學(xué)生能力培養(yǎng)滲透思想方法

如果教學(xué)目標(biāo)僅僅是掌握函數(shù)圖像平移變換和伸縮變換的規(guī)律，那么比較高效的設(shè)計(jì)就是老師先給出示范規(guī)律并演示動(dòng)畫課件，然后通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)解釋說(shuō)明，最后練習(xí)鞏固小結(jié)即可.然而這位老師并沒(méi)有這樣做，本節(jié)課不僅關(guān)注學(xué)生掌握函數(shù)圖像平移變換和伸縮變換的規(guī)律這一結(jié)果，而且關(guān)注學(xué)生能力的提高，即通過(guò)觀察、比較、歸納猜想、驗(yàn)證，探究平移變換和伸縮變換的規(guī)律，體驗(yàn)從特殊到一般的合情推理思想，在教學(xué)過(guò)程中注重滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想方法，注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng).

通過(guò)學(xué)生自身的活動(dòng)，按照從特殊到一般的規(guī)律，從不同的途徑獲得結(jié)論.從這位老師的課堂教學(xué)預(yù)設(shè)中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)探究的目的并不是為了得到一個(gè)確定的結(jié)論，而是強(qiáng)調(diào)一種主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣.在教學(xué)中這位老師做到了以下幾點(diǎn)：

1.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生能接近數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)并不神秘，數(shù)學(xué)就在我們周圍，我們時(shí)時(shí)刻刻都離不開數(shù)學(xué).

2.引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的直觀.讓學(xué)生以研究者的身份，參與包括探索、發(fā)現(xiàn)在內(nèi)的獲取知識(shí)的全過(guò)程，使其體會(huì)到通過(guò)自己的努力取得成功的快樂(lè)，從而產(chǎn)生濃厚的興趣和求知欲.

3.鼓勵(lì)攻克數(shù)學(xué)，使其在發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造中享受成功的喜悅.激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)了學(xué)生自主探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生學(xué)習(xí)樂(lè)在其中，培養(yǎng)了學(xué)生不斷探索的欲望.

在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，讓學(xué)生真正的“活動(dòng)”起來(lái)，在活動(dòng)的過(guò)程中作出合情推理的猜想念頭.因此，這位老師在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)學(xué)生探究的時(shí)間，給學(xué)生探究的結(jié)果進(jìn)行一次再展示的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅，這樣適當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)探究的時(shí)間意義重大，讓學(xué)生經(jīng)歷從無(wú)到有、從有到優(yōu)的親身體會(huì)，使學(xué)生從中真正賞析了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，感悟到數(shù)學(xué)之美.這位老師通過(guò)自主學(xué)習(xí)和合作探究，讓學(xué)生在一個(gè)較寬松的環(huán)境下進(jìn)行自我學(xué)習(xí)，并通過(guò)對(duì)兩類平移變換的探究，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們的變換規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系，并使用幾何畫板讓他們感受到幾何直觀.

教學(xué)片段3：函數(shù)圖像平移變換3

師：通過(guò)上面的探究，請(qǐng)同學(xué)來(lái)看函數(shù)y=f（x）的圖像通過(guò)怎樣的變化可獲得函數(shù)y=f（x+a）+b的圖像呢？

學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考后分組探究驗(yàn)證，可以有兩種途徑得到結(jié)論：即可先左右平移，再上下平移；也可以先上下平移，再左右平移.最后老師演示函數(shù)圖像平移變換動(dòng)畫課件，驗(yàn)證同學(xué)們的探究成果，并給同學(xué)們以鼓勵(lì)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)情趣和勇于探索的精神.

動(dòng)態(tài)的課堂生成是基于師生互動(dòng)的創(chuàng)造，因此教師要有足夠的耐心善待和寬容學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的不足和錯(cuò)誤，教師應(yīng)成為課堂智慧的引領(lǐng)者，給予學(xué)生有效地價(jià)值引導(dǎo)和點(diǎn)撥，讓課堂生成更有活力.這位老師把左右平移變換和上下平移變換綜合起來(lái)，并通過(guò)幾何畫板進(jìn)行演示，使學(xué)生對(duì)平移變換既有理論上的認(rèn)識(shí)，又有直觀上的感知，以形助數(shù)，為后面的伸縮變化奠定了基礎(chǔ).

教學(xué)片段4：函數(shù)圖像伸縮變換

以上我們共同探究了函數(shù)圖像的平移變換，下面我們?cè)賮?lái)研究一下函數(shù)圖像的伸縮變換.

師：下面我們來(lái)研究函數(shù)y=f（x）的圖像通過(guò)怎樣變換可以得到函數(shù)y=f（ωx）；y=Af（x）；y=Af（ωx）（A>0，A≠1，ω>0，ω≠1）的圖像.咱們還是按照從特殊到一般的原則，請(qǐng)每組同學(xué)從冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)選擇一種（各組不同）合作交流.

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主學(xué)習(xí)和分組探究，在教師的巡視指導(dǎo)下，學(xué)生概括并交流研究成果，提出猜想：

函數(shù)y=f（x）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（ω>1），或伸長(zhǎng)（0<ω<1）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），就得到函數(shù)y=（fωx）的圖像.這就是我們通常所說(shuō)的周期變換.

函數(shù)y=f（x）的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（A>1），或縮短（0

師：因此，要從函數(shù)y=f（x）的圖像獲得函數(shù)y=Af（ωx）（A>0，A≠1，ω>0，ω≠1）的圖像也有兩種途徑：即先周期變換，再振幅變換，或先振幅變換，再周期變換.盡管這兩種變換的順序不同，但變換的結(jié)果是一樣的（限于篇幅，不再贅述）.

學(xué)生驗(yàn)證猜想后，教師演示函數(shù)圖像伸縮變換動(dòng)畫課件.

感悟二：采用合作探究的學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)

在探究平移變換和伸縮變換的規(guī)律時(shí)，教師合理地選擇合作探究學(xué)習(xí)的策略.其合理性表現(xiàn)在：

第一，合作探究的問(wèn)題有價(jià)值，有意義，而且是學(xué)生短時(shí)間獨(dú)立完成困難的，但又是在學(xué)生力所能及范圍內(nèi)的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，合作探究是必需的.

第二，在合作探究前，給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生帶著自己的觀點(diǎn)或觀點(diǎn)雛形參與到合作學(xué)習(xí)中，他（她）們才能真正體驗(yàn)到討論帶來(lái)的挑戰(zhàn)性以及與他人分享成功的快樂(lè).

第三，既重視教師的適度引導(dǎo)，也注重學(xué)生自主充分發(fā)揮，保證學(xué)生合作探究學(xué)習(xí)的時(shí)間.

第四，合作探究學(xué)習(xí)形式多樣，既有組間的小組合作，也有組內(nèi)的小組合作.

第五，小組成員之間明確責(zé)任分工，注重聽(tīng)取組內(nèi)和組外不同的建議和意見(jiàn)，形成良好的合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

許多老師認(rèn)為這樣的上課形式固然很好，但太耽誤時(shí)間，不如老師把結(jié)論演示一下再展示給學(xué)生，這樣既省時(shí)，又省力.然而我們應(yīng)該知道學(xué)生是一個(gè)靈動(dòng)的主體，是一個(gè)個(gè)活生生的人，蘊(yùn)藏著巨大的能量，思考著同一個(gè)問(wèn)題，不同的主體之間由于思維方式的不同、知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異，往往能迸發(fā)出許多出人意料的思考方法.教學(xué)過(guò)程中教師一定要充分相信學(xué)生，努力為他們創(chuàng)設(shè)寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境和資助探究的時(shí)空，讓他們各顯神通，讓他們的思維碰撞出更絢麗多彩的火花.本節(jié)課這位老師不惜時(shí)間，學(xué)生在老師的引領(lǐng)下，通過(guò)自主探究與合作探究掌握了由函數(shù)y=f（x）的圖像如何到函數(shù)y=f（ωx）的圖像以及由函數(shù)y=f（x）的圖像如何獲得函數(shù)y=Af（x）的圖像的操作方法，并借助于幾何畫板完美呈現(xiàn)了伸縮變換，通過(guò)圖形直觀誘發(fā)直覺(jué)，讓難點(diǎn)問(wèn)題易如反掌.但應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)總是圍繞著數(shù)與形展開的，雖然本節(jié)課是研究函數(shù)圖像變換的，但還應(yīng)在數(shù)上多花點(diǎn)時(shí)間.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)“數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”.這節(jié)課研究的“形”較多，還應(yīng)在“數(shù)”上多做文章為好.

教學(xué)片段5：函數(shù)圖像平移變換與伸縮變換的比較

師：上面我們已經(jīng)共同研究了函數(shù)圖像的平移變換和伸縮變換，得到了它們的變換規(guī)律.現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)探究它們的異同點(diǎn).

學(xué)生自主學(xué)習(xí)后分組探究，師生共同歸納：

平移和伸縮變換都有左右或上下變換，都是x或y在變.

左右平移、左右伸縮是x在變化，變化的規(guī)律與一般習(xí)慣相悖.

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像向左平移a個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x+a）的圖像；

函數(shù)y=f（x）的圖像向右平移a個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x－a）的圖像.

當(dāng)ω>1時(shí)，函數(shù)y=（fx）各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到函數(shù)y=f（ωx）的圖像；

當(dāng)0<ω<1時(shí)，函數(shù)y=（fx）各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，得到函數(shù)y=f（ωx）的圖像.

上下平移、上下伸縮是y在變化，變化的規(guī)律與一般習(xí)慣相符.

當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像向上平移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）+b的圖像；

函數(shù)y=f（x）的圖像向下平移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）－b的圖像.

當(dāng)A>1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的A倍，得到函數(shù)y=Af（x）的圖像；

當(dāng)0

感悟三：不斷開發(fā)學(xué)習(xí)資源，完善知識(shí)體系

由于函數(shù)的重要性和抽象性，所以函數(shù)內(nèi)容是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容也是難點(diǎn)內(nèi)容，而函數(shù)的圖像就像函數(shù)的肢體一樣，能清晰地反映函數(shù)的特征.因此高中階段對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過(guò)研究函數(shù)的圖像及其變換獲得的，這也許就是函數(shù)圖像及其變換成為高考命題熱點(diǎn)和常青樹的原因之一.

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程需要有一個(gè)對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握、加工和理解的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也需要有一個(gè)對(duì)該過(guò)程進(jìn)行積極的監(jiān)控、調(diào)節(jié)的的反思過(guò)程.波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”在完成對(duì)知識(shí)的探究之后，這位老師能從學(xué)生認(rèn)知的高度對(duì)所學(xué)知識(shí)給予總結(jié)歸納，讓學(xué)生更系統(tǒng)的掌握平移變換和伸縮變換的本質(zhì)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的研究.通過(guò)比較兩種變換，掌握其變換規(guī)律，使學(xué)生在師生的互動(dòng)交換中對(duì)知識(shí)的掌握得到升華.當(dāng)然課堂上學(xué)生的思考時(shí)間顯得倉(cāng)促，學(xué)生的思維量不足.

感悟四：適時(shí)進(jìn)行課件演示激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

課件的演示是有講究的，安排在不同的階段的作用是不一樣的.一是先演示后探究，動(dòng)機(jī)激發(fā).這位老師首先以若干函數(shù)圖像變換的動(dòng)畫課件引出課題，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的欲望，然后再讓學(xué)生有步驟地合作探究；二是先探究后演示，印象鮮明，每次探究后，這位老師再通過(guò)動(dòng)畫課件演示印證結(jié)論，這樣學(xué)生不僅經(jīng)歷了過(guò)程，提高了能力，同時(shí)也對(duì)變換規(guī)律留下了深刻的印象，為規(guī)律的靈活運(yùn)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).這位老師在不同階段采用不同的演示順序，由表及里，為學(xué)生完整的獲取函數(shù)的圖像變換奠定了基礎(chǔ).

“函數(shù)圖像變換”在高中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有具體的章節(jié)，而是分散于函數(shù)的各節(jié)內(nèi)容中，因此在高三復(fù)習(xí)階段，這位老師站在圖像變換的高度系統(tǒng)與學(xué)生一起研究函數(shù)圖像的平移、伸縮、對(duì)稱變換，可使學(xué)生深刻理解函數(shù)概念、完善函數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高數(shù)學(xué)能力.

結(jié)束語(yǔ)

高三復(fù)習(xí)是一項(xiàng)復(fù)雜而艱巨的工作，如何提高課堂的復(fù)習(xí)效率是我們最關(guān)注的，然而提高高三課堂的復(fù)習(xí)效率所采用的方法是多樣的，如何真正實(shí)現(xiàn)課堂的有效性，是一門還在研究發(fā)展中的學(xué)問(wèn).教師如何按照教學(xué)目標(biāo)的要求，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極的探索與研究，發(fā)揮他們主動(dòng)參與的意識(shí)，這就要求教師能根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，選擇恰當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)方略，營(yíng)造一個(gè)和諧課堂教學(xué)氛圍，力爭(zhēng)最大限度地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

1.羅增儒.教學(xué)效能的故事高效課堂的特征，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考［J］.2011，1-2合刊，2011，3.

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