梁志瑞，季 冰，牛勝鎖

(新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 華北電力大學(xué)，河北 保定 071003)

0 引言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種電力電子裝置正在被大量使用，非線性負(fù)荷在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，電力系統(tǒng)諧波和間諧波 (包括次諧波)污染日益嚴(yán)重。隨著電機(jī)驅(qū)動(dòng)與變換器容量的增大，間諧波的存在越來(lái)越引起人們的重視[1]。間諧波在IEC61000-2-1的定義為:在電壓和電流信號(hào)的諧波之間存在著頻率與基波頻率不成整數(shù)倍關(guān)系的信號(hào)[2]。產(chǎn)生間諧波的裝置有直流聯(lián)接類型的大型調(diào)速設(shè)備、變頻器、Krajner驅(qū)動(dòng)設(shè)備、牽引驅(qū)動(dòng)設(shè)備，尤其是那些使用三相交流電動(dòng)機(jī)的牽引驅(qū)動(dòng)設(shè)備以及高壓直流輸電系統(tǒng)等。頻率高于基波頻率的間諧波會(huì)干擾音頻設(shè)備正常工作，引起感應(yīng)電機(jī)噪聲和振動(dòng)等，頻率低于基波頻率的間諧波會(huì)引起電壓閃變，低頻繼電器的異常運(yùn)行等。間諧波的另一嚴(yán)重影響是會(huì)導(dǎo)致現(xiàn)有的諧波補(bǔ)償裝置失效，甚至損壞[3，4]。因此，有效監(jiān)測(cè)間諧波成為了專家和學(xué)者越來(lái)越關(guān)注的問(wèn)題。

快速傅里葉變換 (Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)法是最常用的諧波分析工具，但是應(yīng)用FFT進(jìn)行諧波分析時(shí)，容易造成頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，造成測(cè)量誤差，難以滿足精度要求。尤其是間諧波，容易被泄漏的頻譜淹沒(méi)[5]。所以需要對(duì)FFT方法進(jìn)行改進(jìn)。對(duì)于頻譜泄漏，通常通過(guò)加窗函數(shù)進(jìn)行解決。解決柵欄效應(yīng)的方法是插值。在諧波與間諧波檢測(cè)中，常用的插值方法有單譜線插值、三次樣條插值和最普遍應(yīng)用的雙譜線插值[6～10]。雙譜線插值在修正過(guò)程中用了幅值最大的兩根譜線，但在FFT的結(jié)果中，擁有較大幅值的譜線往往不只兩根。將這些擁有較大幅值的譜線加權(quán)應(yīng)用于結(jié)果修正中，會(huì)保證更高的精度。因此本文提出了一種基于三譜線插值的間諧波分析方法，通過(guò)仿真驗(yàn)證了其可行性。

1 三譜線插值算法原理

以單一頻率信號(hào)為例進(jìn)行分析，對(duì)單一頻率信號(hào)x(t)以采樣頻率fs均勻采樣后，得到離散時(shí)間信號(hào)，對(duì)此信號(hào)加窗后，忽略負(fù)頻點(diǎn)處譜峰旁瓣影響，加窗序列xw(n)=x(n)w(n)的離散傅里葉變換表達(dá)式為:式中:N為采樣點(diǎn)數(shù);f0為信號(hào)頻率;A0為信號(hào)幅值;φ0為初相位;fs為采樣頻率。

信號(hào)如果是被非同步采樣，則峰值頻率f0=k0Δf不會(huì)在離散譜線頻點(diǎn)上。常用的單、雙譜線插值，只考慮了幅值最大的1，2根譜線信息，但通過(guò)對(duì)信號(hào)的FFT分析結(jié)果可知，在峰值譜線附近的3，4根譜線的幅值都比較大，這些譜線的信息都應(yīng)該用于插值修正，只是在修正過(guò)程中的加權(quán)權(quán)重有所不同。如果選取參考的譜線過(guò)多，當(dāng)Δf較大時(shí)，兩個(gè)檢測(cè)頻率之間的譜線根數(shù)會(huì)較小，這時(shí)參考譜線會(huì)受諧波和間諧波譜線泄漏的互相干擾，特別是間諧波的譜線完全被淹沒(méi)，沒(méi)有應(yīng)用價(jià)值。但減小Δf會(huì)增加信號(hào)的采樣周期。一般采樣周期超過(guò)10個(gè)，系統(tǒng)的諧波情況可能就會(huì)發(fā)生變化，這時(shí)就會(huì)失去即時(shí)性意義。所以IEC 61000-4-7∶2002 標(biāo)準(zhǔn)[9]規(guī)定采樣10 個(gè)整周期。文獻(xiàn)[10]選取的采樣周期為27個(gè)，遠(yuǎn)超過(guò)這一數(shù)字，因此實(shí)時(shí)效果有待商榷。在保證采樣周期數(shù)的前提下，參考譜線過(guò)多反而會(huì)受頻譜之間的影響而增大誤差。因此選取最大的三根參考譜線進(jìn)行插值。

設(shè)峰值譜線k0附近幅值最大的譜線為k1，k1左邊的譜線為k2，右邊的譜線為k3，其幅值分別對(duì)應(yīng)為的范圍為

可以求得:

其反函數(shù)為 α=h－1(β)，由 β可得 α，頻率修正公式為:

初相位修正公式為:

幅值修正中，三譜線插值會(huì)把y1，y2，y3用于幅值修正，由于三根譜線幅值大小不等，所以需要對(duì)三根譜線幅值進(jìn)行加權(quán)平均計(jì)算得到實(shí)際峰值點(diǎn)幅值。由于譜線k1為峰值點(diǎn)附近幅值最大的譜線，因此加權(quán)時(shí)對(duì)k1的幅值y1予以較大權(quán)重。經(jīng)過(guò)對(duì)比試驗(yàn)，三根譜線的權(quán)值比為1∶2∶1。

由式 (1)得

進(jìn)而有:

由式 (5)得:

N值若較大，則上式可以簡(jiǎn)化為:

2 基于三種四項(xiàng)余弦組合窗的三譜線插值分析

加窗插值FFT算法的性能受窗函數(shù)的影響較大，不同窗函數(shù)抑制頻譜泄漏的程度和插值公式的計(jì)算復(fù)雜度都有所不同。所以，選擇合適的窗函數(shù)能夠減小算法的計(jì)算復(fù)雜度和提高算法的諧波分析精度。理想的窗函數(shù)應(yīng)具有主瓣寬度窄、最大旁瓣低和旁瓣衰減速度快的特點(diǎn)[11]。

組合余弦窗的頻譜簡(jiǎn)單，因而應(yīng)用最為普遍。其一般表達(dá)式為:

式中:N為窗長(zhǎng)度;M為余弦組合窗函數(shù)的項(xiàng)數(shù);am為系數(shù)。M和am的取值不同，決定了不同的余弦組合窗函數(shù)。

性能優(yōu)良的已知余弦組合窗函數(shù)有Hanning窗、Hamming 窗、Blackman 窗、Nuttall窗、Blackman-Harris(B-H)窗和Rife-Vincent窗 (RH窗)等[12～15]。這些窗函數(shù)在電網(wǎng)諧波分析中得到了廣泛應(yīng)用。在組合窗項(xiàng)數(shù)選取上，P值越大，最大旁瓣的電平值越低，旁瓣衰減速度也越大，但是相應(yīng)的主瓣寬度也會(huì)增大，從而影響頻率分辨率。由于間諧波的頻帶是分布在整次諧波之間，有些頻率更是較接近成分較高的整數(shù)次諧波。頻率分辨率低，F(xiàn)FT結(jié)果中間諧波對(duì)應(yīng)的譜線會(huì)被整次諧波泄漏譜線淹沒(méi)，無(wú)法得到間諧波的準(zhǔn)切信息，無(wú)論如何進(jìn)行修正，得到的間諧波信息都是錯(cuò)誤的。這樣測(cè)量諧波精度很高的9項(xiàng)余弦組合窗等項(xiàng)數(shù)大的窗函數(shù)就無(wú)法用于間諧波分析。本文中選取的余弦窗項(xiàng)數(shù)為4。選取了4項(xiàng)余弦窗中典型的3種窗函數(shù):旁瓣衰減最快4項(xiàng)窗、主瓣寬度最小的B-H窗、最小旁瓣4項(xiàng)窗進(jìn)行分析。

3種典型4項(xiàng)窗的系數(shù)如表1所示。

表1 三類窗函數(shù)系數(shù)Tab.1 Coefficients of the three types window

3種窗函數(shù)幅頻特性圖如圖1～3所示。

圖1 四項(xiàng)旁瓣衰減最快窗幅頻特性Fig.1 Amplitude-frequency characteristic of four terms maximum side-lobe decay speed window

3種窗函數(shù)的旁瓣特性如表2所示。

表2 旁瓣特性Tab.2 Side-lobe characteristics

3種所選窗函數(shù)都具備了典型的特點(diǎn)，B-H窗主瓣相對(duì)最小，旁瓣衰減最快窗衰減速率最大，最小旁瓣窗能量最集中在主瓣。后文將仿真驗(yàn)證3種典型窗檢測(cè)間諧波的能力。

在式 (1)中，窗函數(shù)的離散傅里葉變換W(k)的表達(dá)式為:

將式 (9)分別代入式 (2)和式 (6)，令α在[－0.5，0.5]內(nèi)取值 (注:由于MATLAB軟件的運(yùn)算特性，－0.5，0，0.5三個(gè)點(diǎn)處會(huì)造成分母為零不能運(yùn)算，故取值時(shí)應(yīng)將這三個(gè)點(diǎn)去掉)利用MATLAB中的擬合函數(shù)polyfit，可以得到式(2)反函數(shù)以及式 (7)的擬合多項(xiàng)式為:

3 間諧波分析仿真

當(dāng)系統(tǒng)間諧波檢測(cè)出現(xiàn)如下兩種情況時(shí)，間諧波結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大的偏差:

(1)間諧波頻率分布接近整次諧波，尤其是接近基波時(shí)，間諧波譜線會(huì)被完全淹沒(méi)，減小Δf改變分辨率的做法雖然會(huì)使測(cè)量精確，但是會(huì)增加采樣周期數(shù)導(dǎo)致失去即時(shí)分析的意義。

(2)當(dāng)系統(tǒng)存在一定程度的噪聲時(shí)，噪聲對(duì)間諧波檢測(cè)的干擾。

因此對(duì)這兩種情況下的模型進(jìn)行分析。

3.1 間諧波頻率接近基波時(shí)的仿真對(duì)比

設(shè)一個(gè)含有30 Hz間諧波和基波的簡(jiǎn)單信號(hào)為:x(n)=3sin(2π ×30n+0.5)+100sin(2π ×50.2n+1)，n=0，1，…，128，基波頻率取為50.2 Hz。這時(shí)使用三種四項(xiàng)窗做三譜線插值的頻率、幅值、相位修正結(jié)果相對(duì)誤差 (%)如表3所示。

表3 30Hz間諧波信號(hào)測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measurement results of sign with inter-harmonics at 30Hz 相對(duì)誤差%

從表3結(jié)果中可見(jiàn)，當(dāng)間諧波頻率較接近基波時(shí)，雖然衰減最快窗對(duì)基波的修正頻率較另兩種窗函數(shù)更準(zhǔn)確，但由于旁瓣較大，能量相對(duì)不集中在主瓣，導(dǎo)致間諧波譜線淹沒(méi)情況較嚴(yán)重，尤其是相位誤差很大。因此在本文中不再選用4項(xiàng)旁瓣衰減最快窗進(jìn)行分析。而B-H窗與四項(xiàng)最小旁瓣窗由于旁瓣低，能量集中在主瓣，所以淹沒(méi)情況并不嚴(yán)重。

3.2 含噪聲綜合信號(hào)仿真

這里構(gòu)造一個(gè)含有三、五、七、九、十一次整數(shù)諧波和五種頻率的間諧波假設(shè)信號(hào)為:

由于電網(wǎng)頻率的允許波動(dòng)范圍為50±0.2 Hz，因此基波頻率 f1選取50.2 Hz，采樣頻率 fs=2 560 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512點(diǎn)，噪聲項(xiàng)e(n)為高斯白噪聲，信噪比為30 dB。諧波相位采取的是弧度制，諧波與間諧波成分如表4所示。

表4 各次諧波及間諧波成分Tab.4 Composition of harmonics and inter-harmonics

本文對(duì)加四項(xiàng)余弦最小旁瓣窗、Blackman-Harris窗的三譜線插值法以及加這兩種窗函數(shù)的雙譜線插值法的四種情況的修正結(jié)果進(jìn)行了分析，頻率、幅值、相位的相對(duì)誤差結(jié)果 (%)分別如表5、表6、表7所示。

表5 三譜線插值與雙譜線插值頻率修正相對(duì)誤差對(duì)比Tab.5 Comparison of relative error about frequencies between dual interpolation and triple interpolation%

表6 三譜線插值與雙譜線插值幅值修正相對(duì)誤差對(duì)比Tab.6 Comparison of relative error about amplitudes between dual interpolation and triple interpolation%

表7 三譜線插值與雙譜線插值相位修正相對(duì)誤差對(duì)比Tab.7 Comparison of relative error about phases between dual interpolation and triple interpolation%

3.3 結(jié)果分析

間諧波測(cè)量的窗函數(shù)選取上，最大旁瓣低，能量集中分布在主瓣的窗函數(shù)在間諧波分量的測(cè)量上的精度高于其他窗函數(shù)。

系統(tǒng)含有白噪聲，間諧波分量有較接近整數(shù)次諧波并且采樣周期保持在10個(gè)的情況下，加BH窗以及四項(xiàng)最小旁瓣余弦組合窗的三譜線插值仍能保證一定的精度，傳統(tǒng)的雙譜線插值誤差超過(guò)國(guó)標(biāo)要求的0.2%[16]，已經(jīng)不能滿足精度要求。以幅值誤差為例，B-H窗和最小旁瓣四項(xiàng)窗雙譜線插值和三譜線插值的誤差絕對(duì)值曲線對(duì)比如圖4所示?？梢钥吹剑V線插值的準(zhǔn)確性要遠(yuǎn)優(yōu)于雙譜線插值。

圖4 兩種插值幅值相對(duì)誤差對(duì)比Fig.4 Comparison of relative error about amplitudes between two interpolated theory

4 結(jié)論

本文提出了一種基于三譜線插值的間諧波分析方法，選取了四項(xiàng)余弦組合窗中的三種典型窗函數(shù)，分別對(duì)間諧波接近基波頻率、系統(tǒng)中有噪聲分量的綜合信號(hào)兩種情況進(jìn)行了仿真。窗函數(shù)的選取上，最大旁瓣較低能量集中的窗函數(shù)可以較好地避免間諧波譜線被淹沒(méi)。針對(duì)電力系統(tǒng)諧波分析即時(shí)性的要求，按IEC 61000-4-7∶2002標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的采樣周期為10個(gè)，遠(yuǎn)小于一般文獻(xiàn)中的采樣周期。在計(jì)及被測(cè)信號(hào)含有噪聲干擾情況下，配合所選的兩種窗函數(shù)，三譜線插值仍能保證測(cè)量精度，既滿足了測(cè)量的精度要求，又滿足了系統(tǒng)的即時(shí)分析要求。