蔡鳴晶

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 南京 210046）

巧選例題辨析概率統(tǒng)計(jì)中幾個容易混淆的概念

蔡鳴晶

（南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇 南京 210046）

對概率統(tǒng)計(jì)中幾個容易混淆的概念：頻率與概率、互不相容事件與相互獨(dú)立事件、互不相容事件與相互對立事件、多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立、條件概率與乘積概率等舉例辨析。在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中，選取既具有實(shí)用背景又能闡明基本概念、能夠提高學(xué)生興趣的例題，能夠加強(qiáng)學(xué)生對知識理解的準(zhǔn)確性和完善性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和職業(yè)能力。

例題；概率統(tǒng)計(jì)；概念辨析；頻率；概率；職業(yè)素質(zhì)

概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校理、工、管理類專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)理論課，也是高等職業(yè)院校一門重要的職業(yè)素質(zhì)課程。它的思想方法與學(xué)生以往接觸過的任何一門學(xué)科均有所不同。在概率統(tǒng)計(jì)中存在許多容易混淆的概念，如不能認(rèn)真區(qū)分，仔細(xì)加以甄別，就難以正確理解這些重要概念，在應(yīng)用時就容易出現(xiàn)各種各樣的錯誤。學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課的過程中普遍感到概念難以理解，思維難以展開。因此，教師在教學(xué)過程中對那些容易使學(xué)生混淆的內(nèi)容一定要提出來特別強(qiáng)調(diào)，消除學(xué)生對這些內(nèi)容理解的困難。對于這些內(nèi)容如果能精心選擇適當(dāng)?shù)睦蛹右越忉屨f明，會得到事半功倍的效果。下面舉例說明。

頻率與概率

定義1：在相同條件下重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)m與實(shí)驗(yàn)總次數(shù)n的比值稱為頻率。

定義2：大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，事件A發(fā)生的頻率總是接近某一常數(shù)p，并在它附近擺動，這個常數(shù)p叫做事件A的概率。

兩者之間的關(guān)系：概率來源于頻率，它是大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時頻率的穩(wěn)定值。因此，頻率是概率的先導(dǎo)，而概率是頻率的抽象和發(fā)展。頻率在一定程度上可以反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，但頻率本身是隨機(jī)的，在實(shí)驗(yàn)前不能確定，無法從根本上刻畫事件發(fā)生可能性的大小。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量反映，是事件在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定后的值，即可以用大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同。

在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的條件下頻率可以近似地作為這個事件的概率。一般地，用頻率近似代替概率的例子并不多見，以下這個例子既有很好的實(shí)際意義，又能較好地體現(xiàn)頻率與概率之間的聯(lián)系。

例1：新藥的效果

一種治療某種疾病的新藥，在500名病人中，有的服了這種藥，有的沒有服這種藥 （B），5天后，有的痊愈，有的未痊愈（AB），各種情況的人數(shù)見表1，其中170表示服藥后痊愈（AB）的人數(shù)，其余類似。試判斷這種新藥是否有效？

表1 新藥效果統(tǒng)計(jì)表

解：比較服藥后痊愈與未服藥痊愈事件概率，由于試驗(yàn)共500例，試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大，故可用頻率近似地估計(jì)概率：p

因?yàn)閜（B）與p（B|A）幾乎相等，故可認(rèn)為事件B與A相互獨(dú)立，表明服藥和不服藥對治療效果不大，新藥對這種疾病無意義。

評析：本題只給出了數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)表，且試驗(yàn)次數(shù)較大，因此，用頻率去估計(jì)概率給問題的解決帶來了很大的方便。根據(jù)本問題提供的條件直接求事件的概率是很困難的。

互不相容事件與相互獨(dú)立事件

定義3：設(shè)A、B為兩個事件，若AB= Φ，則稱A、B互不相容。

定義4：如果兩個事件A與B滿足等式P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B是相互獨(dú)立的。

兩者之間的關(guān)系：兩事件“互不相容”是指這兩個事件不能同時發(fā)生，是用事件的運(yùn)算來描述的。而“相互獨(dú)立”則是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，是用事件的概率來描述的。兩事件“互不相容”時，這兩個事件之間有很強(qiáng)的依賴關(guān)系。“兩事件相互獨(dú)立必定互不相容”的認(rèn)識是錯誤的。

一般情況下，兩件互不相容的事件不一定相互獨(dú)立，兩個相互獨(dú)立的事件也不一定互不相容。只有滿足條件：P（A）P（B）=0時，這兩者才能相互推出。

為了讓學(xué)生更好地區(qū)別這兩個極易混淆的概念，在選擇例題的時候要有針對性地選擇一些學(xué)生比較容易理解又比較簡單的事件，這樣學(xué)生在遇到一些比較復(fù)雜的事件時，才能更好地區(qū)分。

例2：盒子里裝有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球試驗(yàn)，A表示“第一次摸到黑球”，B表示 “第二次摸到白球”；則A和B是相互獨(dú)立但不是互不相容的。

例3：52張撲克牌平均分給甲、乙、丙、丁4個人，A表示甲得3張K，B表示乙得兩張K；則A與B互不相容但不相互獨(dú)立。

例4：甲投籃命中率為0.8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？解：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A、B相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中兩次為事件，于是

評析：常有學(xué)生會這樣認(rèn)為：所求事件為A+B，

這樣做錯誤的原因就是把相互獨(dú)立同時發(fā)生的事件當(dāng)成了互不相容的事件。

互不相容事件與相互對立事件

定義5：“事件A不發(fā)生”稱為事件A的對立事件，記為。

互不相容事件與相互對立事件的聯(lián)系與區(qū)別是：（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生。

例5：把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是：

A.對立事件；B.不可能事件；C.互斥但不對立事件；D.以上均不對。

正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，也可能兩個都不發(fā)生，所以應(yīng)選C。若把“互斥”與“對立”混同就很容易錯選A。

這道例題的巧妙之處在于事件本身比較簡單，如果有學(xué)生僅從字面上理解對立，很容易錯選。

多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立

定義6：n個事件Ai（i=1，2，……，n）兩兩獨(dú)立是指：

?Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），

定義7：n個事件Ai（i=1，2，……，n）相互獨(dú)立是指：

?Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），

且P（A1，A2，……An）=P（A1）P（A2）……P（An）

兩者之間的關(guān)系：相互獨(dú)立可以推出兩兩獨(dú)立。反之未必。

以下兩個例子很巧妙地說明了相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立之間的關(guān)系。

例6：設(shè)有一個均勻的正四面體，第一、二、三面分別涂上紅、黃、藍(lán)一種顏色，第四面涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色?，F(xiàn)以A、B、C分別記投一次四面體底面出現(xiàn)紅、黃、藍(lán)顏色的事件，則P（A）=P（B）=P。所以，A、B、C兩兩獨(dú)立，但P（ABC），因而A、B、C不相互獨(dú)立。

評析：兩兩獨(dú)立有可能不相互獨(dú)立。

例7：設(shè)有一均勻正八面體，其第1、2、3、4面涂有紅色，第1、2、3、5面涂有黃色，第1、6、7、8面涂有藍(lán)色?，F(xiàn)以A、B、C分別表示投一次正八面體，底面出現(xiàn)紅、黃、藍(lán)顏色的事件，則

所以A、B、C不兩兩獨(dú)立。

評析：P（ABC）=P（A）P（B）P（C）成立，但A、B、C并不一定兩兩獨(dú)立。

條件概率P（A|B）與乘積概率P（AB）

定義8：在B發(fā)生的情況下，A發(fā)生的概率即為條件概率，記為：P（B|A）。

定義9：乘積概率P（AB）表示事件A、B同時發(fā)生的概率。

兩者之間的關(guān)系：P（B|A）=P（AB）=P（A|B）P（B）.

在講解這兩個概念的時候，選擇能在同一道題目里同時考察兩個概念的例題，可以比較好地幫助學(xué)生比較和辨別。

例8：袋中有9個白球1個紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到的也是白球的概率。

分析：問題（1）是求第一次取到紅球且第二次取到白球這一積事件的概率，而問題（2）則是求在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的條件概率。

例9：甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的。而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問：（1）這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？（2）若發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的，問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?

解：設(shè)A={零件是標(biāo)準(zhǔn)件}，B={零件是乙廠生產(chǎn)}，則問題（1）所求為P（AB）。P（AB）=問題（2）所求為P（A|B）。P（A|B）

例10：聾盲人群中又聾又盲可能性大小問題。

在某一人群中，聾子的概率是0.005，盲人的概率是0.0085，而聾子中是盲人的概率是0.12，求：（1）這個人群中任意一人，又聾又盲的概率；（2）求盲人中是聾子的概率。

解：A={此人是聾子}，B={此人是盲人}。 依題意有 P （A）=0.005，P （B）= 0.0085，P（B|A）=0.12，所求概率是P（AB）。由乘法公式得P（AB）=P（A）·P（B| A）=0.005×0.12=0.0006。而P（A|B）表示盲人中是聾子的概率，故P（A|B）=

概率統(tǒng)計(jì)是實(shí)際應(yīng)用性很強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。實(shí)踐表明，教師在教學(xué)過程中如果能夠精心選取既具有實(shí)用背景，又能對闡明基本概念有幫助、能提高學(xué)生興趣的例題，可以使原本抽象、枯燥難懂、容易混淆的數(shù)學(xué)理論變得有血有肉、有滋有味，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高學(xué)生對課程的學(xué)習(xí)興趣，取得較好的學(xué)習(xí)效果。

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[3]謝興武，李宏偉.概率統(tǒng)計(jì)釋難解疑[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[4]劉國慶，王勇.改革課堂教學(xué)方法探索概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的最佳模式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2003（3）.

[5]譚希麗，徐冬梅.概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)方法的幾點(diǎn)體會[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011（1）.

山西1.18億元確保中等職業(yè)教育免費(fèi)“全覆蓋”

近日，從山西省財(cái)政廳獲悉，為確保2012年秋季學(xué)期將對所有中職學(xué)生免除學(xué)費(fèi)，確保山西省中等職業(yè)學(xué)校免學(xué)費(fèi)工作的順利實(shí)施，近日山西省財(cái)政下達(dá)了春季免學(xué)費(fèi)中央和省級資金約1.18億元。

據(jù)了解，此次下達(dá)資金惠及山西省19.5萬名職業(yè)高中、職業(yè)中專學(xué)生，2.1萬名技校學(xué)生以及約4.1萬名普通中專家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生、涉農(nóng)專業(yè)學(xué)生、頂崗實(shí)習(xí)困難專業(yè)的學(xué)生。

2011年中等職業(yè)教育免學(xué)費(fèi)全覆蓋被山西省政府列為加快推進(jìn)全省農(nóng)村公共事業(yè)新的“五個全覆蓋”工程之一。按照規(guī)劃，山西省計(jì)劃用兩年時間實(shí)現(xiàn)中等職業(yè)教育免學(xué)費(fèi)全覆蓋。2011年秋季學(xué)期，職業(yè)高中全部在校學(xué)生和“送教下鄉(xiāng)”學(xué)生首先享受到免學(xué)費(fèi)政策；今年秋季學(xué)期，免學(xué)費(fèi)政策覆蓋范圍將擴(kuò)大到普通中專學(xué)校和技工學(xué)校全部在校學(xué)生，實(shí)現(xiàn)中職教育免學(xué)費(fèi)全覆蓋。

山西省要求各級財(cái)政、教育、人社等部門要加強(qiáng)免學(xué)費(fèi)補(bǔ)助資金的科學(xué)化、精細(xì)化管理，嚴(yán)禁“一邊免費(fèi)、一邊收費(fèi)”，杜絕通過虛報(bào)學(xué)生數(shù)套取補(bǔ)助資金的現(xiàn)象發(fā)生。中等職業(yè)學(xué)校必須嚴(yán)格按照規(guī)定的范圍與標(biāo)準(zhǔn)支出。同時，加強(qiáng)學(xué)校財(cái)務(wù)管理和資產(chǎn)管理等基礎(chǔ)性工作。建立健全會計(jì)賬簿，規(guī)范會計(jì)核算，確保免學(xué)費(fèi)資金使用的規(guī)范和有效。各級財(cái)政部門要與教育、人力資源社會保障、價(jià)格、審計(jì)、監(jiān)察等有關(guān)部門密切配合，齊抓共管，加強(qiáng)對免學(xué)費(fèi)政策落實(shí)情況和資金使用情況的監(jiān)督檢查。

（中國政府網(wǎng)）

G712

A

1672-5727（2012）07-0095-02

蔡鳴晶（1981—），女，江蘇南京人，碩士，南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)。