朱 雷 ，劉艷云

(1.江蘇技術(shù)師范學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，江蘇 常州 213001;2.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，江蘇 常州 213164)

混沌信號內(nèi)在的類隨機(jī)性、對初始條件的極端敏感性等特點(diǎn)使其在信息加密和保密通信［1-3］等領(lǐng)域具有良好的工程應(yīng)用前景，因此長期以來對于混沌系統(tǒng)的研究成為非線性科學(xué)的研究熱點(diǎn)［4-5］。從第1個(gè)三維連續(xù)自治混沌系統(tǒng)即Lorenz 系統(tǒng)［6］被發(fā)現(xiàn)開始，研究者對于混沌系統(tǒng)構(gòu)建的目標(biāo)主要集中于系統(tǒng)狀態(tài)方程的代數(shù)形式和乘積項(xiàng)、平方項(xiàng)等二次非線性項(xiàng)的設(shè)置，而對于分段線性混沌系統(tǒng)的報(bào)道較少。文獻(xiàn)［7-9］分別報(bào)道了兩類分段線性Lorenz 系統(tǒng)，改造后的系統(tǒng)中以分段線性項(xiàng)取代原系統(tǒng)中的二次項(xiàng)，卻同樣具有蝴蝶狀混沌吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和豐富的動(dòng)力學(xué)行為。類似地，文獻(xiàn)［10］則報(bào)道了一類分段線性Chen 系統(tǒng)。從系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn)角度看，一方面，分段線性化后使得混沌系統(tǒng)更容易通過模擬電路實(shí)現(xiàn)，另一方面，在以基于微控制器的數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)時(shí)，同樣可以大幅度提升系統(tǒng)的工作效率。眾所周知，在數(shù)據(jù)處理中，影響微控制器浮點(diǎn)計(jì)算效率的關(guān)鍵是乘法計(jì)算量，相對于二次項(xiàng)的計(jì)算，采用絕對值函數(shù)、符號函數(shù)等對系統(tǒng)分段線性化后可以使計(jì)算量大幅減小。由此可見，對于分段線性混沌系統(tǒng)的構(gòu)建和實(shí)現(xiàn)是一項(xiàng)具有重要意義的工作。文獻(xiàn)［11］在Sprott-B 混沌系統(tǒng)［12］模型的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)分段線性Sprott 系統(tǒng)并給出了相應(yīng)的模擬電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果。本文則在此基礎(chǔ)上，提出一種全新的分段線性混沌系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)，新系統(tǒng)中的常數(shù)控制器對于混沌振蕩具有線性調(diào)幅特性。此外，在采用改進(jìn)的Euler 算法對新系統(tǒng)進(jìn)行離散化后，通過16 bit 微控制器MSP430F249 對系統(tǒng)進(jìn)行了物理實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)觀察到了新分段線性系統(tǒng)生成的混沌吸引子。

1 分段線性混沌系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)［12］提出的三維二次連續(xù)Sprott-B 混沌系統(tǒng)可表示為:系統(tǒng)(1)式(1)具有兩個(gè)對稱的鞍焦平衡點(diǎn)并表現(xiàn)出一個(gè)兩翼蝴蝶混沌吸引子。文獻(xiàn)［11］在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，將其乘積項(xiàng)yz和xy 分別變?yōu)閟gn(y)z和sgn(y)y，引入系統(tǒng)參數(shù)后提出一個(gè)分段線性Sprott系統(tǒng)，這里sgn(·)為符號函數(shù)。本文則在此研究基礎(chǔ)上，將系統(tǒng)(1)第1個(gè)方程的乘積項(xiàng)yz 變?yōu)閟gn(y)z，第3個(gè)方程的xy 項(xiàng)變?yōu)閨x|+|y|，并引入常數(shù)控制器，從而構(gòu)建出一個(gè)分段線性混沌系統(tǒng)(2)，其數(shù)學(xué)模型為式(2)所示。

式中a和b為系統(tǒng)參數(shù)，c為常數(shù)控制器，且a，b，c＞0，x，y，z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。當(dāng)取典型參數(shù)a=1，b=1，c=1 時(shí)，系統(tǒng)的相軌圖呈現(xiàn)為一個(gè)兩翼蝴蝶混沌吸引子，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(2)的混沌吸引子

2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 基本動(dòng)力學(xué)分析

對于系統(tǒng)(2)，容易驗(yàn)證，在變換(x，y，z)→(-x，-y，z)下具有不變性，故系統(tǒng)關(guān)于z 軸對稱，且滿足

因b ＞0，所以系統(tǒng)(2)是耗散的。代數(shù)計(jì)算可得系統(tǒng)(2)的兩個(gè)平衡點(diǎn)分別為Q1=(c/2，c/2，0)和Q2=(-c/2，-c/2，0)，在平衡點(diǎn)Q1和Q2線性化系統(tǒng)(2)，得其Jacobi 矩陣:

計(jì)算可得Q1和Q2具有相同的特征多項(xiàng)式:

根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)，平衡點(diǎn)Q1和Q2均不穩(wěn)定，可能導(dǎo)致系統(tǒng)混沌。當(dāng)參數(shù)a=1，b=1 時(shí)，數(shù)值計(jì)算可知Q1和Q2對應(yīng)的特征根均為λ1=-1.353 2，λ2，3=0.176 6±1.202 8i，均為指標(biāo)2 的鞍焦點(diǎn)。

2.2 分岔圖分析

固定參數(shù)b=1，c=1，當(dāng)a∈［0.1，10］時(shí)，設(shè)定(x，y，z)初值為(1，1，0)，仿真可得系統(tǒng)(2)的分岔圖，如圖2所示。這里x-a 分岔圖選擇的Poincaré截面為z=0 平面。通過對圖2 的觀察，結(jié)合更為細(xì)致的相軌圖仿真，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0.1≤a≤0.3 時(shí)，系統(tǒng)處于弱混沌或擬周期狀態(tài)，當(dāng)0.3＜a≤10 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入魯棒混沌狀態(tài)。

圖2 a 變化時(shí)系統(tǒng)(2)的x-a 分岔圖

固定參數(shù)a=1，c=1，當(dāng)b∈［0.4，10］時(shí)，設(shè)定(x，y，z)初值為(1，1，0)，仿真可得系統(tǒng)(2)的分岔圖，如圖3所示。這里x-b 分岔圖選擇的Poincaré 截面依然

2.3 調(diào)幅特性分析

上述分岔圖數(shù)值仿真已經(jīng)表明常數(shù)控制器c對系統(tǒng)(2)的輸出信號x，y和z 的混沌振蕩幅度具有線性調(diào)幅作用。通過觀察Jacobi 矩陣，式(4)，和特征多項(xiàng)式，式(5)可以發(fā)現(xiàn)，因c為常數(shù)控制器，與平衡點(diǎn)處的特征根無關(guān)，所以，c 的變化不會改變系統(tǒng)的混沌特性和吸引子的形狀，但會影響系統(tǒng)平衡點(diǎn)的位置，并且伴隨c 對混沌振蕩的線性調(diào)幅作用，平衡點(diǎn)位置在x-y 平面也將發(fā)生線性的遷移。下面進(jìn)一步對c 的全局線性調(diào)幅作用進(jìn)行進(jìn)一步論證。

定理1 系統(tǒng)常數(shù)控制器c 是全局調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x，y和z 的幅值與c 呈線性關(guān)系變化。

證明 令x=kx*，y=ky*，z=kz*(k ＞0)，則系統(tǒng)(2)變?yōu)槿缦滦问?

由此可知，c 是全局調(diào)幅參數(shù)，系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量x，y和z 的線性調(diào)整等價(jià)于參數(shù)c 的線性尺度變化，即輸出信號x，y和z 的幅值與c 呈線性關(guān)系是z=0 平面。通過對圖3 的觀察，結(jié)合更為細(xì)致的相軌圖仿真，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0.4≤b≤1.8 時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)1.8＜b≤10 時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期或周期狀態(tài)，且當(dāng)b≥5.7 時(shí)，伴隨初值的不同，系統(tǒng)存在有趣的吸引子共存現(xiàn)象。

圖3 b 變化時(shí)系統(tǒng)(2)的x-b 分岔圖

固定參數(shù)a=1，b=1，當(dāng)c∈［0.1，10］時(shí)，設(shè)定(x，y，z)初值為(0.1，0.1，0)，仿真可得系統(tǒng)(2)的分岔圖，如圖4所示。這里x-c和y-c 分岔圖選擇的Poincaré 截面是z=0 平面，而z-c 分岔圖選擇的Poincaré 截面是隨c 動(dòng)態(tài)變化的y=c/2 平面。觀察圖4 可以清楚地發(fā)現(xiàn)，在c∈［0.1，10］的整個(gè)參數(shù)區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)處于魯棒混沌狀態(tài)，且隨著c 的增大，系統(tǒng)的輸出信號x，y和z 的混沌振蕩幅度線性地增加。變化。證畢。

3 微控制器實(shí)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在微控制器上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證前，須首先通過數(shù)值計(jì)算方法將系統(tǒng)(2)對應(yīng)的微分方程離散化為差分方程。常用的常微分方程數(shù)值計(jì)算方法包括Euler 算法、改進(jìn)的Euler 算法和Runge-Kutta 算法等。在3種算法中，截?cái)嗾`差依次遞減，但數(shù)值計(jì)算時(shí)間依次遞增。為了兼顧精度和效率，本文采用改進(jìn)的Euler 算法來進(jìn)行系統(tǒng)(2)的離散化，于是便有:

式中h為步長，n為迭代次數(shù)，且

圖4 c 變化時(shí)系統(tǒng)(2)的分岔圖

選擇TI 公司著名的16 位低功耗微控制器MSP430F249 實(shí)現(xiàn)數(shù)字混沌信號的生成，通過Linear Technology 公司的16 bit 高速并行D/A 轉(zhuǎn)換器LTC1668，完成信號轉(zhuǎn)換和輸出。采用示波器的XY方式便可觀察到系統(tǒng)生成的混沌吸引子。根據(jù)式(7)～式(9)編制出相應(yīng)的C 語言程序，程序中取參數(shù)a=1，b=1，c=1，設(shè)置(x，y，z)初值為(-1，1，0)，h=0.001，實(shí)驗(yàn)過程中采用高分辨率安捷倫DSO7032A 數(shù)字示波器進(jìn)行了觀察，結(jié)果如圖5所示。通過與圖1(b)～圖1(d)對比可以發(fā)現(xiàn)，微控制器運(yùn)行后生成的混沌吸引子與仿真結(jié)果保持一致，證實(shí)了微控制器實(shí)現(xiàn)本文提出的分段線性混沌系統(tǒng)的可行性。

圖5 系統(tǒng)(2)的混沌吸引子實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

本文通過研究Sprott-B 混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，將其兩個(gè)非線性乘積項(xiàng)變更為分段線性項(xiàng)，并引入系統(tǒng)參數(shù)和常數(shù)控制器，提出了一個(gè)分段線性混沌系統(tǒng)。在典型參數(shù)下，系統(tǒng)具有兩個(gè)指標(biāo)2 的鞍焦平衡點(diǎn)，從而呈現(xiàn)出一個(gè)兩翼蝴蝶混沌吸引子。分岔圖分析則清晰地表明，參數(shù)a 的增加使系統(tǒng)從弱混沌或擬周期狀態(tài)迅速進(jìn)入魯棒混沌狀態(tài)，參數(shù)b 的增加使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)逐漸進(jìn)入擬周期或周期狀態(tài)，而常數(shù)控制器c 的增加不影響系統(tǒng)的魯棒混沌狀態(tài)，卻能對系統(tǒng)輸出信號起全局線性調(diào)幅作用，進(jìn)一步的理論分析則證明了這一點(diǎn)，這對于混沌在保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要的參考價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，通過微控制器MSP430F249 對系統(tǒng)進(jìn)行了物理實(shí)現(xiàn)和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)過程中采用改進(jìn)的Euler 算法對系統(tǒng)方程進(jìn)行離散化處理，基于C 語言編程，實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證了本文所提出的分段線性混沌系統(tǒng)。

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