侯正信，郭巖松，，楊愛萍，何宇清

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

兩通道五株形濾波器組(quincunx filter bank，QFB)是圖像多尺度幾何表示中最為關(guān)鍵的濾波器組，是構(gòu)成方向濾波器組(directional filter banks，DFB)[1-2]和 Contourlet變換[3-4]等復(fù)雜系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)單元，具有重要的研究價值．現(xiàn)有的 QFB設(shè)計方法種類很多，諸如 Bernstein多項式方法[5-6]、方向奇異值分解(singular value decomposition，SVD)法[7]和 McClellan變換法[8-9]等．Bernstein多項式方法將二維對稱頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)換到一個新的變換域，使用二維Bernstein多項式來近似，結(jié)果濾波器的通帶和阻帶區(qū)域比較平坦；但是由于 Bernstein多項式收斂速度太慢，故過渡帶較寬．方向奇異值分解法把通用不可分離符號和SVD結(jié)合起來設(shè)計符合鉆石形半帶條件的二維變換核，用于視頻抽樣結(jié)構(gòu)和設(shè)計二維不可分離完全重建濾波器組，側(cè)重于研究變換核的設(shè)計．McClellan變換法是一種應(yīng)用廣泛的二維零相位有限沖激響應(yīng)(finite impulse response，F(xiàn)IR)濾波器設(shè)計方法，蘊含著由一維頻率映射為二維頻率的基本思想．

文獻(xiàn)[10]提出了使用二維遞歸對稱半平面全通數(shù)字濾波器和并行結(jié)構(gòu)構(gòu)造兩通道五株形正交鏡像濾波器組(quincunx quadrature mirror filter bank，QQMFB)的新穎方法，其分析和綜合濾波器具有二維雙重互補半帶(doubly complementary half band，DC-HB)特性，滿足無混疊贗像的頻率約束條件，但這種 QQMFB只能提供無幅度失真的近似線性相位響應(yīng)．總之，各種 QFBs設(shè)計方法都各有利弊，很難找到一種一成不變的方法，通常需要根據(jù)具體情況做出權(quán)衡．

對于 FIR完全重建濾波器組而言，線性相位和正交鏡像是一對不可調(diào)和的矛盾，在圖像和視頻處理中，相位的畸變極易引起圖像的失真，對視覺效果造成不良影響．本文提出一種折中方案，在保證線性相位和完全重建前提下，構(gòu)造一種新的全相位鉆石形變換核函數(shù)，使用改進(jìn)的準(zhǔn) QMF模型[11]設(shè)計一類新的QFB，稱為全相位雙正交五株形濾波器組(all phase biorthogonal quincunx filter bank，apbQFB)．

1 兩通道五株形濾波器組(QFB)

兩通道 QFB的系統(tǒng)框圖如圖 1所示．圖中，H0( z1, z2)和 H1( z1, z2)分別表示低通和高通分析濾波器，G0( z1, z2)和G1( z1, z2)分別表示低通和高通綜合濾波器，符號↓Q和↑Q分別表示五株形抽取和內(nèi)插．鉆石形和扇形 QFB是方向濾波器組和圖像多尺度分析中最常用的兩種 QFB，如圖 2所示．扇形QFB的各個濾波器可由鉆石形QFB的各個對應(yīng)濾波器在頻域中沿著ω1軸或者ω2軸調(diào)制π得到；反之亦然．

圖1 兩通道五株形濾波器組(QFB)Fig.1 Two-channel quincunx filter bank(QFB)

對信號 x ( n1, n2)(z變換為 X ( z1, z2))，先Q抽取再內(nèi)插等價于調(diào)制一個 q ( n1, n2)函數(shù)，即 q ( n1, n2)?x( n1, n2)．其中

圖2 鉆石形和扇形QFB(黑色區(qū)域表示理想通帶)Fig.2 Diamond and fan shape QFB(black region represents ideal passband)

即在n1+ n2= e ven時采樣子?xùn)鸥裆系狞c保留不變，在n1+ n2= o dd時采樣子?xùn)鸥裆系狞c置零．X ( z1, z2)變換為因此，QFB 的輸入/輸出關(guān)系可表示為

式中：與 X ( z1, z2)相關(guān)的第 1項表示原始信號分量；與X(? z1, ? z2)相關(guān)的第2項表示信號混疊分量．當(dāng)且僅當(dāng)滿足

時，QFB可以完全重建．式(3)稱為雙正交關(guān)系．當(dāng)QFB中各個濾波器均為實用的 FIR濾波器時，低通濾波器與高通濾波器必須滿足式(4)關(guān)系才能去除混疊分量，實現(xiàn)完全重建，即

式中 K1+ K2= o dd ，本文中如不做特殊說明，一般取K1= 0，K2=1．去除混疊分量后的 QFB為一個線性時不變系統(tǒng)，即 Y ( z1, z2) = T( z1, z2) X( z1, z2)．線性時不變轉(zhuǎn)移函數(shù) T ( z1, z2)為

其中乘積濾波器 D ( z1, z2)定義為

式(7)實際上蘊含功率互補關(guān)系，與半帶濾波器證明相似[12]，等價于

理論上，乘積濾波器 D ( z1, z2)可以在約束條件式(7)下進(jìn)行設(shè)計，通過因式分解得到低通濾波器H0( z1, z2)和G0( z1, z2)．但由于缺乏二維多項式因式分解的基本定理和法則[13]，通常避免直接分解二維多項式．變量變換法[11]將二維多項式因式分解降維為一維問題來處理，下文簡要介紹變量變換法．

2 變量變換法與乘積濾波器

定義變量變換

容易證明 m ( n1, n2)必須滿足條件

Z = M ( z1, z2)隱含可將二維乘積濾波器 D ( z1, z2)轉(zhuǎn)化為一維多項式 DT(Z)，稱 DT(Z)為一維乘積濾波器．雖然并不是對于所有 D ( z1, z2)都存在這種變量變換，但實際應(yīng)用中通?？紤]變換可能存在的情況．

利用變量變換式(9)，約束條件式(7)轉(zhuǎn)化為另外一種約束，即

下面給出關(guān)于變量變換的定理 1，具體證明可參考文獻(xiàn)[11]．則乘積濾波器

定理 1足完全重建約束條件式(7)．

利用定理 1，一維乘積濾波器T()D Z可分解成一階因子乘積，即

式中C為常數(shù)．若將一階因子分別分配給 HT(Z)和GT(Z ) ，即 DT( Z ) = HT( Z) GT(Z)，再由變量變換Z=M( z1, z2)可得低通分析濾波器 H0(z1, z2) = HT( M ( z1,z2))和低通綜合濾波器 G0( z1, z2) = GT( M ( z1, z2))．為得到實系數(shù)濾波器，復(fù)共軛因子對(Z?c)和(Z?c*)必須分配給同一濾波器．一階因子(Z ?al)可理解為基本濾波器(M ( z1,z2) ? al)，將其級聯(lián)形成分析濾波器H0和 G0．基本濾波器由變換函數(shù) M ( z1, z2)和額外因子?al組成．

3 全相位雙正交五株形濾波器組設(shè)計步驟

若基于全相位方向濾波器(all phase directional filter，APDF)設(shè)計出性能優(yōu)良的變量變換核函數(shù)，再利用滿足約束條件式(11)的雙正交關(guān)系生成 QFB，則稱為全相位雙正交五株形濾波器組(apbQFB)，其可由以下2個主要步驟完成設(shè)計．

(1) 設(shè)計滿足約束條件式(10)的全相位變換核函數(shù) m ( n1, n2)(即 M ( z1, z2))．

(2) 尋找滿足約束條件式(11)的一維乘積濾波器 DT(Z)，因式分解產(chǎn)生 HT(Z)和 GT(Z)，并進(jìn)行變量變換 Z = M ( z1, z2)，得到 H0( z1, z2) = HT( M ( z1, z2))，G0( z1, z2) = GT( M ( z1, z2))．

步驟 1說明如何生成全相位變換核函數(shù)是設(shè)計的關(guān)鍵，第4節(jié)將會詳細(xì)討論．步驟2由一維乘積濾波器 DT(Z)分解得到的 HT(Z)和 GT(Z)，只是一些簡單的一維濾波器．但 QFB中各濾波器的性能并不僅由一維濾波器決定，還與全相位變換核函數(shù) M ( z1, z2)密切有關(guān)，兩者相互結(jié)合才能生成性能良好的apbQFB．文獻(xiàn)[11]使用 Lagrange半帶濾波器[14]及其修改形式分解求得 HT(Z)和 GT(Z)，本文采用其中一種改進(jìn)的完全重構(gòu)準(zhǔn)QMF模型，即

4 基于一維全相位半帶數(shù)字濾波器生成全相位變換核函數(shù)

如圖 3(a)所示(黑色為通帶，白色為阻帶)，考慮理想鉆石形通帶區(qū)域濾波器的頻率響應(yīng)

為使Q抽取/內(nèi)插后仍然為單位增益，通帶區(qū)域值等于2．由逆傅里葉變換求得單位脈沖響應(yīng)

式中sinc() sinv v v= ．式(15)為 2個sinc函數(shù)沿 2個對角線的乘積．除原點外，脈沖響應(yīng)滿足式(10)．若將中原點刪除，則準(zhǔn)確滿足式(10)．由于時域中刪除原點上的單位脈沖響應(yīng)相當(dāng)于頻域平面中向下平移1個單位，即

雖然頻率響應(yīng)范圍為1?～1，但是鉆石形頻率響應(yīng)的形狀依然保持不變，這實質(zhì)為變換核函數(shù)的理想頻率響應(yīng)利用窗函數(shù)截斷刪除原點值的無限長脈沖響應(yīng)可得變換核函數(shù)

式中1()w n可為任意一維非因果窗，如凱塞窗、漢明窗、切比雪夫窗等．但式(18)并非二維窗函數(shù)的唯一可能形式，該窗函數(shù)在頻域中沿著 45°和 135°方向產(chǎn)生均勻的“窗函數(shù)效應(yīng)”，濾波器具有鉆石形頻率支撐區(qū)域．由于窗函數(shù)的截斷產(chǎn)生誤差，的實際頻率響應(yīng)只能近似等于式(16)．窗函數(shù)既可決定變換核函數(shù)的掩模大小，亦可調(diào)整控制的頻響特性，例如頻率滾降和幅度波紋等．結(jié)合式(18)二維窗函數(shù)和式(15)理想脈沖響應(yīng)可表示為

其中

實際為一個半帶濾波器，所以1()m n的設(shè)計與加窗半帶濾波器的設(shè)計相似．通過簡單數(shù)學(xué)變換，式(19)的z變換可表示為

其頻域形式為

圖3 理想鉆石形頻率支撐區(qū)與全相位變換核函數(shù)Fig.3 Ideal diamond shape frequency support region and all phase transform kernal function

目前，一維FIR半帶濾波器的設(shè)計方法種類很多，主要有Lagrange半帶濾波器[14]和Bernstein多項式展開法[15]等．文獻(xiàn)[16]敘述了一種基于離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)域的全相位半帶濾波器(apHF)，通帶和阻帶波紋較小，在過渡帶附近頻率響應(yīng)沒有過沖現(xiàn)象，具有一定的優(yōu)良性質(zhì)．本文采用另外一類基于離散傅里葉逆變換(inverse discrete Fourier transform，IDFT)域的全相位半帶數(shù)字濾波器，其設(shè)計更加靈活，選用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)可極大地減小吉布斯效應(yīng)，顯著地改善頻率特性．基于IDCT域的一維全相位半帶濾波器設(shè)計步驟如下所述．

(1) 根據(jù)對截止頻率精度和實現(xiàn)復(fù)雜度的要求，適當(dāng)?shù)剡x擇基于 IDCT域的 apHF的長度 4M K= ?1，即恰當(dāng)?shù)剡x擇K值．

(4) 求出基于 IDCT域加窗 APDF的單位脈沖響應(yīng)

(3) 選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)即

式中 fN=[f ( 0),f ( 1), … ,f( N ?1)]為 D CT ( FN)，即頻率響應(yīng)向量 FN的余弦譜．歸一化 pN(n)得全相位半帶數(shù)字濾波器(apHF) pHB(n)( n =? ( 2 K ? 1 ),… ,0 ,…,2 K ? 1)滿足

圖4 apbQFB Ⅰ各濾波器的幅頻響應(yīng)Fig.4 Amplitude-frequency response of apbQFB I filters

(5)由式(21)可知 m1( n) = 2 pHB(n) ? δ (n)，利用式(19)或式(22)可求得全相位變換核函數(shù) m ( n1, n2)．

5 設(shè)計實例

全相位變換核 ma(n1, n2)如下述式(28)所示，其幅頻響應(yīng)如圖 3(b)所示．分析濾波器和綜合濾波器 G0( z1, z2)、的坐標(biāo)范圍如表 1所示(式(4)中取 K1= 0 ，K2=1)，各濾波器的幅頻響應(yīng)如圖4所示．

表1 apbQFBⅠ的各個濾波器的坐標(biāo)范圍Tab.1 Coordinates range of apbQFBⅠfilters

6 全相位Contourlet及其應(yīng)用

利用 apbQFBⅠ的方法構(gòu)造 DFB[2]，并替換原Contourlet變換[3-4]中的DFB，生成新的Contourlet變換，稱為全相位Contourlet(apContourlet)．本節(jié)以原Contourlet和CDF9 7小波作為對比，研究apContourlet在非線性估計和圖像降噪方面的客觀性能和主觀視覺效果．

6.1 非線性估計

非線性估計(nonlinear approximation，NLA)是衡量圖像變換的能量聚集能力的一種重要手段．保留幅值最大的 N個分解系數(shù)重構(gòu)圖像并計算峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)，當(dāng)保留相同數(shù)目的系數(shù)時，PSNR值越大說明分解的稀疏性越好，更逼近原圖像．分別利用apContourlet、原Contourlet工具箱[18]和9 7小波對紋理和細(xì)節(jié)豐富的Barbara圖像進(jìn)行非線性估計．兩種Contourlet變換(apContourlet和原Contourlet)采用與9 7小波聯(lián)合的5層混合結(jié)構(gòu)進(jìn)行分解．其中，第 1層 DFB方向數(shù)為 25，第 2層DFB方向數(shù)為 24，然后再進(jìn)行 3層9 7小波分解．原Barbara灰度圖像的像素總數(shù)為512× 512=262144，分解后系數(shù)總數(shù)變?yōu)?2 62144 × ( 1 + 0 .25 + 0 .252)=3 44 064，非線性估計時保留系數(shù) a的數(shù)目利用原圖像像素總數(shù)的百分比來表示．

兩種 Contourlet變換和CDF9 7小波非線性估計的 PSNR比較如表 2所示．為更清晰直觀，畫出PSNR隨系數(shù)保留百分比的變化曲線，如圖 5所示．由表 2和圖 5可知：apContourlet非線性估計性能明顯優(yōu)于原 Contourlet工具箱，大約提高 1～2,dB；而9 7小波的非線性估計性能則隨著保留系數(shù)百分比的增加依次超越原Contourlet和apContourlet.

表2 apContourlet、原Contourlet和CDF9/7小波非線性估計的PSNR比較Tab.2 Comparision of nonlinear estimation PSNR for apContourlet，original Contourlet and CDF9/7 wavelet

圖5 非線性估計PSNR值隨系數(shù)保留百分比的變化曲線Fig.5 Nonlinear estimation PSNR vs coefficients preservation percentage

6.2 圖像降噪

對尺寸為512× 512的測試圖像Lena和Barbara進(jìn)行降噪實驗，其中前者低頻平滑信息較多，而后者紋理和細(xì)節(jié)豐富．采用與9 7小波聯(lián)合的 5層混合結(jié)構(gòu)(第 1、2、3層 2種 Contourlet變換的 DFB方向數(shù)分別為 25、24和 24，然后進(jìn)行2層9 7小波變換)．在不同加性高斯白噪聲水平下，利用3倍標(biāo)準(zhǔn)方差的簡單閾值降低兩幅測試圖像的噪聲．表 3為 Lena和Barbara圖像利用CDF9 7小波、原 Contourlet和apContourlet降噪的PSNR值，圖6和圖7分別給出了在圖像噪聲水平為 15.90 dB時降噪的局部主觀效果，其中對于 Barbara圖像的降噪效果的改善明顯優(yōu)于 Lena圖像．?dāng)?shù)值實驗結(jié)果和主觀視覺效果都表明：采用 apbQFB實現(xiàn)的 apContourlet變換的 PSNR值略高于原Contourlet．

圖6 Lena圖像噪聲水平為15.90,dB時降噪的局部主觀效果Fig.6 Local subjective effects of Lena image denoising for noise level 15.90,dB

圖7 Barbara圖像噪聲水平為15.90,dB時降噪的局部主觀效果Fig.7 Local subjective effects of Barbara image denoising for noise level 15.90,dB

表3 在不同噪聲水平下降噪的PSNR比較Tab.3 Comparision of denoise PSNR under various noise levels

7 結(jié) 語

本文使用構(gòu)造的全相位鉆石形變換核函數(shù)和改進(jìn)的準(zhǔn) QMF模型設(shè)計了一類新的 QFBs，其能夠保證線性相位和完全重建條件，稱為全相位雙正交五株形濾波器組(apbQFB)．重點研究了全相位鉆石形變換核函數(shù)這個關(guān)鍵點，給出了基于一維IDCT域全相位半帶數(shù)字濾波器的生成方法．利用apbQFB構(gòu)造原Contourlet變換中的 DFB，生成一種新的 Contourlet變換，即全相位 Contourlet(apContourlet)，并研究其在非線性估計和圖像降噪方面的應(yīng)用．以原Contourlet變換和CDF 9/7小波作為比較對象，研究了 apContourlet變換在非線性估計和圖像降噪方面的應(yīng)用．實驗結(jié)果表明：在相同的分解層數(shù)下，apContourlet的非線性估計和降噪性能均優(yōu)于原Contourlet，全相位 Contourlet變換的初步性能驗證結(jié)果亦說明 apbQFB設(shè)計方法具有較好的通用性和優(yōu)越性．

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