鄧宏貴，曹文暉，楊兵初，梅衛(wèi)平，敖邦乾

(中南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

微弱信號(hào)不僅意味著信號(hào)的幅度很小，而且主要是被噪聲淹沒的信號(hào)，微弱是相對(duì)噪聲而言的。微弱信號(hào)檢測(cè)是研制出在強(qiáng)噪聲下對(duì)微弱信號(hào)快速、準(zhǔn)確、高靈敏度的采集和處理技術(shù)，為了檢測(cè)被噪聲覆蓋的微弱信號(hào)，自20世紀(jì)50年代以來(lái)，人們進(jìn)行了長(zhǎng)期的研究工作。其處理方法上時(shí)域和頻率并行發(fā)展，分析噪聲產(chǎn)生的原因和規(guī)律，研究被測(cè)信號(hào)的特點(diǎn)、相關(guān)性以及噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，以尋找出從噪聲中檢測(cè)出有用信號(hào)的方法。1992年Mallat提出了奇異性檢測(cè)理論，提出模極大值重構(gòu)算法[1]。1995年Coifman等[5]提出了平移不變量小波去噪法。這2種方法對(duì)含有若干奇異點(diǎn)的信號(hào)去噪效果較好，但是算法復(fù)雜，計(jì)算速度太慢。隨后David等[3-4]提出在二進(jìn)小波變換基礎(chǔ)上的小波閾值去噪概念。此方法計(jì)算速度快，適應(yīng)性廣，因此，在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?；诨煦缋碚摰男盘?hào)處理是近 10年剛發(fā)展起來(lái)的一門新興交叉學(xué)科，混沌中信號(hào)檢測(cè)和提取具有重要的理論和實(shí)踐意義。Haykin等[5]利用相空間重構(gòu)技術(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法研究了在混沌背景下小目標(biāo)的檢測(cè)，提出相干檢測(cè)和非相干檢測(cè)方法。Huang等[6]利用混沌的窄帶特性，使用小波多分辨率分析實(shí)現(xiàn)混沌和掩藏在其中的目標(biāo)信號(hào)的分離。Leung等[7]利用混沌具有有限維的特性，提出最小相空間體積法，成功實(shí)現(xiàn)了混沌噪聲中AR模型參數(shù)估計(jì)和正弦信號(hào)頻率估計(jì)。此外聶春燕等[8-11]采用混沌理論在微弱信號(hào)檢測(cè)方面進(jìn)行大量研究。以上這些單用小波分解或混沌系統(tǒng)提取信號(hào)的方法都只能在特定條件下取得較好的效果，但是，在強(qiáng)噪聲干擾下，混沌相空間結(jié)構(gòu)遭到破壞，這些方法就很難檢測(cè)出存在的信號(hào)。本研究結(jié)合小波閾值去噪[12]的能力和混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲的免疫力以及對(duì)周期弱信號(hào)的敏感性進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，首先利用小波變換的平滑作用對(duì)包含噪聲的信號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單的有限離散二進(jìn)小波變換處理，并根據(jù)小波分解尺度確定閾值去噪深度，然后把重構(gòu)的信號(hào)作為混沌系統(tǒng)的策動(dòng)力并入混沌系統(tǒng)，根據(jù)梅爾尼科夫判據(jù)判斷混沌的混沌態(tài)，完成信號(hào)的檢測(cè)。

1 小波變換原理

小波變換是1種窗口大小固定但時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。設(shè)ψ (t) ∈ L2(R)(L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間)，其傅里葉變換為ψ(ω)。當(dāng)ψ(ω)滿足相容性條件時(shí)，稱ψ(t)為1個(gè)基本小波或母小波。將母函數(shù)ψ(t)經(jīng)過伸縮和平移后就可以得到 1個(gè)小波序列，所以，對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈ L2(R )，它的連續(xù)小波變換為：

其中：a∈R；b∈R；a≠0；a為伸縮因子；b為平移因子。

其逆變換為

2 檢測(cè)信息的小波變換去噪

假設(shè)從含噪聲數(shù)據(jù) f(t)復(fù)原信號(hào) AS(t)，f(t)=AS(t)+n(t)，n(t)為噪聲信號(hào)。對(duì)信號(hào) f(t)用母小波ψ( t) 的平移和伸縮進(jìn)行二進(jìn)離散小波變換。

2.1 小波分解和分解尺度的確定

選擇1個(gè)小波基對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行分解并確定小波分解層數(shù)J。

在實(shí)際應(yīng)用中，一般根據(jù)Mallat[13]快速算法實(shí)現(xiàn)小波變換，若 fk為信號(hào) f(t)的離散采樣數(shù)據(jù)，則fk=c0,k，f(t)的正交小波變換分解公式為：

其中：k=0, 1, …, N-1。噪聲在小波較高分解層上的小波系數(shù)較小，可以忽略。而凈信號(hào)在小波較高分解層中的小波系數(shù)較大，即帶噪聲的信號(hào)在小波較高分解層中的小波系數(shù)主要是凈信號(hào)的小波系數(shù)。根據(jù)這一特性，采用下列方法確定帶噪信號(hào)的小波分解層數(shù)：設(shè)當(dāng)在小波分解第j層中的逼近小波系數(shù)和細(xì)節(jié)小波系數(shù)分別為Cj,k和Dj,k。其中，Dj,k的均值為：

方差均值為：

式中：Nj是第j層中細(xì)節(jié)小波系數(shù)Dj,k的個(gè)數(shù)。則第j層中凈信號(hào)細(xì)節(jié)小波系數(shù)為：

第j層中凈信號(hào)細(xì)節(jié)小波系數(shù)為：

由ε決定小波分解層，設(shè)定1個(gè)閾值η (一般η取0.9196較適合)，當(dāng)ε＜η，說明第j層中噪聲的小波系數(shù)較大，需要繼續(xù)進(jìn)行小波分解。當(dāng)ε＞η時(shí)，說明第j層中噪聲的小波系數(shù)較小，主要是凈信號(hào)的小波系數(shù)，小波分解截止，得到J。

2.2 作用閾值改進(jìn)

對(duì)小波分解的小波系數(shù)選擇一個(gè)閾值，并對(duì)細(xì)節(jié)系數(shù)作閾值處理，即將小波系數(shù)絕對(duì)值小于等于閾值的全置零，只保留大于閾值的小波系數(shù)；由前面第一步分析可知，若閾值δ取得太大，則信號(hào)損失太多，若取得太小，則保留有很多細(xì)節(jié)，去除噪聲不干凈，影響濾波效果?？紤]后面還要把信號(hào)導(dǎo)入混沌系統(tǒng)，混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲有很強(qiáng)的免疫能力，適當(dāng)把在不同分解層上的閾值值取小些，這樣可以有效保留微弱的有用信號(hào)。由噪聲小波變換特性可知：噪聲在小波變換后的小波系數(shù)均值為0，方差為的白噪聲，隨著尺度j增加，白噪聲小波系數(shù)幅值將減小。高斯白噪聲是李氏指數(shù)(Lipschitz Exponent) α＜0分布。離散的白噪聲幾乎處處奇異，在小波多尺度分解中，隨著尺度的增加，有效信號(hào)的小波系數(shù)比較清楚，而白噪聲的小波逐漸消失。Donoho和Johnstone提出過廣義閾值處理：

本研究對(duì)其進(jìn)行修正：

在實(shí)際應(yīng)用中，由于噪聲方差σ?一般是不可知的，去噪處理時(shí)可以取可以看到這是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)，隨著j的增大，閾值δ逐漸減少。這正好與當(dāng)尺度增加噪聲的幅值減少一致，并且在當(dāng)j=1時(shí)，正好成為Donoho和Johnstone提出的閾值公式。

2.3 對(duì)小波變換系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理及重構(gòu)

(1) 根據(jù)上一步，對(duì)信號(hào)進(jìn)行 J尺度小波分解，得到逼近近似信號(hào)CJ和細(xì)節(jié)信號(hào)Dj(j=1, …, J)，保持逼近近似信號(hào)CJ不變。

(2) 對(duì)J尺度上的DJ，其信噪比比較高，有用信號(hào)的能量較大，占有大部分，因此閾值的選取應(yīng)該更小，以免去除過多有用信號(hào)，選取閾值為：

式中：Jσ為信號(hào)在J尺度上的方差。

(3) 對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)Dj，j=1, 2, …, J-1，信噪比較低，有用信號(hào)的能量與噪聲的能量比較接近，閾值應(yīng)在高點(diǎn)，我們用改進(jìn)的閾值式進(jìn)行閾值處理，其隨著尺度j的變化，與噪聲的小波變換各尺度上的傳播特性一致。

(4) 重構(gòu)信號(hào)，根據(jù) Mallat快速算法對(duì)小波信號(hào)進(jìn)行重建。其重構(gòu)后信號(hào)算法為：

3 小波去噪信號(hào)作為策動(dòng)力導(dǎo)入混沌檢測(cè)系統(tǒng)

3.1 改進(jìn)Duffing方程

Holmes型Duffing振子具體形式如下：

寫成狀態(tài)方程形式為：

3.2 Duffing系統(tǒng)的混沌判據(jù)

對(duì)于特定系統(tǒng) Duffing方程來(lái)講，當(dāng)阻尼比、待測(cè)周期信號(hào)幅值及策動(dòng)力頻率之間滿足一定關(guān)系時(shí)，混沌系統(tǒng)將進(jìn)入混沌狀態(tài)。改進(jìn)的 Duffing方程的同宿軌道方程的梅爾尼科夫(Melnikov)[14]函數(shù)為：

根據(jù)梅爾尼科夫判據(jù)，系統(tǒng)出現(xiàn)Smale變換意義下的混沌運(yùn)動(dòng)的條件是梅爾尼科夫函數(shù)存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)，即系統(tǒng)過鞍點(diǎn)(0，0)的鞍點(diǎn)型不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定不變流形與不穩(wěn)定不變流形橫截相交，系統(tǒng)出現(xiàn)橫截同宿點(diǎn)，f/k的最小值稱為混沌的閾值，即：

式(17)表明：混沌的閾值與周期策動(dòng)力頻率有關(guān)，其關(guān)系曲線圖如圖1所示。當(dāng)周期策動(dòng)力頻率ω較低時(shí)，閾值較低，且變化不大，但隨著ω的增加，混沌閾值迅速增大，即在給定的阻尼比k下，f較小的低頻段攝動(dòng)就會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生混沌，而高頻段攝動(dòng)則需要較大的 f，這樣可以確定系統(tǒng)進(jìn)入大周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的閾值。將判據(jù)輸入計(jì)算機(jī)可以判斷系統(tǒng)輸出狀態(tài)是處在混沌態(tài)還是周期態(tài)，避免了直接觀察混沌和間歇性運(yùn)動(dòng)態(tài)分辨不明顯的缺陷。

圖1 混沌閾值和頻率關(guān)系圖Fig.1 Function of frequency and threshold

3.3 Duffing振子檢測(cè)重構(gòu)信號(hào)方法

確定頻率后，讓混沌系統(tǒng)處在混沌臨界狀態(tài)。將經(jīng)過去噪后頻率為的待測(cè)周期信號(hào)加入系統(tǒng)本身的策動(dòng)力頻率為ω=ω0的Duffing方程時(shí)，系統(tǒng)策動(dòng)力為這時(shí)，Duffing方程演化為：

由于加入了周期信號(hào)，調(diào)節(jié)好0ω，其時(shí)域圖會(huì)呈現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)待測(cè)信號(hào)和策動(dòng)力的頻率差Δω=0時(shí)，系統(tǒng)始終處于混沌狀態(tài)或穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；如圖3所示。當(dāng)0≤Δω≤0.03時(shí)，由于Δω很小，F(xiàn)(t)變化比較緩慢，遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于相變過程，系統(tǒng)對(duì)策動(dòng)力的緩變能夠很好地響應(yīng)，說明振子相變對(duì)小信號(hào)很敏感。此時(shí)，周期和混沌運(yùn)動(dòng)是周期分明出現(xiàn)的，即出現(xiàn)間歇性混沌現(xiàn)象。如圖 4所示，其周期為：

當(dāng)Δω＞0.03時(shí)，相變的速度過快，系統(tǒng)較難保證較長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定的混沌或周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即較難辨別出有規(guī)律的間歇混沌現(xiàn)象，正說明了 Duffing振子的相變對(duì)頻差較大的周期信號(hào)具有較強(qiáng)免疫力，即對(duì)頻率相同或相差較小的信號(hào)敏感。

根據(jù)以上分析，本研究利用混沌陣列掃描的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)噪聲背景下周期弱信號(hào)的檢測(cè)，確定待測(cè)信號(hào)的頻率和幅值。

3.3.1 利用振子陣列測(cè)量待測(cè)信號(hào)的頻率

設(shè)想使用一有限的陣列，如圖2所示，陣列中各振子的固有頻率在 1～10之間，使之成為公比為 1.03的等比數(shù)列。則振子陣列由78個(gè)陣元組成，取ω1=1，ω2=1.03，ω3=(1.03)2，…，ω78=(1.03)77=9.738。這里之所以選擇公比為1.03，是考慮到當(dāng)待測(cè)信號(hào)和策動(dòng)力的頻率差Δω＞0.03時(shí)，很難觀測(cè)到間歇性混沌現(xiàn)象，故相鄰 2陣元 ωk和 ωk+1的振子頻率相差不能大于0.03ωk，即 ωk+1-ωk≤0.03ωk，所以，ωk+1/ωk≤1.03，其各振子的固有頻率是公比為1.03的等比數(shù)列。

圖2 振子陣列實(shí)驗(yàn)框圖Fig.2 Oscillator arrays experiment diagram

圖3 Duffing振子大尺度周期運(yùn)動(dòng)圖(Δω=0)Fig.3 Great scale periodic movement state of Duffing oscillator (Δω=0)

圖4 間歇性混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象Fig.4 Intermittent chaotic motion

如果頻率在 1～10之間的信號(hào)被輸入到陣列中，根據(jù)梅爾尼科夫判據(jù)確定閾值f′，使系統(tǒng)為混沌臨界狀態(tài)，那么，在且僅在2個(gè)相鄰的振子上發(fā)生穩(wěn)定的間歇性混沌現(xiàn)象，假如為第k與第k+1個(gè)振子，其他振子仍然處于混沌狀態(tài)，所以，待測(cè)信號(hào)頻率ω必定滿足：

根據(jù)式(18)，通過測(cè)量?jī)烧褡娱g歇性混沌的周期就可以精確地確定信號(hào)的頻率待測(cè)信號(hào)頻率為：

3.3.2 相位鎖定測(cè)量待測(cè)信號(hào)的幅值

在頻率測(cè)定時(shí)，間歇性周期段中振幅最大的時(shí)刻是系統(tǒng)相位和待測(cè)信號(hào)相位相同的時(shí)刻，通過鎖相實(shí)現(xiàn)幅值測(cè)定。鎖相后慢慢減小f至f′′，使系統(tǒng)重新回到混沌狀態(tài)，此時(shí)，信號(hào)幅值為a f′ f′′= - 。

4 小波閾值去噪和混沌系統(tǒng)結(jié)合的周期微弱信號(hào)檢測(cè)

基于前面的分析以及對(duì)小波閾值去噪和混沌系統(tǒng)檢測(cè)信號(hào)算法的改進(jìn)，本文作者提出如圖5所示原理的算法，先用小波函數(shù)將待測(cè)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)多尺度小波變換、靈活的去噪處理和重構(gòu)信號(hào)，再把重構(gòu)信號(hào)后的信號(hào)作為混沌振子的策動(dòng)力并入混沌系統(tǒng)，調(diào)節(jié)混沌檢測(cè)頻率。通過觀察混沌系統(tǒng)的時(shí)域圖或相空間重構(gòu)圖狀態(tài)變化，即可以檢測(cè)出淹沒在強(qiáng)噪聲中的周期微弱信號(hào)。

圖5 信號(hào)檢測(cè)的基本原理Fig.5 Basic principle diagram of signal test

5 仿真測(cè)試和分析

為了驗(yàn)證本研究方法的有效性和優(yōu)越性，分別對(duì)混沌系統(tǒng)、小波-混沌系統(tǒng)[15]和改進(jìn)的小波-混沌系統(tǒng)用MATLAB7在不同頻率下進(jìn)行仿真測(cè)試，并對(duì)最低門限和信噪比進(jìn)行比較分析，用強(qiáng)白噪聲和周期微弱信號(hào)的混合信號(hào)作為待測(cè)信號(hào)(如圖 6所示)。采用本研究提出的算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，在試驗(yàn)了sym8，db4，haar和coif1等常用幾個(gè)小波函數(shù)后，選用db4作為信號(hào)去噪的小波函數(shù)，混沌系統(tǒng)采用四階Runge-Kutta法，取步長(zhǎng)h=0.01，k=0.5，初值選為(1，1)，調(diào)節(jié)頻率ω，閾值根據(jù)梅爾尼科夫函數(shù)確定，使混沌系統(tǒng)處在周期臨界狀態(tài)(如圖7所示)。

(1) 加入純?cè)肼曅盘?hào)：將高斯白噪聲zs引入系統(tǒng)，并不斷調(diào)整噪聲方差，發(fā)現(xiàn)混沌系統(tǒng)仍處在混沌狀態(tài)。這說明混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲有一定的免疫能力。

(2) 加入混有噪聲的周期信號(hào)：固定噪聲不變，用3種方法檢測(cè)頻率分別為ω=1下的混合信號(hào)，并且逐次遞減周期信號(hào)的幅值(0.000 01)，反復(fù)測(cè)試，通過程序判別和觀測(cè)得到相應(yīng)的最低門限和信噪比(SNR)，如表1所示。

圖6 混有強(qiáng)噪聲的原始信息Fig.6 Original signal with strong noise

圖7 混沌相軌跡的臨界狀態(tài)Fig.7 Phase trajectory of chaotic boundary state

表1 不同檢測(cè)方法的檢測(cè)結(jié)果比較Table 1 Test results of different methods

(3) 頻率和幅值測(cè)定：用本研究方法檢測(cè)f(t)=0.000 245cos(1.02t)+n(t)的周期混合信號(hào)，把信號(hào)經(jīng)過小波去噪后，再并入混沌系統(tǒng)。發(fā)現(xiàn)相軌跡在ω0=1和ω0=1.03上會(huì)轉(zhuǎn)換為大尺度周期運(yùn)動(dòng)，時(shí)域圖呈現(xiàn)間歇混沌現(xiàn)象(如圖 8所示)?？傻玫溅う?=2π/301.75，Δω2=2π/638.41，得ω= 1.020 5 rad/s；同時(shí)檢測(cè)的幅值a f′ f′′= - =0.000 242。

圖8 間歇混沌現(xiàn)象時(shí)域圖Fig.8 Time-domain plots of intermittent chaotic motion

從檢測(cè)出的信號(hào)幅值看，存在一定誤差，這誤差部分是由于小波閾值去噪處理后信號(hào)的減弱，部分是混沌檢測(cè)的最低門限和最低信噪比而導(dǎo)致的。但是，其檢測(cè)出的頻率誤差非常小，在 0.04%以內(nèi)。從最低檢測(cè)門限和最低信噪比看，本研究的微弱信號(hào)檢測(cè)方法明顯優(yōu)于混沌系統(tǒng)和小波-混沌系統(tǒng)，證明了本方法可以用于一定環(huán)境下的信號(hào)檢測(cè)。

6 結(jié)論

(1) 根據(jù)小波變換的多分辨率和混沌系統(tǒng)對(duì)噪聲的免疫功能以及對(duì)微弱周期信號(hào)的敏感性，通過對(duì)小波閾值去噪方法進(jìn)行改進(jìn)和采用梅爾尼科夫混沌判據(jù)，提出結(jié)合小波閾值去噪和混沌 Duffing振子的微弱周期信號(hào)檢測(cè)新方法。

(2) 該檢測(cè)方法克服了以往小波分解對(duì)尺度確定的盲目性和閾值選擇的不合理性以及對(duì)混沌臨界狀態(tài)與周期態(tài)區(qū)別的模糊性。

(3) 該方法直觀、高效且檢測(cè)精度高，能有效檢測(cè)到較強(qiáng)噪聲背景下的微弱周期信號(hào)。

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