尹犟，胡其高，李鵬

(1. 中南林業(yè)科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 長沙，410004；2. 國防科技大學(xué) 指揮軍官基礎(chǔ)教育學(xué)院，湖南 長沙，410072；3. 湖南省建筑設(shè)計(jì)院，湖南 長沙，410011)

近年來，一些研究者從地震災(zāi)害造成的損失出發(fā)，對一些抗震工程領(lǐng)域主要的不確定因素進(jìn)行了敏感性分析[1-3]，其中：Porter等[1]分析了建筑物的地震損失估計(jì)值對于場地運(yùn)動強(qiáng)度、結(jié)構(gòu)特性、構(gòu)件易損性和單修復(fù)造價(jià)等不確定性因素的敏感性；Bake等[2]基于一次二階矩(FOSM)方法，建議了估計(jì)結(jié)構(gòu)震后修復(fù)總造價(jià)的實(shí)施步驟；Aslani等[3]以構(gòu)件為基礎(chǔ)，采用可靠度方法對建筑在地震作用下的年預(yù)期損失值進(jìn)行了估計(jì)。這些研究人員均未直接對結(jié)構(gòu)的地震需求參數(shù)(Earthquake demand parameters，EDP)進(jìn)行研究。實(shí)際上，EDP可以更加直觀地體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的抗震性能。在此，本文作者綜合運(yùn)用3種敏感性分析法(一次二階矩法、龍卷風(fēng)圖形法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法)，以1個(gè)典型混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，選擇4種對其抗震性能產(chǎn)生關(guān)鍵影響的EDP(含基底剪力需求、樓層加速度需求、頂點(diǎn)位移需求、層間位移比需求)進(jìn)行敏感性分析。根據(jù)分析結(jié)果，對一系列基本不確定因素進(jìn)行重要性排序，從中選擇對EDP不確定性產(chǎn)生重要影響的敏感性因素。

1 敏感性分析的方法

1.1 一次二階矩(FOSM)法

一次二階矩(FOSM)方法在結(jié)構(gòu)可靠度理論中具有重要地位，是國際標(biāo)準(zhǔn)《結(jié)構(gòu)可靠性總原則》(ISO 2394)[4]以及我國《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》(GB 50068—2001)[5]中推薦采用的方法。本文運(yùn)用該方法進(jìn)行敏感性分析。其理論如下。

設(shè)隨機(jī)變量Y和隨機(jī)矢量X=[ X1, X2, …, Xn]T之間有函數(shù)關(guān)系：Y=g(X)；將Y在X的均值μX處按Taylor級數(shù)展開可得：

式中：μX為隨機(jī)矢量 X 的均值矩陣，μ=[x ,x,…,x]T； ?g (μ )/?X為函數(shù) g(·)關(guān)于隨X12nXi機(jī)變量Xi的偏導(dǎo)數(shù)矩陣在其均值μX處的值。根據(jù)述(1)及可靠度基本理論，隨機(jī)變量Y的均值μY(一階矩)為：

同理，隨機(jī)變量Y的方差2Yσ(二階矩)為：

式中：VC(X)為隨機(jī)矢量X的協(xié)方差矩陣；▽ g ( μX)為函數(shù)g(·)關(guān)于矢量X的梯度矩陣在其均值μX處的值。

對敏感性進(jìn)行分析時(shí)，由于式(3)能夠反映輸入?yún)?shù)X的不確定性通過函數(shù)g(·)進(jìn)行傳遞，從而導(dǎo)致輸出結(jié)果Y也出現(xiàn)不確定性(σY)的過程，該式尤為重要。在敏感性分析中往往將σY作為反映Y對于X的敏感度的參量[6]，若σY很大，則表明Y對X很敏感；反之，則表明Y對X不敏感。

從理論上講，由式(3)計(jì)算的σY體現(xiàn)了隨機(jī)矢量X對于輸出結(jié)果Y的綜合影響，可直接應(yīng)用于敏感性分析。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往希望能夠分別確定EDP對每一個(gè)隨機(jī)變量Xi的敏感度，從而通過排序識別出主要的敏感性因素。此時(shí)，可將除隨機(jī)矢量中除 Xi以外的其他隨機(jī)變量全部設(shè)置為其均值，并將輸出變量Y重新表示為：

將上式按Taylor級數(shù)展開，并經(jīng)過類似式(2)和(3)的推導(dǎo)可得：

式中：μY和σY分別為則隨機(jī)變量Y的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

顯然，盡管式(3)和式(7)均可用于敏感性分析，但它們的特點(diǎn)各不相同。式(3)能夠考慮各隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，而式(7)則可分別計(jì)算輸出參數(shù)對于每一個(gè)隨機(jī)輸入變量的敏感性。

本文運(yùn)用有限元方法得到輸入、輸出參數(shù)間的函數(shù)關(guān)系 g(·)，而 g(·)關(guān)于隨機(jī)變量的 Xi的梯度采用有限差分法確定，即：

式中：ΔXi為第 i個(gè)輸入隨機(jī)變量 Xi的擾動量，本文將其取為標(biāo)準(zhǔn)差 σXi的某個(gè)分位數(shù)，即： ΔXi=cpσXi(其中，cp為擾動系數(shù)，可通過收斂性試驗(yàn)確定)。

1.2 Tornado圖形法

Tornado圖形法最早應(yīng)用于決策分析領(lǐng)域。近年來，一些研究者利用該方法對建筑物的地震損失進(jìn)行了敏感性分析[1]。Tornado圖形由一系列被稱為“幅擺”的水平橫杠組成，每一條“幅擺”對應(yīng)于1個(gè)隨機(jī)變量，其寬度體現(xiàn)了輸出結(jié)果的變異性，見圖 1(a)。若某個(gè)輸入變量對輸出結(jié)果的變異性產(chǎn)生了顯著影響，則其“幅擺”也就較寬，反之則較窄。在確定了各輸入變量對應(yīng)的“幅擺”寬度后，可按照由寬至窄的順序?qū)ζ渲匾赃M(jìn)行排列(見圖 1(b))。排序后的圖形與龍卷風(fēng)形態(tài)相似，該方法為Tornado(龍卷風(fēng))圖形法。本文利用Tornado圖形法進(jìn)行敏感性分析的具體步驟如下。

(1) 首先根據(jù)需要確定EDP的類型，如基底剪力需求、頂點(diǎn)位移需求等。

(2) 任選1個(gè)隨機(jī)輸入變量X，根據(jù)其概率分布的上、下界(如10%和90%)確定與之相應(yīng)的輸入變量下限值XLB和上限值XUB，見圖1(a)。

(3) 將除X以外的其他隨機(jī)變量全部設(shè)置為其均值，并將XLB和XUB分別輸入結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行有限元分析，從而得到EDP的下限值XLB和上限值XUB，見圖1(a)。

(4) 取|XUB-XLB|為 X對應(yīng)的“幅擺”寬度，并將其表示在初始圖形中，見圖1(b)。

(5) 重復(fù)上述步驟直至獲得所有輸入變量對應(yīng)的“幅擺”寬度為止，并將其自上而下按降序重新排序。排序后的圖形即為Tornado圖，圖中的“幅擺”寬度反映了EDP對所選隨機(jī)輸入變量的敏感性，見圖1(b)。

1.3 數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法

為了提高分析效率，本文采用FOSM法及Tornado圖形法進(jìn)行敏感性分析，但涉及場地運(yùn)動的具體特征時(shí)(即指地面運(yùn)動記錄中除強(qiáng)度以外的其他特性[6])，上述方法則不再適用。這是由于場地運(yùn)動具體特征PGM極為復(fù)雜，其不確定性很難用簡單的概率函數(shù)描述。

本文從美國太平洋地震工程研究中心PEER強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中選擇53條實(shí)測地面運(yùn)動加速度記錄，并將其縮放至相同的峰值地面運(yùn)動加速度 PGA，以模擬PGM(地面運(yùn)動加速度記錄的具體特征)的不確定性。所有地面運(yùn)動記錄均取自斷層距大于10 km的場地，其地下30 m平均剪切波速250≤vS30≤550 m/s，場地特征周期0.35≤Tg≤0.45 s，基本與我國規(guī)范定義的Ⅱ類場地等效，見表1。其中，地震動特征周期值Tg根據(jù)Vidic等[7]提出的公式計(jì)算，即：

式中：PGA和 PGV分別為地面運(yùn)動加速度和速度的峰值；ca為譜加速度與峰值加速度的比值；cv為譜速度與峰值速度的比值。根據(jù)Vidic等[7]的研究成果，系數(shù)ca和cv可分別取為2.5和2.0。

2 混凝土框架結(jié)構(gòu)的敏感性分析

以1榀位于8度設(shè)防(0.3g)、Ⅱ類場地(第2組)的典型鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，對影響其抗震性能的4種EDP敏感性進(jìn)行分析。該框架共3跨7層，單跨跨度為6 m；底層層高為4.2 m，其他層層高為3.6 m。梁、柱混凝土為C30級，縱筋為HRB335級，箍筋為HRB235級。表2所示為該框架的配筋參數(shù)設(shè)計(jì)值，列出了按受荷范圍集中到框架梁、柱上的荷載標(biāo)準(zhǔn)值，其中：括號內(nèi)數(shù)值為活荷載標(biāo)準(zhǔn)值，其他為恒荷載標(biāo)準(zhǔn)值；梁上荷載為等效均布荷載，單位為kN/m；柱上荷載為集中荷載，單位為kN。表3所示為7層平面框架梁、柱尺寸及配筋。所選地面運(yùn)動加速度記錄見表1。

圖1 Tornado圖形制作方法Fig.1 Fracture of Tornado diagrams

表1 地面運(yùn)動加速度記錄[19]Table 1 Acceleration records of ground motions[19]

表2 不確定性因素的概率分布類型及統(tǒng)計(jì)參數(shù)Table 2 Probabilistic distribution and statistic parameters of uncertainties

表3 7層平面框架梁、柱尺寸及配筋Table 3 Reinforcing bars and dimensions of 7-story planar frame

2.1 基本的不確定性因素

在抗震工程領(lǐng)域，基本的不確定性因素主要來源于場地運(yùn)動和結(jié)構(gòu)特性這2個(gè)方面。鑒于上述2個(gè)方面的不確定性因素較多，進(jìn)行全面分析尚有困難，表2所示僅列舉一些主要不確定性因素，并參照國內(nèi)、外相關(guān)研究成果對其概率特征和統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行歸納。

2.2 結(jié)構(gòu)模型及計(jì)算方法

采用通用有限元設(shè)計(jì)分析軟件 SAP2000建立計(jì)算模型，模型中根據(jù)受力范圍將結(jié)構(gòu)各樓層的質(zhì)量按比例集中于梁、柱交點(diǎn)，見圖2。其中：邊梁-邊柱節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量為m1，標(biāo)準(zhǔn)值m1k=17.93 t；中梁-中柱節(jié)點(diǎn)集中質(zhì)量為m2，標(biāo)準(zhǔn)值m2k=29.55 t。

圖2 框架荷載標(biāo)準(zhǔn)值Fig.2 Standard load of frame

假定結(jié)構(gòu)的非線性變形集中于梁、柱端部，采用SAP2000提供的集中塑性模型(纖維鉸)模擬梁、柱端部的彎矩-曲率(轉(zhuǎn)角)非線性關(guān)系。纖維鉸模型需要先定義材料的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，為此，進(jìn)行如下規(guī)定：(1) 梁內(nèi)軸力很小，因而可不考慮箍筋約束對混凝土強(qiáng)度及變形性能的影響，故采用Kent-Park模型[16]模擬梁內(nèi)混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，見圖3(a)；(2) 柱內(nèi)軸力較大，因而需要考慮箍筋約束對混凝土強(qiáng)度及變形性能的提高，故采用 Park模型[16](即改進(jìn)后的Kent-Park模型)模擬柱內(nèi)混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，見圖3(a)；(3) 采用雙線性滯回模型鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，見圖 3(b)。圖 3中：σc為混凝土壓應(yīng)力；fc為混凝土抗壓強(qiáng)度；εc為混凝土壓應(yīng)變；ε0為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度對應(yīng)的壓應(yīng)變；ε50u為無約束混凝土 50%抗壓強(qiáng)度對應(yīng)的壓應(yīng)變；ε50為約束混凝土50%抗壓強(qiáng)度對應(yīng)的壓應(yīng)變；ε20為約束混凝土20%抗壓強(qiáng)度對應(yīng)的壓應(yīng)變；ε50h=ε50-ε50u；K為約束混凝土抗壓強(qiáng)度提高系數(shù)；σs為鋼筋壓應(yīng)力；εs為鋼筋壓應(yīng)變；fy為鋼筋屈服強(qiáng)度；Es為鋼筋彈性模量；α為鋼筋屈服后彈性模量比。

采用Releigh阻尼假定，假定結(jié)構(gòu)的阻尼C與其質(zhì)量M和剛度K成比例，即：C=aM+bK。其中：

式中：T1和T2分別為結(jié)構(gòu)的一階、二階特征周期，對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的前 2階彈性振型，模態(tài)分析結(jié)果表明，T1=1.109 9 s，T2=0.364 8 s；1ξ和2ξ分別為結(jié)構(gòu)的前2階模態(tài)阻尼比。

進(jìn)行時(shí)程分析時(shí)，將積分步長設(shè)為場地運(yùn)動時(shí)間步長的1/4，采用Newmark β方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，控制參數(shù)γ和β分別取為0.50和0.25，此時(shí)，Newmark β法等效于平均常加速度法，算法無條件穩(wěn)定。

2.3 敏感性分析結(jié)果

選擇4種能體現(xiàn)混凝土框架結(jié)構(gòu)抗震性能的地震需求參數(shù)(EDP)進(jìn)行敏感性分析，即分析結(jié)構(gòu)的基底剪力需求S、最大樓層加速度需求A、頂點(diǎn)位移需求D和最大層間位移比需求R。上述參數(shù)中，前2種屬于傳統(tǒng)地震力的范疇，而后2種則屬于位移反應(yīng)。

2.3.1 FOSM法分析結(jié)果

根據(jù)FOSM法對所選4種EDP進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果見表4。需注意的是：

(1) 為了便于比較，表4已將EDP對各隨機(jī)變量的敏感性值(σEDP)統(tǒng)一按其均值進(jìn)行了歸一化處理，即表示為變異系數(shù)的形式。

(2) 為確保式(8)中的擾動cp取值合理，對cp分別為0.100，0.010和0.001時(shí)的敏感性進(jìn)行分析，結(jié)果如表4所示。經(jīng)對比分析可知：當(dāng)cp為0.001時(shí)，可確保FOSM方法的計(jì)算結(jié)果收斂。

(3) 表4中各EDP對PGM的敏感性根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到。具體步驟如下：首先，將除PGM以外的其他所有隨機(jī)變量設(shè)置為其均值；隨后將統(tǒng)一縮放后(PGA=1.74 m·s-2)53條地面運(yùn)動加速度記錄輸入結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力時(shí)程分析，以獲取4組EDP樣本(S，A，D和 R)；在此基礎(chǔ)上，分別對各組 EDP樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得其均值、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，見表4。

圖3 混凝土和鋼筋的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.3 Stress-strain relationship of concrete and reinforced bar

表4 結(jié)構(gòu)地震需求參數(shù)EDP 的變異系數(shù)Table 4 Coefficient of variation of structural EDP %

由表4可知：4種EDP對PGA和PGM的敏感性明顯比其他結(jié)構(gòu)特性方面的隨機(jī)變量的敏感性強(qiáng)。這主要是因?yàn)樵?0 a設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)，場地運(yùn)動自身的變異性本來就較高；另一方面，結(jié)構(gòu)的位移需求參數(shù)往往顯示出比另外2種力需求參數(shù)更強(qiáng)的隨機(jī)性，其中D和R的變異系數(shù)最高時(shí)均超過100%(由PGA引起)，分別達(dá)到 105.1%和 108.3%。上述現(xiàn)象表明：結(jié)構(gòu)位移需求參數(shù)對其抗震性能的影響不容忽視。

2.3.2 Tornado圖形法分析結(jié)果

Tornado圖形法要求事先根據(jù)輸入變量的概率分布確定其上、下限(見圖 1)，而場地運(yùn)動的具體特征(PGM)并不是1個(gè)簡單的隨機(jī)變量，也沒有明確的概率分布函數(shù)，因此，本文采用如下方法確定PGM的上、下限(超越概率分別為10%和90%)。

(1) 將所有結(jié)構(gòu)特性方面的不確定因素(隨機(jī)變量)設(shè)置為其均值；

(2) 將所有地面運(yùn)動加速度記錄統(tǒng)一縮放至PGA=1.74 m·s-2(均值)；

(3) 采用縮放后的記錄對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力時(shí)程分析以獲得一組符合要求的地 震需求參數(shù)(如基底剪力、頂點(diǎn)位移和層間位移比等)；

(4) 對地震需求參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪出其頻數(shù)直方圖；據(jù)直方高度÷總頻數(shù)÷直方寬度，將其中點(diǎn)相連即為該參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)，見圖4(a)；

(5) 對地震需求參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分以確定其上限(超越概率10%)、均值和下限(超越概率90%)，見圖4(b)；與之相應(yīng)的地震記錄具有地震動特征的上限、均值和下限。

圖5列出了采用Tornado圖形法對不同的地震需求參數(shù)(EDP)進(jìn)行敏感性分析的結(jié)果，圖中垂線表示將所有不確定性因素設(shè)置為其均值時(shí)的EDP值。水平條帶(即所謂幅擺)的寬度體現(xiàn)了EDP對于相應(yīng)不確定性因素的敏感性。

由圖5可知：對于就所選的4種EDP，PGA對應(yīng)的幅擺寬度總是最大，PGM對應(yīng)的幅擺寬度僅比 PGA的小，這表明EDP的不確定性對場地運(yùn)動的強(qiáng)度及具體特征最為敏感，這與FOSM法的分析結(jié)果相吻合。除 PGA和 PGM以外，其他隨機(jī)變量(fc，fy，Ec，Es，DA，Ms和d)對應(yīng)的幅擺寬度較窄，且其排列順序也隨EDP的不同而有所變化，但DA，Ms和fc這3個(gè)隨機(jī)變量對應(yīng)的幅擺寬度一般總能排入前 3～5位(結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移需求對應(yīng)的情況略有差別)。這表明在結(jié)構(gòu)特性方面，EDP對于結(jié)構(gòu)阻尼、質(zhì)量和混凝土抗壓強(qiáng)度這3種不確定性因素較敏感，而對其他因素的敏感程度則較低。

圖4 EDP的經(jīng)驗(yàn)概率密度函數(shù)及其限值Fig.4 Empirical probability density function and its limit values of EDP

圖5 EDP的Tornado圖形法和FOSM法敏感性分析結(jié)果Fig.5 Analysis results of EDP derived from Tornado diagram method and FOSM method

2.3.3 敏感性分析結(jié)果的比較

本文主要采用FOSM法和Tornado圖形法進(jìn)行敏感性分析(數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法僅用于計(jì)算EDP對于PGM的敏感性)，這 2種方法都有其各自的優(yōu)點(diǎn)和局限性。FOSM法能估計(jì)出EDP的2個(gè)統(tǒng)計(jì)量(均值和標(biāo)準(zhǔn)差)，但該方法僅對于線性的輸入輸出關(guān)系才能嚴(yán)格成立。Tornato圖形法計(jì)算簡單，且對于線性和非線性的輸入輸出關(guān)系均可適用，但該方法無法提供任何有關(guān)EDP的統(tǒng)計(jì)信息。

為了更好地比較這2種方法的分析結(jié)果，這里將FOSM法的分析結(jié)果也表示成Tornado圖形的形式，為此假定地震需求參數(shù)與輸入隨機(jī)變量具有相同的概率分布類型，見文獻(xiàn)[6]，例如：若PGA服從極值Ⅱ型分布，則假定與之對應(yīng)的地震需求參數(shù)也服從極值Ⅱ型分布。由于地震動的特征PGM不是1個(gè)簡單的隨機(jī)變量，前面也未采用概率函數(shù)的形式描述其不確定性，這里假定與之對應(yīng)的地震需求參數(shù)服從對數(shù)正態(tài)分布，與文獻(xiàn)[6，17-18]中采用的假定基本一致。

在上述分布假定基礎(chǔ)上，結(jié)合FOSM法的分析結(jié)果(地震需求參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差)，即可確定地震需求的假想概率分布函數(shù)，并以此為基礎(chǔ)計(jì)算超越概率分別為10%和90%時(shí)的地震需求上、下限。將地震需求上、下限繪于圖中，就能用類似于Tornado圖形的形式表示FOSM法的分析結(jié)果，見圖5中星號包絡(luò)線。

圖5表明：對于各隨機(jī)變量的敏感性排序，采用這2種方法得到的結(jié)果幾乎相同，唯一的例外是最大層間位移比對Ec和d這2隨機(jī)變量的敏感性排序(見圖5(d))。但考慮到Ec和d的效應(yīng)很小(幅擺較窄)，因此，出現(xiàn)一定偏差不至于對分析結(jié)果產(chǎn)生決定性影響?？偟膩碚f，采用這2種方法得到的敏感性排序體現(xiàn)出很強(qiáng)的一致性，這直觀地驗(yàn)證了上述分析結(jié)果，也表明分析方法合理。

3 結(jié)論

(1) 以1個(gè)典型混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，采用一次二階矩法、龍卷風(fēng)圖形法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)法這3種敏感性分析方法，估計(jì)了4種結(jié)構(gòu)地震需求參數(shù)對于基本不確定因素的敏感度，進(jìn)而對基本不確定因素的重要性進(jìn)行排序，從中選擇對地震需求的不確定性產(chǎn)生顯著影響的敏感性因素。

(2) 地震需求參數(shù)的不確定性受場地運(yùn)動強(qiáng)度的影響最顯著，其次為場地運(yùn)動的具體特征。除上述 2最主要因素外，EDP對結(jié)構(gòu)特性方面3種不確定因素(黏性阻尼、質(zhì)量和混凝土抗壓強(qiáng)度)的敏感程度較高，而對其他因素不太敏感。

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