韓志杰，王璋奇

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定，071003)

目前，吊梁的設(shè)計(jì)需考慮抗彎能力及整體穩(wěn)定性。而在工程設(shè)計(jì)中，為了保證吊梁的可靠性，一般給定塑性發(fā)展系數(shù)和整體穩(wěn)定系數(shù)等確定性的指標(biāo)來調(diào)整，而這些指標(biāo)一般通過查表或者經(jīng)驗(yàn)來確定，雖然長期實(shí)踐證明這種方法是一種有效的工程應(yīng)用方法，但由于吊梁在設(shè)計(jì)制造中，存在著大量的不可測(cè)或不可控因素，使吊梁設(shè)計(jì)參數(shù)具有不確定性或不可控性，導(dǎo)致設(shè)計(jì)與分析結(jié)果難以反映工程實(shí)際，從而影響產(chǎn)品設(shè)計(jì)質(zhì)量，因此，需要在準(zhǔn)確描述設(shè)計(jì)參數(shù)不確定性的基礎(chǔ)上研究吊梁可靠性。以不確定性為基礎(chǔ)來分析結(jié)構(gòu)的方法主要有：隨機(jī)有限元法[1-2]、模糊有限元法[3]和區(qū)間有限元法[4-5]。前兩種方法是解決不確定問題常用方法，它們是通過用隨機(jī)概率理論或模糊理論結(jié)合確定性有限元來分析問題，但是它們?cè)谇蠼鈺r(shí)，需要確定不確定性參數(shù)的概率密度或隸屬函數(shù)，這需要大量的樣本點(diǎn)，要獲取樣本點(diǎn)最直接的方法是試驗(yàn)測(cè)定，對(duì)于吊梁這種大型機(jī)械結(jié)構(gòu)很難實(shí)現(xiàn)，因此使不確定性參數(shù)的概率密度函數(shù)難以確定，往往通過人為方式取舍；文獻(xiàn)[6-7]中分別把隨機(jī)有限元和模糊有限元結(jié)合可靠性對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)做了分析，建立了不確定結(jié)構(gòu)可靠性解決方案，由于對(duì)具有較少樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)不確定性描述不確切，致使計(jì)算結(jié)果與實(shí)際存在偏差。而區(qū)間有限元分析方法在針對(duì)統(tǒng)計(jì)信息不足以描述不確定參數(shù)的概率分布或隸屬函數(shù)時(shí)，僅需提供不確定參數(shù)的區(qū)間范圍即可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的區(qū)間范圍。因此，本文作者在對(duì)吊梁受力模型分析的基礎(chǔ)上，利用區(qū)間分析來描述吊梁設(shè)計(jì)參數(shù)的不確定性，結(jié)合區(qū)間有限元法建立結(jié)構(gòu)有限元控制方程，并利用一階泰勒展開方法求解此方程，獲得吊梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間，并引入非概率可靠性設(shè)計(jì)思想，分析吊梁的可靠性驗(yàn)算，建立了各失效模式下的極限狀態(tài)函數(shù)，根據(jù)吊梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間確定了其可靠性指標(biāo)，來描述結(jié)構(gòu)的可靠性程度，最后對(duì)區(qū)間敏感性進(jìn)行定義，分析設(shè)計(jì)參數(shù)在區(qū)間內(nèi)變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的敏感程度，以便為吊梁的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 吊梁模型的建立與分析

吊梁的主體結(jié)構(gòu)為多個(gè)等厚鋼板焊接而成，由于所用鋼板的長和寬比其厚度大很多，因此吊梁的結(jié)構(gòu)分析可視為線彈性平面應(yīng)力問題，可采用四節(jié)點(diǎn)直邊四邊形單元進(jìn)行有限元分析，其力學(xué)模型如圖1所示，可以簡(jiǎn)化為吊梁上方的吊耳孔固定，下方4個(gè)吊耳處受到集中載荷P的平面板。吊梁的幾何參數(shù)有：梁的長度L、邊緣高度b1、中心高度b2、厚度t，材料參數(shù)包括彈性模量E和泊松比λ，載荷參數(shù)為P，運(yùn)用板殼單元對(duì)吊梁進(jìn)行有限元參數(shù)化建模，由于吊梁的結(jié)構(gòu)為左右對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此，只需研究其一半的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

圖1 吊梁的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of hanging beam

2 區(qū)間有限元

區(qū)間有限元方法的基本思想是以區(qū)間數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將區(qū)間分析方法引入到結(jié)構(gòu)分析中，當(dāng)結(jié)構(gòu)的不確定變量可以由區(qū)間界定時(shí)，即可建立區(qū)間有限元法。

2.1 區(qū)間有限元法的基本原理

根據(jù)有限單元位移法中，位移的控制方程可表示為Ku=F(其中：K為對(duì)稱勁度矩陣；u為位移向量；F為載荷向量)。由于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)具有不確定性，從而導(dǎo)致控制方程中的K和F也成為不確定性矩陣和向量，因此具有不確定性有限單元的位移控制方程可以表示為：

當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)在一個(gè)范圍內(nèi)變化，則結(jié)構(gòu)不確定性可用區(qū)間來描述，即其中： αI為區(qū)間向量； αl和 αu分別為區(qū)間向量下界和上界。因此，由不確定參數(shù)向量α確定的區(qū)間有限元控制方程為

其中：KI(α)為結(jié)構(gòu)整體勁度區(qū)間矩陣；FI(α)為整體載荷區(qū)間列向量；uI(α)為結(jié)構(gòu)位移區(qū)間列向量。

對(duì)彈性結(jié)構(gòu)，應(yīng)力σI通過材料的本構(gòu)關(guān)系和協(xié)調(diào)方程可由變形唯一確定，即

其中：EI為與單元材料相關(guān)的彈性區(qū)間矩陣；D為線性微分算子。

2.2 區(qū)間有限元控制方程的解法

由于區(qū)間有限元控制方程中總體剛度矩陣不再是確定的，不能用傳統(tǒng)位移法來獲得結(jié)構(gòu)的區(qū)間響應(yīng)，致使控制方程的求解較為困難，因此，其求解方法也就成為不確定問題區(qū)間分析的關(guān)鍵[8-9]。

由于區(qū)間運(yùn)算的復(fù)雜性，為了能夠更準(zhǔn)確的獲得解區(qū)間，一些學(xué)者提出了一些新的求解方法：端點(diǎn)組合法[10]、區(qū)間矩陣攝動(dòng)法及子區(qū)間攝動(dòng)法[11]、區(qū)間參數(shù)優(yōu)化法[12]、區(qū)間迭代解法[13-14]等，但這些解法都有本身的局限性[15]。本文針對(duì)不確定參數(shù)之間可能存在的相關(guān)性，提出了利用一階泰勒展開的方法來求解區(qū)間有限元控制方程。

根據(jù)式(2)可知：所要求解的結(jié)構(gòu)響應(yīng)為由不確定參數(shù)向量α來確定的區(qū)間變量uI(α)，若不確定參數(shù)向量α各元素之間不存在相關(guān)性，則uI(α)為線性表達(dá)式，可以直接用位移法來獲得其解；若不確定參數(shù)α各元素之間存在相關(guān)性，則uI(α)為非線性表達(dá)式，可通過一階泰勒展開近似：

其中：αc為區(qū)間參數(shù)向量α的均值，即為不確定參數(shù)個(gè)數(shù)。

由式(1)可知：

由式(6)可計(jì)算得到?u(αc)/?αi。由于αi∈α ，故可對(duì)式(4)進(jìn)行區(qū)間自然擴(kuò)張，可得到：

根據(jù)式(5)～(7)，可確定結(jié)構(gòu)響應(yīng)的上界和下界為：

為了對(duì)上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，下面采用常用的6桿桁架結(jié)構(gòu)為例來進(jìn)行分析，如圖2所示，其具體參數(shù)可參照文獻(xiàn)[9]。按照式(8)計(jì)算，可得到節(jié)點(diǎn)2和3的位移上限和下限，如表1所示。

圖2 6桿桁架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 6-bar truss structure

對(duì)表1計(jì)算結(jié)果分析，得出以下結(jié)論：

(1) 由 5種計(jì)算方法得出的節(jié)點(diǎn)位移分析可知，節(jié)點(diǎn)2和3在x和y方向的位移均值相差很小，說明對(duì)節(jié)點(diǎn)位移區(qū)間均值的求解具有一定的穩(wěn)定性。

(2) 以區(qū)間參數(shù)優(yōu)化法的求解結(jié)果作為準(zhǔn)確解進(jìn)行比較，可知對(duì)5種方法計(jì)算出的節(jié)點(diǎn)位移離差有一定的差別。以區(qū)間參數(shù)優(yōu)化法作為準(zhǔn)確解可知，端點(diǎn)組合法、區(qū)間矩陣攝動(dòng)法、區(qū)間迭代法所得到的節(jié)點(diǎn)位移區(qū)間均大于區(qū)間參數(shù)優(yōu)化方法的區(qū)間，不能很好地避免區(qū)間計(jì)算所產(chǎn)生的區(qū)間擴(kuò)張，而本文方法確定的區(qū)間接近于區(qū)間參數(shù)優(yōu)化法的區(qū)間。

(3) 與其他方法相比，本文方法在求解區(qū)間有限元控制方程時(shí)，僅需確定出矩陣K對(duì)α的偏導(dǎo)矩陣及逆矩陣即可，求解簡(jiǎn)便，計(jì)算量小，而且易于編程實(shí)現(xiàn)。

表1 6桿桁架結(jié)構(gòu)的不確定位移Table 1 Interval of displacements of 6-bar truss structure

3 吊梁的非概率可靠性分析

根據(jù)吊梁的區(qū)間有限元計(jì)算結(jié)果，可得到吊梁在載荷 P的作用下的靜態(tài)響應(yīng)(位移、應(yīng)力等)的區(qū)間范圍，由此可繼續(xù)研究吊梁結(jié)構(gòu)的可靠性。

3.1 吊梁的可靠性驗(yàn)算

吊梁可靠性驗(yàn)算主要包括抗彎穩(wěn)定性驗(yàn)算和抗扭穩(wěn)定性驗(yàn)算。

(1) 抗彎穩(wěn)定性是載荷P作用下吊梁中部不產(chǎn)生彎曲破壞，并且受力處的變形不能超過設(shè)計(jì)要求，防止產(chǎn)生強(qiáng)度失效和剛度失效，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：σs為材料極限應(yīng)力；σmax為吊梁最大應(yīng)力值；[δ]為材料許用變形；δmax為材料最大變形值。

(2) 側(cè)扭穩(wěn)定性是作用在自由端的載荷P達(dá)到或超過一定數(shù)值時(shí)，避免吊梁的鋼板發(fā)生側(cè)向彎曲或側(cè)扭破壞，防止產(chǎn)生失穩(wěn)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：Pcr為吊梁能所承受臨界載荷。

綜上所述，當(dāng)?shù)趿旱目沽?σs，[δ]，Pcr)分別大于它的作用響應(yīng)(σmax，δmax，P)時(shí)，吊梁將處于可靠狀態(tài)，由此可建立吊梁穩(wěn)定性的極限狀態(tài)方程為：

根據(jù)吊梁的設(shè)計(jì)可知：影響它穩(wěn)定性的因素有幾何參數(shù)(鋼板厚度、長度及截面寬度)、材料參數(shù)(彈性模量，極限應(yīng)力等)、載荷等，其中幾何尺寸不確定性的來源主要是在設(shè)計(jì)參數(shù)與制造成型后的尺寸之間存在的誤差，包括材料本身的誤差(比如鋼板的厚度)以及加工誤差等；材料性能不確定性的來源主要是試驗(yàn)設(shè)備的影響以及檢測(cè)手段的局限，以至于獲得的材料物理參數(shù)有波動(dòng)，通常在常規(guī)設(shè)計(jì)時(shí)只給出均值，是由許多檢測(cè)值統(tǒng)計(jì)而得，由此可以認(rèn)為材料的物理參數(shù)具有不確定性；載荷的不確定性主要是考慮到實(shí)際生產(chǎn)中所承受載荷的波動(dòng)性。本文把這些不確定性因素描述為區(qū)間形式，從而建立吊梁的非概率可靠性分析方法。

3.2 吊梁非概率可靠性指標(biāo)

確定影響吊梁可靠性的因素后，根據(jù)吊梁的失效準(zhǔn)則來確定其功能函數(shù)為：

式中：iα的變化區(qū)間確定后，需對(duì)這些不確定因素標(biāo)準(zhǔn)化，來獲得標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間內(nèi)的區(qū)間參數(shù)，構(gòu)成新的功能函數(shù)為：

由式(14)可知：非概率可靠性指標(biāo) η的物理意義為：在標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量的擴(kuò)展空間中，從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離作為非概率可靠性指標(biāo)。對(duì)于任意在可行域中的不確定參數(shù)，當(dāng)η＞1時(shí)，說明吊梁的安全域與失效域不相交，此時(shí)結(jié)構(gòu)是安全的；當(dāng) η＜-1時(shí)，吊梁的安全域包含失效域，此時(shí)結(jié)構(gòu)必然失效；當(dāng)-1≤η≤-1時(shí)，吊梁是處于臨界狀態(tài)，從嚴(yán)格意義上講，此時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)是不可靠的。因此，η愈大，吊梁愈可靠。

根據(jù)吊梁的極限狀態(tài)方程(11)可以確定出各失效模式下非概率可靠性指標(biāo) η，包括彎曲失效的非概率可靠性指標(biāo)η1、變形失效的非概率可靠性指標(biāo)η2和側(cè)扭失效的非概率可靠性指標(biāo)η3，對(duì)于吊梁結(jié)構(gòu)來說，只要其中一個(gè)失效發(fā)生，則整個(gè)吊梁即失效，因此，吊梁的非概率可靠性指標(biāo)為η1，η2和η3的最小值，即η=min(η1, η2, η3)。

4 吊梁設(shè)計(jì)參數(shù)區(qū)間敏感性分析

根據(jù)非概率可靠性方法得到吊梁的可靠性指標(biāo)，了解結(jié)構(gòu)的可靠性程度后，如何通過對(duì)可靠性程度的控制來指導(dǎo)吊梁的設(shè)計(jì)呢？就需要對(duì)吊梁的設(shè)計(jì)參數(shù)作敏感性分析，可以定量的判斷出不確定設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)吊梁可靠性的影響程度，從而揭示出提高可靠性應(yīng)該修改哪些設(shè)計(jì)參數(shù)。

目前研究結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性[18]的方法多為確定變量下敏感性分析方法，即采用局部梯度信息進(jìn)行判斷，忽略了設(shè)計(jì)變量的區(qū)間變化范圍對(duì)其實(shí)際變化范圍和不確定程度的影響。而區(qū)間敏感性分析測(cè)度的是設(shè)計(jì)變量區(qū)間的變化程度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間的影響程度，即結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間的產(chǎn)生多大的變化是由設(shè)計(jì)變量的區(qū)間性來決定的，因此，可以把表征不確定性的區(qū)間敏感因子定義為

其中：Δgi表示第 i個(gè)不確定參數(shù)具有波動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)波動(dòng)范圍表示第i個(gè)不確定量未波動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)波動(dòng)范圍，為狀態(tài)函數(shù)的波動(dòng)范圍，越大，表征結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)該變量的敏感性越高，反之就越弱。區(qū)間敏感因子的幾何意義如圖3所示。

圖3 區(qū)間敏感性方法Fig.3 Interval sensitivity analysis

從對(duì)吊梁可靠性驗(yàn)算分析可知：影響其可靠性程度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)為最大變形σmax、最大應(yīng)力δmax和臨界載荷Pcr。因此，只需判斷出設(shè)計(jì)變量區(qū)間在一定區(qū)間范圍內(nèi)，對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響程度，即為設(shè)計(jì)參數(shù)相對(duì)于結(jié)構(gòu)可靠度的敏感程度。

表2 吊梁的設(shè)計(jì)參數(shù)Table 2 Hanging beam design parameters

(2) 對(duì)吊梁模型進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，根?jù)單元的個(gè)數(shù)對(duì)單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行組集，可獲得整體剛度區(qū)間矩陣K(α)，把載荷P等效到吊梁節(jié)點(diǎn)上，確定載荷區(qū)間向量F。

(3) 剛度區(qū)間矩陣K(α)和載荷區(qū)間向量F對(duì)區(qū)間向量α中每個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，代入?yún)^(qū)間有限元控制方程(8)，獲得吊梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

吊梁的應(yīng)力和變形能夠由上述步驟得到，產(chǎn)生屈曲的臨界載荷[19]可以通過下式求得：

在不同失效模式下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的上限和下限如表 3所示，根據(jù)非概率可靠性方法得到不同失效模式下的非概率可靠性指標(biāo)。

表3 吊梁的響應(yīng)區(qū)間及可靠性指標(biāo)Table 3 Interval responses and reliability indexes of hanging beam

5 實(shí)例分析

以圖1所示的吊梁為例，其設(shè)計(jì)參數(shù)如表2所示，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，吊梁的極限應(yīng)力為 σs和許用變形為[δ]，在載荷P的作用下，對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行區(qū)間有限元計(jì)算，并分析其可靠性以及對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感性。

(1) 計(jì)算得到不確定變量向量的均值cα，對(duì)吊梁進(jìn)行參數(shù)建模，根據(jù)平面板單元的有限元計(jì)算方法，確定有限元模型中的單元?jiǎng)偠染仃嘖e(α)。

對(duì)不同失效模式下的非概率可靠性指標(biāo)進(jìn)行分析可知：吊梁的整體結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)η=min(η1, η2, η3)=η1＞1，表明吊梁的3種失效方式均不會(huì)發(fā)生，因此，吊梁的設(shè)計(jì)參數(shù)在所給定區(qū)間內(nèi)波動(dòng)，能夠滿足設(shè)計(jì)要求，是完全可靠的；3種失效模式的可靠性指標(biāo)關(guān)系為 η2＞η3＞η1，其中吊梁的強(qiáng)度可靠性指標(biāo)最小，表明其強(qiáng)度失效是整個(gè)結(jié)構(gòu)最主要的失效模式，因此，在設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求多加注意。

為了進(jìn)一步探討吊梁的不確定參數(shù)向量對(duì)可靠性的影響規(guī)律，結(jié)合各失效模式下的狀態(tài)方程，在各個(gè)不確定參數(shù)在區(qū)間內(nèi)波動(dòng)的情況下，對(duì)吊梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)(應(yīng)力、變形和臨界載荷)的影響程度，即吊梁不確定參數(shù)的敏感性分析。通過對(duì)吊梁3種失效模式下區(qū)間敏感因子計(jì)算，給出了不確定參數(shù)向量的變異量在-0.5～+0.5之間的結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化曲線，如圖4～6所示。從圖4～6可以看出：當(dāng)不確定參數(shù)變異范圍為0時(shí)，所有曲線都交于零點(diǎn)，敏感因子為0。圖4中的應(yīng)力敏感因子θ隨厚度t和高度b2變異量的增加逐漸減小，表明厚度t、高度b2與結(jié)構(gòu)應(yīng)力成反比，同理，載荷P與應(yīng)力敏感因子θ成正比，而高度b1和彈性模量E對(duì)應(yīng)應(yīng)力敏感因子的變化曲線趨近于 0，表明結(jié)構(gòu)應(yīng)力相對(duì)與高度b1和彈性模量E的變化不敏感。對(duì)于同一變異量，不確定參數(shù)對(duì)應(yīng)的敏感因子，其絕對(duì)值越大，則表面響應(yīng)值相對(duì)于此不確定參數(shù)的敏感程度越高。圖5和圖6所示分別為位移敏感因子和臨界載荷敏感因子隨不確定參數(shù)的變化曲線。

圖4 應(yīng)力敏感因子隨不確定參數(shù)變化曲線Fig.4 Stress sensitive factor curve with uncertain parameters

圖5 位移敏感因子隨不確定參數(shù)變化曲線Fig.5 Deformation sensitive factor curve with uncertain parameters

圖6 臨界載荷敏感因子隨不確定參數(shù)變化曲線Fig.6 Critical load sensitive factor curve with uncertain parameters

從圖4～6可見：在相同的變異范圍內(nèi)，應(yīng)力敏感因子的值最大，說明不確定的參數(shù)的變化對(duì)吊梁結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力影響程度最高。因此，在設(shè)計(jì)參數(shù)選取時(shí)首先需保證強(qiáng)度要求，這與可靠性計(jì)算的結(jié)果相同。

6 結(jié)論

(1) 在對(duì)吊梁結(jié)構(gòu)的受力模型進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)吊梁設(shè)計(jì)參數(shù)具有區(qū)間性，引入?yún)^(qū)間有限元法，建立了吊梁非概率可靠性分析方法。

(2) 針對(duì)區(qū)間有限元控制方程求解困難，提出了一種利用一階泰勒展開算法來求解該方程，該方法能有效避免區(qū)間擴(kuò)張，且運(yùn)算簡(jiǎn)便。

(3) 強(qiáng)度失效是吊梁設(shè)計(jì)時(shí)最主要的失效模式，在對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)選取時(shí)，需對(duì)首先滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求。

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