魏鵬濤，雷剛，郭洪娜，王明海

（1.第二炮兵工程大學(xué)906教研室，陜西西安 710025；2.中國(guó)人民解放軍96656部隊(duì)，北京 102208）

引言

美、俄等航天與軍事強(qiáng)國(guó)在近三十多年來(lái)從未中斷過(guò)軌道攔截衛(wèi)星的研究與實(shí)驗(yàn)，空間攔截與交會(huì)技術(shù)已成為一個(gè)國(guó)家航天技術(shù)發(fā)展水平的重要標(biāo)志［1］。軌道攔截是軌道機(jī)動(dòng)的一種。常規(guī)的軌道攔截模式一般就是尋求一種時(shí)間最快，或者能量消耗最省的過(guò)渡軌道，將機(jī)動(dòng)航天器的初始軌道和目標(biāo)航天器的軌道連接起來(lái)，且當(dāng)機(jī)動(dòng)航天器從初始軌道經(jīng)過(guò)渡軌道運(yùn)行到和目標(biāo)軌道的交會(huì)點(diǎn)，目標(biāo)航天器也運(yùn)行到交會(huì)點(diǎn)，即實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)航天器和目標(biāo)航天器的交會(huì)?；跊_量方式的軌道攔截，過(guò)渡軌道也是一條開(kāi)普勒軌道。

本文提出了在虛交點(diǎn)進(jìn)行攔截的軌道攔截方式，以達(dá)到時(shí)間最短、能量最省的要求。

1 虛交點(diǎn)攔截

1.1 數(shù)學(xué)模型建立

記軌道機(jī)動(dòng)航天器和目標(biāo)航天器所在軌道分別為初始軌道和目標(biāo)軌道，軌道攔截就是在初始軌道上尋找一個(gè)變軌點(diǎn)T，在目標(biāo)軌道上尋找一個(gè)交會(huì)點(diǎn)J，并在兩點(diǎn)間設(shè)計(jì)一條攔截軌道L，要求機(jī)動(dòng)航天器在t1時(shí)刻由T點(diǎn)實(shí)施軌道機(jī)動(dòng)，然后沿?cái)r截軌道運(yùn)動(dòng)到t2時(shí)刻與目標(biāo)航天器交會(huì)于J點(diǎn)［2］。當(dāng)交會(huì)點(diǎn)J確定，則目標(biāo)航天器運(yùn)行到攔截點(diǎn)的時(shí)間TH也就確定，即:

式中，MHJ為目標(biāo)航天器在交會(huì)點(diǎn)J的平近點(diǎn)角；MH0為目標(biāo)航天器初始時(shí)刻t0的平近點(diǎn)角；nH為目標(biāo)航天器平均運(yùn)動(dòng)角速度。

首先定義兩航天器的軌道不共面情況下的“虛交點(diǎn)”。因?yàn)槔@地球運(yùn)行的航天器的軌道面都過(guò)地心，兩不共面的軌道在地球上投影時(shí)，就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與地心共線，即相位差π。定義在目標(biāo)軌道上，目標(biāo)先經(jīng)過(guò)的虛交點(diǎn)為第1交點(diǎn)uH1，另外一個(gè)為第2交點(diǎn)uH2，兩者通稱虛交點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)航天器軌道上的虛交點(diǎn)分別記為uB1和uB2，如圖1所示。

圖1 虛交點(diǎn)攔截示意圖

若推力是沖量式，即速度在變軌點(diǎn)T瞬時(shí)增加，則攔截軌道L是開(kāi)普勒軌道，若變軌點(diǎn)T和交會(huì)點(diǎn)J都確定，則攔截軌道唯一，即固定時(shí)間攔截。則:

式中，MBT為機(jī)動(dòng)航天器在變軌點(diǎn)T的平近點(diǎn)角；MB0為機(jī)動(dòng)航天器初始時(shí)刻t0的平近點(diǎn)角；nB為機(jī)動(dòng)航天器在初始軌道上的平均運(yùn)動(dòng)角速度；MIJ為機(jī)動(dòng)航天器在攔截軌道上交會(huì)點(diǎn)J的平近點(diǎn)角；MIT為機(jī)動(dòng)航天器在攔截軌道上變軌點(diǎn)T的平近點(diǎn)角；nI為目標(biāo)航天器在攔截軌道上的平均運(yùn)動(dòng)角速度。

能量總消耗為:

式中，vIT為機(jī)動(dòng)航天器在攔截軌道上變軌點(diǎn)T的速度矢量；vBT為機(jī)動(dòng)航天器在初始軌道上變軌點(diǎn)T的速度矢量。

1.2 虛交點(diǎn)坐標(biāo)系下的攔截問(wèn)題

由于所選擇攔截軌道和初始軌道在同一平面內(nèi)，建立初始軌道下的近交點(diǎn)坐標(biāo)系［3］如圖2所示。

圖2 近交點(diǎn)坐標(biāo)系下的攔截軌道

1.3 虛交點(diǎn)的求取

將機(jī)動(dòng)航天器軌道和目標(biāo)航天器軌道投影到地球所在的球面上，如圖3所示。虛交點(diǎn)可以用該點(diǎn)的緯度幅角u=ω+f表示，其大小只和兩軌道的軌道傾角i、升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω有關(guān)。

圖3 虛交點(diǎn)與i，Ω的關(guān)系示意圖

由球面三角形的相鄰四元素公式得:

式中，下標(biāo)B表示機(jī)動(dòng)航天器初始軌道參數(shù)；下標(biāo)H表示目標(biāo)航天器軌道參數(shù)?？梢?jiàn)只要保持兩軌道軌道面不變化，虛交點(diǎn)的緯度幅角就保持不變。欲實(shí)現(xiàn)在虛交點(diǎn)對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)軌道攔截，調(diào)整機(jī)動(dòng)航天器在虛交點(diǎn)的軌道高度即可。

2 應(yīng)用普適變量法解決Lambert問(wèn)題

求解Lambert問(wèn)題可以歸結(jié)為求解高斯問(wèn)題，高斯問(wèn)題是指:給定航天器所處軌道上的兩個(gè)位置點(diǎn)1和2，其對(duì)應(yīng)的位置矢量分別為r1和r2，以及衛(wèi)星從點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2所經(jīng)歷的時(shí)間Δt和運(yùn)動(dòng)方向，求衛(wèi)星在1，2兩點(diǎn)的速度v1，v2［4-6］。

定義普適變量為:

可以得到航天器位置矢徑的普適公式:

由式（5）、式（6）可得飛行時(shí)間的普適公式為:

式中，c0為積分常數(shù)；a，e分別為追蹤航天器轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸和偏心率。

利用普適變量和斯達(dá)姆夫函數(shù)［7-9］C（z）和S（z）所表示的拉格朗日系數(shù)如下:

斯達(dá)姆夫函數(shù)C（z）和S（z）為:

式中，z=α χ2，α=1/a，r1=|r1|，r2=|r2|。

追蹤器始末位置矢量之間的真近點(diǎn)角為:

動(dòng)量矩的根為:

設(shè)

令

由拉格朗日系數(shù)可得v1，v2表達(dá)式為:

3 仿真分析

假設(shè)初始軌道和目標(biāo)軌道參數(shù)如表1所示。

表1 軌道參數(shù)

由表1可得第1虛交點(diǎn)緯度幅角為:uB=47.303 8°，uH=25.108 2°。選擇初始軌道初始時(shí)刻后不同位置為變軌點(diǎn)，需要的速度沖量如圖4所示。

圖4 不同變軌點(diǎn)進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移需要的速度沖量

由圖4分析可知，對(duì)于在同一虛交點(diǎn)攔截并且攔截時(shí)間一定的情況下，在初始時(shí)刻進(jìn)行攔截最省能量。因此，應(yīng)該在初始時(shí)刻進(jìn)行變軌，從而在第1虛交點(diǎn)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截。優(yōu)化攔截軌道參數(shù)如下:長(zhǎng)半軸7 020.63 km；偏心率0.18；軌道傾角30°；升交點(diǎn)赤經(jīng)30°；近地點(diǎn)幅角230.565 1°；真近點(diǎn)角109.434 9°。在第1虛交點(diǎn)實(shí)現(xiàn)軌道攔截所需速度增量為1.417 6 km/s，攔截時(shí)間為1 403.412 3 s。利用STK可視化仿真，可得到攔截的過(guò)程仿真如圖5所示。

圖5 攔截過(guò)程仿真

從以上仿真可以看出，采用虛交點(diǎn)方式可以有效地對(duì)目標(biāo)進(jìn)行攔截。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)軌道異面攔截需要較大的速度沖量，本文提出了基于虛交點(diǎn)的軌道攔截方法，攔截軌道和初始軌道在一個(gè)平面上，有助于節(jié)省能量。并以空間機(jī)動(dòng)攔截某一目標(biāo)為例，仿真了此算法的可行性。對(duì)于固定時(shí)間攔截問(wèn)題，可以選擇合適的變軌點(diǎn)，以較小的能量實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截。

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