張丹娜，韓岳峰，龐天曉

（浙江大學(xué) 數(shù)學(xué)系,杭州 310058）

0 引言

回歸分析是研究一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量與另一些變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。在過(guò)去100多年的發(fā)展中，傳統(tǒng)的回歸分析通過(guò)估計(jì)連續(xù)函數(shù)來(lái)表示這種自變量和因變量的因果關(guān)系。然而，現(xiàn)實(shí)中有很多經(jīng)濟(jì)模型，用連續(xù)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)誤差較大，經(jīng)濟(jì)意義也不明確。如實(shí)際問題中有很多不確定的因素，使得某個(gè)變量的值不是連續(xù)變化而是突然跳變的。最典型的例子就是房地產(chǎn)價(jià)格的走勢(shì)，如果在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)房?jī)r(jià)持續(xù)攀升，國(guó)家會(huì)出臺(tái)一系列相關(guān)的房產(chǎn)政策抑制房?jī)r(jià)過(guò)快增長(zhǎng)，假使政策有效，房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)速度必然會(huì)在短時(shí)間內(nèi)發(fā)生跳變，所以傳統(tǒng)的回歸模型顯然不能滿足需要。

Qiu Peihua[1]在1991年第一次提出了跳回歸分析(Jump Regression Analysis)的方法，用以估計(jì)帶噪聲的不連續(xù)曲線和表面。直到現(xiàn)在，國(guó)內(nèi)對(duì)跳回歸的理論和應(yīng)用分析文獻(xiàn)比較缺乏。張亮等[2]采用跳回歸分析對(duì)CT圖像進(jìn)行預(yù)處理，抑制了肺區(qū)中支氣管、血管以及肺部紋理，保留了肺以及腫瘤的邊界，有利于對(duì)肺區(qū)和腫瘤的分割。阮正旺等[3]基于跳回歸分析去除由攝像系統(tǒng)的物理缺陷或傳輸中的解碼錯(cuò)誤而生成的椒鹽噪聲，并且通過(guò)跳變檢測(cè)很好地保持邊緣。上述兩文都是二維的跳回歸模型在圖像處理中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)了其去噪保邊的良好性質(zhì)。目前尚未有國(guó)內(nèi)學(xué)者把一維跳回歸模型應(yīng)用于實(shí)體經(jīng)濟(jì)的分析中，本文首次將跳回歸模型應(yīng)用于房?jī)r(jià)走勢(shì)分析，利用實(shí)例闡述跳點(diǎn)檢測(cè)對(duì)于解釋房?jī)r(jià)走勢(shì)跳變的意義。

1 模型

設(shè){(xi,yi)i=1,2,…,n}是n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，滿足假設(shè)：

yi=f(xi)+εi,εi,i.i.d～N(0,σ2)(i=1,2,…,n)

其中自變量xi等間距地分布在區(qū)間[0,1]中。假設(shè)回歸函數(shù)f的前(m-1)階導(dǎo)數(shù)在定義域中是連續(xù)的，而f的第m階導(dǎo)數(shù)是有跳躍的。

Qiu[4]提出f的第m階導(dǎo)數(shù)有如下模型：

其中g(shù)(x)是連續(xù)函數(shù)，p是f(m)的跳躍點(diǎn)個(gè)數(shù)，{sj,j=1,2,…,p}是跳躍點(diǎn)位置，而{dj,j=1,2,…,p}是各跳躍點(diǎn)跳的幅度。

一般地，對(duì)于經(jīng)濟(jì)模型，以我們要分析的房?jī)r(jià)走勢(shì)為例，以時(shí)間為自變量，房?jī)r(jià)為因變量建立數(shù)學(xué)模型為

yi=f(xi)+εi,εi,i.i.d～N(0,σ2)(i=1,2,…,n)

由于某時(shí)刻的房?jī)r(jià)是在前一段時(shí)間的基礎(chǔ)上進(jìn)行增減，所以房?jī)r(jià)總是呈現(xiàn)一種相對(duì)連續(xù)的狀態(tài)，但在一些外部因素如市場(chǎng)刺激、國(guó)家政策等的影響下，房?jī)r(jià)增減的速度有所變化，甚至是突變，所以我們可認(rèn)為房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率即其一階導(dǎo)f'是有跳躍點(diǎn)的，而原函數(shù)f是連續(xù)的，故取m=1。

對(duì)于模型（1），我們不必估計(jì)g(x)和{dj,j=1,2,…,p}，事實(shí)上，它們的估計(jì)并不容易，估計(jì)房?jī)r(jià)走勢(shì)的跳點(diǎn){sj,j=1,2,…,p}才是必要步驟。影響房?jī)r(jià)走勢(shì)的因素有很多，但不外乎兩類：一是國(guó)家經(jīng)濟(jì)的宏觀調(diào)控，即政策層面；二是購(gòu)房者的消費(fèi)刺激，即市場(chǎng)層面。假設(shè)我們已檢測(cè)出各個(gè)跳變的時(shí)刻{sj,j=1,2,…,p}，那么我們的分析依據(jù)如下：如果在跳點(diǎn)時(shí)刻（或附近）實(shí)行了房產(chǎn)政策，且該政策的預(yù)期效果與跳變的方向（可從dj的正負(fù)號(hào)判斷出）價(jià)走勢(shì)在該處的突變是由房產(chǎn)政策引起的，反之則認(rèn)為是市場(chǎng)誘導(dǎo)的結(jié)果。而研究連續(xù)函數(shù)g(x)對(duì)解釋房?jī)r(jià)走勢(shì)的跳變沒有任何意義。由此，我們只需估計(jì)跳點(diǎn){sj,j=1,2,…,p}和判斷跳變方向即{dj,j=1,2,…,p}的正負(fù)。

2 跳點(diǎn)檢測(cè)方法

Qiu和Yandell[5]提出了一種基于多項(xiàng)式估計(jì)的跳點(diǎn)檢測(cè)方法。

對(duì)每個(gè)給定的xi,?+1≤i≤n-?,?≤n是一個(gè)取定的正整數(shù)，考慮鄰域N(xi)={xi-?,xi-?+1,…xi,…,xi+?-1[,xi+?}]，寬k=2?+1。在這個(gè)鄰域中，用最小二乘估計(jì)擬合m+1階局部多項(xiàng)式估計(jì)出的回歸系數(shù)的跳躍點(diǎn)是很敏感的，可用來(lái)檢測(cè)f(m)的跳躍點(diǎn)。事實(shí)上，對(duì)于一個(gè)給定的xj，如果在鄰域N(xj)中沒有跳躍點(diǎn)且在N(xj)中存在時(shí)，那么應(yīng)該和很接近。反之，如果xj是f(m)的一個(gè)跳躍點(diǎn)，那么+1.…n- ?}會(huì)在有一個(gè)明顯的突變。所以我們可以用對(duì)跳點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)。

在房?jī)r(jià)走勢(shì)分析中，取m+1，故用最小二乘估計(jì)擬合的局部多項(xiàng)式為：

Qiu和Yandell[5]定義了如下用于跳點(diǎn)檢測(cè)的變量：

由Δ(i)的定義得

所以取ui=U1-a/2.σ(i),U1-a/2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1-a/2下分位數(shù)，即可保證是顯著性水平。

下面推導(dǎo)σ(i)的具體表達(dá)式。由于σ是未知的，所以我們用σ的估計(jì)值來(lái)代替，即：

當(dāng)xij等間距地分布在區(qū)間[0,1]中，可設(shè)…,n,如果有整數(shù)r1和r2使得：

則被標(biāo)記的跳躍點(diǎn){xij,j=r1,r1+1,…,r2}構(gòu)成一個(gè)帶，如果出現(xiàn)這種情況，Qiu[4]提出生成一個(gè)新的跳躍點(diǎn)代替這些點(diǎn)。為了避免該產(chǎn)生的跳躍點(diǎn)不在自變量的坐標(biāo)點(diǎn)上，也為了選出跳躍最顯著的點(diǎn)，則改為：

代替這些點(diǎn)，以上便是調(diào)整過(guò)程。由此確定最后的跳躍點(diǎn)為{sj,j=1,2,…,p}。

綜上所述，基于多項(xiàng)式估計(jì)的跳點(diǎn)檢測(cè)步驟如下：

（1）對(duì)于任一給定的點(diǎn)xi,?+1≤i≤n-?，在鄰域N(xi)中擬合局部多項(xiàng)式

（3）用ui=U1-a/2.σ(i)計(jì)算ui

（4）如果|Δ(ij)|＞uij，則把 {xij,j=1,2,…,n1}標(biāo)記為跳躍點(diǎn)

（5）用調(diào)整過(guò)程確定最終的跳躍點(diǎn){sj,j=1,2,…,p}

3 實(shí)證分析

為了更好地說(shuō)明跳回歸模型及其跳點(diǎn)檢測(cè)在房?jī)r(jià)走勢(shì)分析中的應(yīng)用，鑒于杭州市的房地產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)狀況以及杭州市政府所施行的房產(chǎn)政策在全國(guó)具有高度的代表性和典范性，筆者選擇了杭州市2008～2010年的二手房均價(jià)（周房?jī)r(jià)）走勢(shì)作為實(shí)際例子，房?jī)r(jià)走勢(shì)圖如圖1，本文的數(shù)據(jù)來(lái)源于房?jī)r(jià)網(wǎng)（http://www.fangjia.com/）杭州站，部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1。

表1 2008～2010年二手房均價(jià)表

圖1

圖2

運(yùn)用Matlab數(shù)學(xué)軟件，具體運(yùn)算時(shí)將房?jī)r(jià)數(shù)值縮小1000倍。由于用次數(shù)越高的多項(xiàng)式擬合同一曲線，誤差平方和越小，在此例中，用8次的多項(xiàng)式和9次的多項(xiàng)式做最小二乘估計(jì)得到的誤差平方和相同。故用擬合的8次多項(xiàng)式估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差σ。取?=4，顯著性水平a=0.05，可得到0.4048，U1-a/2=1.96。

對(duì)i=9,10,…,147,ui=1.8604×103，Δ(i)的趨勢(shì)圖如圖2，被標(biāo)記的跳躍點(diǎn)為{x96,x115,x116,x117,x120,x122,x136}

經(jīng)過(guò)調(diào)整過(guò)程，最終的跳躍點(diǎn)為{x96,x116,x121,x136}（在圖1中用實(shí)心點(diǎn)標(biāo)記），分別對(duì)應(yīng)日期：2009年11月8日，2010年3月28日，2010年5月2日，2010年8月15日，即房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率有突變的日期。

由以上的跳點(diǎn)檢測(cè)，并結(jié)合2008～2010年房地產(chǎn)市場(chǎng)在政策和市場(chǎng)層面的變動(dòng)，我們可對(duì)3年間的杭州市房?jī)r(jià)走勢(shì)作如下分析。

從2008開始，如何應(yīng)對(duì)金融危機(jī)帶來(lái)的挑戰(zhàn)成為政府的當(dāng)務(wù)之急，受益于寬松的貨幣信貸環(huán)境和房地產(chǎn)優(yōu)惠政策，杭州房地產(chǎn)市場(chǎng)逐漸從次貸危機(jī)的打擊中恢復(fù)過(guò)來(lái)，整體呈現(xiàn)繁榮的景象，市場(chǎng)回暖持續(xù)穩(wěn)定。2009年以來(lái)，房?jī)r(jià)居高不下，一直保持有蓄勢(shì)再發(fā)之勢(shì)。11月初，國(guó)土資源部印發(fā)了《限制用地項(xiàng)目目錄（2006年本增補(bǔ)本）》和《禁止用地項(xiàng)目目錄（2006年本增補(bǔ)本）》，其中針對(duì)商品住宅用地的宗地出讓面積首次給出明確的上限，業(yè)內(nèi)人士分析此舉是為了遏制09年以來(lái)“地王”頻出的現(xiàn)象，遏制房?jī)r(jià)增長(zhǎng)過(guò)快。再加之銀10月過(guò)后的11月，年終歲末，時(shí)值傳統(tǒng)的購(gòu)房淡季，房?jī)r(jià)會(huì)呈現(xiàn)驟減的姿態(tài)。而用跳回歸模型檢測(cè)到的2009年11月8日處的跳躍點(diǎn)（dj為負(fù)）正說(shuō)明了政策宏觀調(diào)控和市場(chǎng)自發(fā)調(diào)節(jié)的有效性。

2009年底，政府出臺(tái)一系列調(diào)控政策，遏制投機(jī)炒作和房?jī)r(jià)過(guò)快上漲。2010初這些政策的效果更加顯現(xiàn)，1—2月，樓市出現(xiàn)了交易量萎縮，房?jī)r(jià)上漲趨緩的趨勢(shì)。但進(jìn)入3月份，房地產(chǎn)市場(chǎng)發(fā)生變化，尤其是3月下旬，杭州的土地拍賣價(jià)格不斷刷新，樓市反彈（對(duì)應(yīng)于2010年3月28日的跳躍點(diǎn)），出現(xiàn)銷售火爆、房?jī)r(jià)快速上漲的現(xiàn)象。究其原因，是樓市在經(jīng)歷冰冷時(shí)期過(guò)后，在以投資為主導(dǎo)的市場(chǎng)刺激的結(jié)果。購(gòu)房者打破了之前的觀望態(tài)度，促使杭州樓市出現(xiàn)急速回暖。

為應(yīng)對(duì)4月份以后樓市更加火爆和房?jī)r(jià)攀升異?？焖俚膱?chǎng)面，4月份中下旬國(guó)家再次出臺(tái)了一系列嚴(yán)厲的政策。國(guó)務(wù)院在5天之內(nèi)連續(xù)出臺(tái)三大新政：4月15日國(guó)務(wù)院發(fā)文，購(gòu)買第二套住房的家庭首付款比例不低于50%、貸款利率不低于基準(zhǔn)利率1.1倍；4月17日，國(guó)務(wù)院對(duì)三套房貸提出具體要求：在商品住房?jī)r(jià)格過(guò)高、上漲過(guò)快、供應(yīng)緊張的地區(qū)，商業(yè)銀行可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)狀況，暫停發(fā)放購(gòu)買第三套及以上住房貸款；4月19日建設(shè)部發(fā)“53號(hào)令”：未取得預(yù)售證的商品房，不得進(jìn)行任何形式的預(yù)銷售，取得預(yù)售證的項(xiàng)目，要在10日內(nèi)—次性公開全部準(zhǔn)售房源及每套房屋價(jià)格，明碼標(biāo)價(jià)對(duì)外銷售。而2010年5月初的跳躍點(diǎn)（dj為負(fù)）便很好地體現(xiàn)了這一系列政策的調(diào)控效果。

此后的3個(gè)月時(shí)間里，房?jī)r(jià)走勢(shì)受新政影響持續(xù)下降，直到7月底8月初，樓市才初顯回溫，一是由于距4月的政策發(fā)布已滿百日，政策時(shí)效已不顯然；二是第3季度是購(gòu)房熱季，市場(chǎng)消費(fèi)本身較為火熱。7、8兩月中央無(wú)任何政策調(diào)控，所以房?jī)r(jià)在2010年8月15日的跳躍可解釋為市場(chǎng)調(diào)節(jié)的結(jié)果。此后，房?jī)r(jià)走勢(shì)的突變已逐漸不明顯，不再有其他跳點(diǎn)。

4 結(jié)論

盡管目前跳回歸模型和基于多項(xiàng)式估計(jì)的跳點(diǎn)檢測(cè)方法被應(yīng)用于實(shí)際建模的情況還較少，但從上述的分析足可見其在分析房?jī)r(jià)走勢(shì)問題的優(yōu)勢(shì)。首先，從經(jīng)濟(jì)意義上，通過(guò)跳點(diǎn)檢測(cè)，可以以跳點(diǎn)為界把時(shí)間軸分成幾段，分別討論每段的房?jī)r(jià)走勢(shì)變化，跳點(diǎn)處單獨(dú)分析其成因，意義清晰明確。其次，從檢測(cè)的準(zhǔn)確性上，基于多項(xiàng)式的跳點(diǎn)檢測(cè)方法誤差很小，從實(shí)例中，我們也可看出，檢測(cè)到的跳點(diǎn)與房產(chǎn)政策出臺(tái)后理論上預(yù)測(cè)的房?jī)r(jià)走勢(shì)跳變偏差很小，幾乎是在同樣的時(shí)刻。另外，這種方法在實(shí)際應(yīng)用中很具有操作性，不必求出房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率即一階導(dǎo)數(shù)值而只在房?jī)r(jià)原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上便可分析房?jī)r(jià)增長(zhǎng)的快慢變化，事實(shí)上，要找一種數(shù)學(xué)方法擬合出精確的導(dǎo)數(shù)值并保持其原本的間斷性并不容易。而從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)看，跳點(diǎn)的檢測(cè)問題最終轉(zhuǎn)化成為假設(shè)檢驗(yàn)問題，判斷跳變與否的準(zhǔn)則的嚴(yán)格性取決于分析者選取的顯著性水平，具有很大的靈活性。

[1]Qiu Peihua.Estimation of a Kind of Jump Regression Functions[J].Systems Science and Mathematical Sciences,1991,4(1).

[2]張亮,張建州.基于統(tǒng)計(jì)跳變回歸分析的肺部CT圖像分割[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(12).

[3]阮正旺,張建州,張亮.清除椒鹽噪聲的局部L1去噪保邊方法[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2010,15(6).

[4]Qiu Peihua.Image Processing and Jump Regression Analysis[M].New-jersey:John Wiley and Sons,2005.

[5]Qiu Peihua,Yandell B.A Local Polynomial Jump Detection Algo?rithm in Nonparametric Regression[J].Technometrics,1998,40(2).