陶為群

（中國人民銀行 南京分行,南京 210004）

0 引言

馬克思的社會(huì)擴(kuò)大再生產(chǎn)理論對(duì)我國的國民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行具有重大現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成,即生產(chǎn)資料與消費(fèi)資料部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成,是再生產(chǎn)實(shí)現(xiàn)過程中非常重要的參數(shù)?？茖W(xué)地獲取這些參數(shù)值，是將馬克思的再生產(chǎn)理論應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的前提條件。由于兩大部類是理論化分類而非現(xiàn)實(shí)統(tǒng)計(jì)，所以只能根據(jù)投入產(chǎn)出表推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成等參數(shù)。陶為群曾提指出，《投入產(chǎn)出分析》教材和工具書所介紹的推算產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的單一方法，可以歸結(jié)到UV表方法框架中，并且提出了在UV表框架下按產(chǎn)品工藝假定的另一種推算方法，用非線性規(guī)劃得出新方法的推算結(jié)果，但未能給出此新方法下價(jià)值構(gòu)成參數(shù)的顯性算式。陶為群、陶川（2010）給出了按此新方法的兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的極大似然估計(jì)顯性算式和實(shí)際算例。但是，他們?cè)谕扑氵^程中沒有考慮到馬克思社會(huì)再生產(chǎn)原理指出的兩部類間產(chǎn)品交換關(guān)系，因而所獲結(jié)果還有待加以改進(jìn)。

1 一種在UV表方法框架中推算兩大部類價(jià)值構(gòu)成的新方法和算式

UV表方法是編制投入產(chǎn)出表時(shí)普遍使用的一種間接推導(dǎo)法。設(shè)國民經(jīng)濟(jì)中有n個(gè)部門，每個(gè)部門都生產(chǎn)多種產(chǎn)品，它們共生產(chǎn)k種產(chǎn)品。在統(tǒng)計(jì)時(shí)，只能獲得每個(gè)部門對(duì)k種產(chǎn)品的消耗投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)，也就是獲得產(chǎn)品×部門表U表，和部門×產(chǎn)品表V表。要通過U表和V表推導(dǎo)出按部門或按產(chǎn)品的投入產(chǎn)出表，也就是部門×部門或產(chǎn)品×產(chǎn)品投入產(chǎn)出表。馬克思的再生產(chǎn)理論把具體的多種產(chǎn)品按基本用途分為生產(chǎn)資料和消費(fèi)資料兩類，即第Ⅰ、第Ⅱ部類，兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成類似于概括的兩類產(chǎn)品投入產(chǎn)出表。兩類產(chǎn)品都是由國民經(jīng)濟(jì)中n個(gè)生產(chǎn)部門所生產(chǎn)，也可以看做是由k種產(chǎn)品部門所生產(chǎn)。因而，可以通過統(tǒng)計(jì)獲得的n個(gè)生產(chǎn)部門或k種產(chǎn)品部門的價(jià)值構(gòu)成表，以及生產(chǎn)部門或產(chǎn)品部門的兩類產(chǎn)品產(chǎn)出數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成。更確切地說，是運(yùn)用價(jià)值構(gòu)成×生產(chǎn)部門表或價(jià)值構(gòu)成×產(chǎn)品部門表（U表），以及生產(chǎn)部門×兩類產(chǎn)品表或產(chǎn)品部門×兩類產(chǎn)品表（V表），按照某種假定條件，推導(dǎo)出價(jià)值構(gòu)成×兩類產(chǎn)品表。所以，推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，實(shí)質(zhì)上是將一般的UV表方法，運(yùn)用到馬克思的社會(huì)再生產(chǎn)理論的一些具體內(nèi)容，獲得具體的理論結(jié)果。

記國民經(jīng)濟(jì)中第j生產(chǎn)（或產(chǎn)品）部門的總產(chǎn)出（或總產(chǎn)品）是Uj（j=1，2，…,n或j=1，2，…,k）；uc j，uv j，um j分別是該部門生產(chǎn)中的生產(chǎn)資料消耗、工資支出、剩余價(jià)值，也就是該部門的價(jià)值構(gòu)成。pjΙ，pjΙΙ分別是該部門生產(chǎn)出的第Ⅰ、第Ⅱ部類產(chǎn)品。國民經(jīng)濟(jì)各部門生產(chǎn)出的第Ⅰ、第Ⅱ部類產(chǎn)品分別是XΙ，XΙΙ；Cl，Vl，Ml分別是第l部類（l=Ι,ΙΙ）的生產(chǎn)資料消耗、工資支出、剩余價(jià)值，也就是該部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成?，F(xiàn)在要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)獲得的國民經(jīng)濟(jì)各部門的價(jià)值構(gòu)成，以及它們的第Ⅰ、第Ⅱ部類產(chǎn)品產(chǎn)出數(shù)據(jù)，推算出兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成。由于馬克思的再生產(chǎn)模型中生產(chǎn)資料消耗包含了固定資產(chǎn)折舊消耗，因而推算時(shí)需要把j部門的固定資產(chǎn)折舊納入到uc j之中。

當(dāng)遵照產(chǎn)品工藝假定，運(yùn)用n個(gè)生產(chǎn)部門的價(jià)值構(gòu)成表，以及它們的兩類產(chǎn)品產(chǎn)出數(shù)據(jù)，推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，算式如下：

2 推算兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成應(yīng)當(dāng)遵從的兩部類產(chǎn)品交換約束條件

馬克思的再生產(chǎn)模型中設(shè)不變資本的周轉(zhuǎn)周期為1年，這相當(dāng)于把固定資產(chǎn)折舊計(jì)入到生產(chǎn)資料消耗里。對(duì)前面已經(jīng)確定了含義的字母前面加符號(hào)Δ表示增量。因?yàn)榈冖癫款惖目偖a(chǎn)品（CΙ+VΙ+MΙ）實(shí)物形態(tài)是生產(chǎn)資料，扣除補(bǔ)償本部類和第Ⅱ部類的生產(chǎn)資料消耗CΙ和CΙΙ，剩余的（VΙ+MΙ-CΙΙ）都必然用于本部類和第Ⅱ部類新增生產(chǎn)資料ΔCΙ和 ΔCΙΙ。因此就存在關(guān)系式：

馬克思在《資本論》中已經(jīng)指出，這種補(bǔ)償和新增使用，是經(jīng)過部類內(nèi)部以及兩個(gè)部類之間的產(chǎn)品交換（交易）完成。馬克思還特別指出：第Ⅰ部類的總產(chǎn)品當(dāng)中的工資支出和剩余價(jià)值中用于企業(yè)主消費(fèi)和新增工人工資部分，要轉(zhuǎn)化為消費(fèi)資料；第Ⅱ部類的總產(chǎn)品當(dāng)中的生產(chǎn)資料消耗和新增生產(chǎn)資料部分，要轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)資料；這兩個(gè)轉(zhuǎn)化通過相互等價(jià)交換實(shí)現(xiàn)。而（2）式所表達(dá)的，是與馬克思特別指出的兩個(gè)部類之間相互等價(jià)交換同樣的含義。

在核算統(tǒng)計(jì)上，投資是國內(nèi)生產(chǎn)總值當(dāng)中沒有被消費(fèi)掉的部分，由于馬克思的再生產(chǎn)模型中，固定資產(chǎn)折舊計(jì)入到生產(chǎn)資料消耗里，當(dāng)年新創(chuàng)造價(jià)值（VΙ+MΙ）+（VΙΙ+MΙΙ）對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)上的國內(nèi)生產(chǎn)凈值；新增生產(chǎn)資料ΔCΙ+ΔCΙΙ是凈投資，對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)上的資本形成凈額。而在推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成時(shí)，投入產(chǎn)出表當(dāng)中的資本形成凈額是一個(gè)已知數(shù)，用IN表示，由（2）式，就得出推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成時(shí)的一個(gè)約束條件：

根據(jù)投入產(chǎn)出表推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，應(yīng)當(dāng)滿足由于兩部類產(chǎn)品交換而產(chǎn)生的這個(gè)約束條件，理論上才符合馬克思的社會(huì)再生產(chǎn)原理。

3 兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的拉格朗日乘數(shù)法之解

下面遵照產(chǎn)品工藝假定，按照(1)式推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，并且滿足約束條件(3)式。按照(1)式推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，還應(yīng)該與統(tǒng)計(jì)到的社會(huì)總產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成一致，與統(tǒng)計(jì)到的第Ⅰ、第Ⅱ部類產(chǎn)品總量一致。即還滿足約束條件：

在產(chǎn)品工藝假定下推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成，就是對(duì)(1)、（3）和(4)式共同構(gòu)成的方程組，求解其中的6個(gè)價(jià)值構(gòu)成參數(shù)變量。方程組有3n個(gè)方程、5個(gè)約束條件，方程個(gè)數(shù)加上約束條件個(gè)數(shù)超過了待解變量數(shù)，因而只能有最小二乘解。所以，記（1）式各方程左右兩邊的離差平方和為Z。則：

應(yīng)當(dāng)在約束條件(3)和(4)式下使離差平方和Z取得最小值，就是一個(gè)解條件極值問題。運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)Q：

現(xiàn)在以矩陣形式表示，記

那么，約束條件（3）和（4）式在一起可以表示成矩陣關(guān)系式

將拉格朗日函數(shù)Q依次對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，依次得到6個(gè)方程，合在一起可以表示成矩陣關(guān)系式：

只要各部門產(chǎn)出矩陣P的兩列不成倍數(shù)關(guān)系，由上式就可以得出:

帶入（7）式得:

由此解出拉格朗日乘數(shù)列向量：

帶入（9）式，就獲得參數(shù)列向量β的計(jì)算值：

由于分塊對(duì)角矩陣的逆矩陣也是分塊對(duì)角矩陣，所以上式中的計(jì)算并不復(fù)雜。式中:

式（11）中的各個(gè)分量，就是在滿足兩部類產(chǎn)品交換約束條件下，推導(dǎo)出的顯性的兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的拉格朗日乘數(shù)法之解。對(duì)此，可以使用Excel工具方便地解出具體數(shù)值。

4 實(shí)際算例及結(jié)果分析

下面使用《全國投入產(chǎn)出表1981（試編）》中有關(guān)數(shù)據(jù),計(jì)算出兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的拉格朗日乘數(shù)法之解。選用該表數(shù)據(jù)的原因是,表中明確列出了各部門產(chǎn)出當(dāng)中的生產(chǎn)資料pjΙ和消費(fèi)資料pjΙΙ數(shù)據(jù)，能夠避免用不考慮進(jìn)出口的數(shù)據(jù)粗略確定pjΙ和pjΙΙ而導(dǎo)致的推算偏差。表1上部的數(shù)據(jù)，是該投入產(chǎn)出表中統(tǒng)計(jì)的國民經(jīng)濟(jì)各部門的投入價(jià)值構(gòu)成和產(chǎn)出生產(chǎn)資料與消費(fèi)資料數(shù)據(jù)；表1下部是用以上數(shù)據(jù)按照本文的拉格朗日乘數(shù)法之解，推算的兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成。其中，當(dāng)年最終產(chǎn)品合計(jì)是4351.66億元，消費(fèi)合計(jì)是2781.46億元，固定資產(chǎn)折舊合計(jì)是411.46億元，所以資本形成凈額即（3）式中的IN應(yīng)當(dāng)是最終產(chǎn)品減去消費(fèi)和固定資產(chǎn)折舊，為1158.8億元。經(jīng)驗(yàn)證，拉格朗日乘數(shù)法之解滿足約束條件(7)式。

表1 1981年全國各部門產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成與兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的拉格朗日乘數(shù)法之解

為了觀察兩個(gè)部類之間的產(chǎn)品交換約束條件對(duì)于推算結(jié)果的作用，現(xiàn)在對(duì)表1最后兩行的差別，做點(diǎn)簡要的比較分析。在部類間交換約束條件（3）式和約束條件（4）式下，生產(chǎn)資料的有機(jī)構(gòu)成是(CΙ/XΙ):(VΙ/XΙ)=3.3852:1；消費(fèi)資料的有機(jī)構(gòu)成是 (CΙΙ/XΙΙ):(VΙΙ/XΙΙ)=0.5762:0.2919=1.9740:1；生產(chǎn)資料的有機(jī)構(gòu)成顯著高于消費(fèi)資料,符合經(jīng)濟(jì)學(xué)原理和人們的一般感性認(rèn)識(shí)。這是因?yàn)樯a(chǎn)資料生產(chǎn)的資金與技術(shù)明顯比消費(fèi)資料生產(chǎn)密集。如果未遵從部類間交換約束條件，也就是丟掉部類間交換約束（3）式而僅使用約束條件（4）式，同樣應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，求解出的生產(chǎn)資料的有機(jī)構(gòu)成就變?yōu)?.5531:0.1747=3.17:1，而消費(fèi)資料的有機(jī)構(gòu)成就變?yōu)?0.5828:0.3002=1.94:1，生產(chǎn)資料與消費(fèi)資料的有機(jī)構(gòu)成差異性降低。這說明，馬克思社會(huì)再生產(chǎn)原理指出的兩部類間產(chǎn)品交換關(guān)系，對(duì)于推算兩大部類產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成在理論上是必要的，在數(shù)據(jù)結(jié)果上也確實(shí)有改進(jìn)作用。

[1]陶為群,陶川.兩大部類產(chǎn)品價(jià)值構(gòu)成的約束極大似然估計(jì)[J].西安財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010,(4).

[2]姚天行等.大學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2002.

[3]因特里格特等.經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型、技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:中國社會(huì)科學(xué)出版社,2004.