齊朝暉，王剛，張志剛

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)自發(fā)明以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)其做了大量系統(tǒng)、深入的研究。文獻(xiàn)[1]描述了不同類(lèi)型等速萬(wàn)向節(jié)的形式。文獻(xiàn)[2]研究了VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)的溝道在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的空間幾何關(guān)系。文獻(xiàn)[3]在靜態(tài)情況下做了VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)的接觸應(yīng)力分析。文獻(xiàn)[4]建立了固定端球籠式等速萬(wàn)向節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。文獻(xiàn)[5]利用ADAMS仿真軟件，建立了萬(wàn)向節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。文獻(xiàn)[6]利用ADAMS的接觸分析模塊，對(duì)萬(wàn)向節(jié)進(jìn)行了接觸力學(xué)分析。文獻(xiàn)[7]利用ADAMS仿真軟件建立了萬(wàn)向節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型，與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[8]利用CATIA和ADAMS仿真軟件平臺(tái)，對(duì)等速萬(wàn)向節(jié)進(jìn)行了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析。文獻(xiàn)[9]從幾何結(jié)構(gòu)上研究了軸向移動(dòng)式萬(wàn)向節(jié)的等速性原理。文獻(xiàn)[10-12]研究了萬(wàn)向節(jié)形成軸間角的原理以及溝道傾斜角對(duì)軸間角的影響。

文中運(yùn)用剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)理論，給出了萬(wàn)向節(jié)零件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和每個(gè)鋼球球心在溝道約束下的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程。利用所得結(jié)果，分析了星形套相對(duì)筒形殼軸向移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律以及每個(gè)鋼球球心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。最后，數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的正確性。

1 鋼球球心運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

如圖1所示，VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)由筒形殼、鋼球、保持架以及星形套組成，筒形殼和星形套上分別有6條交叉溝道，6個(gè)鋼球在交叉溝道內(nèi)運(yùn)動(dòng)。為了便于描述溝道，定義鋼球球心在溝道內(nèi)走過(guò)的軌跡為相應(yīng)的溝道曲率中心曲線(xiàn)。星形套在筒形殼內(nèi)既可沿軸向移動(dòng)也可小幅轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 VL型等速萬(wàn)向節(jié)及其連體坐標(biāo)系

圖2 VI型等速萬(wàn)向節(jié)全局坐標(biāo)系

(1)

筒形殼繞旋轉(zhuǎn)軸(輸出軸g3)轉(zhuǎn)過(guò)θ2角后，筒形殼上連體坐標(biāo)系的單位矢量可以用全局坐標(biāo)系單位矢量表示為

(2)

(3)

式中：ε為溝道曲率中心曲線(xiàn)傾斜參數(shù)；角標(biāo)i表示第i條溝道，i=1,…,6。

圖3 展開(kāi)后星形套上的溝道曲率中心曲線(xiàn)

同理，筒形殼第i條溝道曲率中心曲線(xiàn)展開(kāi)后也為一條斜線(xiàn)，該斜線(xiàn)與所在矩形面豎直線(xiàn)的夾角為

(4)

(5)

同理，位于筒形殼上第i條溝道內(nèi)的鋼球球心在全局坐標(biāo)系下的矢徑為

(6)

(7)

(8)

cos ?i=0，

(9)

由(7)～(8)式可得

(10)

同理，利用第i+1對(duì)內(nèi)、外溝道曲率中心曲線(xiàn)相交條件，則有

(11)

(12)

由此可得：星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心與幾何中心之間的距離與其到筒形殼幾何中心的距離相等。

從而由(8)式可得

(13)

只要(12)～(13)式成立，描述任意一對(duì)溝道曲率中心曲線(xiàn)相交條件的(7)～(8)式也自然滿(mǎn)足，說(shuō)明(12)～(13)式為VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)的共性。在此基礎(chǔ)上，(9)式可以簡(jiǎn)化為

(14)

(14)式描述了鋼球球心在溝道內(nèi)的具體位置，一般情況下其解是存在的，說(shuō)明鋼球球心在內(nèi)、外溝道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)是相交的。但是如果6個(gè)交點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，則星形套不能相對(duì)于筒形殼轉(zhuǎn)動(dòng)。

第i對(duì)內(nèi)、外溝道曲率中心曲線(xiàn)交點(diǎn)相對(duì)于星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矢徑為

(15)

筒形殼幾何中心到星形套幾何中心的矢徑為

(16)

二者的點(diǎn)乘為

(17)

將(14)式代入(17)式可得

ri·n=0。

(18)

由于(18)式對(duì)6對(duì)溝道皆成立，說(shuō)明每對(duì)溝道曲率中心曲線(xiàn)交點(diǎn)都位于一個(gè)過(guò)星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心O并以n為法線(xiàn)(O0Oi矢量方向)的平面內(nèi)，如圖2所示。

由于OO0=OOi，O0Oi中點(diǎn)C與O的連線(xiàn)也與n垂直，因而OC也在溝道曲率中心曲線(xiàn)交點(diǎn)所在平面內(nèi)，即鋼球球心分布面平分輸入、輸出軸之間的夾角。由于鋼球球心同時(shí)在2個(gè)半徑相同的圓柱面上，則鋼球球心必然在它們之間的橢圓交線(xiàn)上。

以上分析說(shuō)明，只要交叉溝道為滿(mǎn)足(3)～(4)式的螺旋溝道，輸入角與輸出角必然相等。值得說(shuō)明的是：實(shí)際中為便于加工，螺旋溝道常常由直溝道代替。但文中分析表明：只有當(dāng)軸向行程與筒形殼半徑相比較小時(shí)，這種近似才合理。

所有鋼球球心分布在一個(gè)以星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心為中心的橢圓上，該橢圓所在平面平分輸入、輸出軸夾角；鋼球球心沿內(nèi)、外溝道移動(dòng)量相等，方向相反。

如果分析鋼球球心的運(yùn)動(dòng)速度，需對(duì)(14)式求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，從而得到相應(yīng)的速度方程為

(19)

2 仿真系統(tǒng)

利用以上分析結(jié)果，自主開(kāi)發(fā)了VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)運(yùn)動(dòng)分析軟件。該軟件可對(duì)VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)各個(gè)零件進(jìn)行參數(shù)化建模，通過(guò)求解鋼球球心運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程，可以得到鋼球球心在空間的位置。該軟件可以動(dòng)畫(huà)顯示萬(wàn)向節(jié)各個(gè)零件及其組合的運(yùn)動(dòng)，使得設(shè)計(jì)人員可以詳細(xì)觀察鋼球與星形套、保持架以及筒形殼之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，檢查和分析各零件運(yùn)動(dòng)的相容性，尤其是鋼球與內(nèi)、外溝道的接觸。

圖4為通過(guò)參數(shù)化建模所得的筒形殼的三維數(shù)字化模型以及組裝后的萬(wàn)向節(jié)數(shù)字化模型。

圖4 參數(shù)化建模

圖5為鋼球相對(duì)于筒形殼和保持架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)仿真截圖。動(dòng)畫(huà)仿真可在同一窗口內(nèi)顯示萬(wàn)向節(jié)任意零件及其組合的運(yùn)動(dòng)。如果溝道設(shè)計(jì)和各零件尺寸不協(xié)調(diào)，這些問(wèn)題就會(huì)在動(dòng)畫(huà)顯示過(guò)程中被發(fā)現(xiàn)，通常表現(xiàn)為某個(gè)鋼球侵入或偏離溝道。

圖5 鋼球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫(huà)仿真

3 數(shù)值算例

選取鋼球直徑為20 mm的VL型伸縮式等速萬(wàn)向節(jié)進(jìn)行算例分析，由文獻(xiàn)[13]查得其主要參數(shù)，見(jiàn)表1。設(shè)輸入軸以1 rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，軸間角由0°經(jīng)過(guò)5 s勻速變化到15°后保持不變，在此期間星形套沿軸向勻速移動(dòng)15 mm，利用上述方法對(duì)萬(wàn)向節(jié)各零件運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，仿真時(shí)間為20 s。

所有鋼球都位于萬(wàn)向節(jié)的溝道中，從筒形殼軸向看，所有鋼球球心都位于一個(gè)圓弧上。在全局坐標(biāo)系下(圖2)，鋼球球心g1和g2方向位移始終呈周期性變化。但是由于軸間角和軸向位移，鋼球球心g3方向的位移是不規(guī)律變化的。選擇初始時(shí)刻球心位于g1軸正方向的鋼球?yàn)?號(hào)并逆時(shí)針編號(hào)，如圖2所示。為了清晰的比較又不至于曲線(xiàn)過(guò)多，選取了部分鋼球球心g3方向的位移曲線(xiàn)，如圖6所示。

表1 萬(wàn)向節(jié)主要尺寸參數(shù)

圖6 鋼球球心軸向位移

前5 s時(shí)間內(nèi)，由于軸間角和軸向位移都是由0逐漸增大的，所以鋼球球心g3方向位移是非穩(wěn)定的。當(dāng)軸間角穩(wěn)定且無(wú)軸向移動(dòng)后，鋼球球心沿軸向的位移開(kāi)始呈周期性變化，且均值即為最大軸向移動(dòng)量的一半(7.5 mm)。這也驗(yàn)證了所有鋼球球心的轉(zhuǎn)動(dòng)中心是星形套幾何中心和筒形殼幾何中心連線(xiàn)的中點(diǎn)，可為筒形殼和星形套軸向尺寸的設(shè)計(jì)提供參考。

圖7為各鋼球球心在溝道中的弧線(xiàn)位移，由圖可見(jiàn)：鋼球球心相對(duì)內(nèi)、外溝道的位移大小相等，方向相反。前5 s內(nèi)，由于軸間角和軸向位移都是變化的，鋼球在溝道內(nèi)的弧線(xiàn)位移呈非周期性變化；當(dāng)軸間角穩(wěn)定且無(wú)軸向移動(dòng)后，鋼球球心相對(duì)內(nèi)、外溝道的位移均呈周期性變化。

圖7 鋼球球心相對(duì)內(nèi)、外溝道位移

萬(wàn)向節(jié)的溝道長(zhǎng)度應(yīng)保證鋼球始終在溝道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)筒形殼和星形套的寬度也要與之協(xié)調(diào)。因此，設(shè)計(jì)溝道時(shí)應(yīng)保證鋼球沿溝道的最大位移小于溝道的長(zhǎng)度。觀察圖7中各曲線(xiàn)的峰值就可以得到這些參數(shù)。

保持架的6個(gè)窗孔中心位于保持架中分面內(nèi)的一個(gè)圓上。當(dāng)星形套相對(duì)筒形殼沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)和軸向移動(dòng)時(shí)，它們分別與6個(gè)鋼球球心重合。由于鋼球的直徑與保持架窗孔的寬度相同，所以，星形套在筒形殼內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，保持架中分面始終與鋼球球心分布面重合。

圖8為不同時(shí)刻6個(gè)鋼球球心的空間位置，由圖可見(jiàn)：6個(gè)鋼球的球心始終在同一平面內(nèi)，該平面與g1g3平面的夾角為萬(wàn)向節(jié)軸間角γ的一半，鋼球球心軌跡為該平面與筒形殼溝道曲率中心曲線(xiàn)所在圓柱面的交線(xiàn)。所以，軸間角為0時(shí)(t=0)，球心軌跡為一圓??；在軸間角不為0時(shí)(t=3,7 s)，鋼球球心的軌跡為一橢圓。該平面與g3軸的交點(diǎn)即為鋼球球心軌跡的中心。

圖8 鋼球球心軌跡

由于軸間角不為0時(shí)，鋼球球心分布在一個(gè)橢圓上，因而鋼球球心相對(duì)保持架窗孔存在徑向和周向擺動(dòng)，如圖9所示。為避免鋼球脫離保持架，徑向擺動(dòng)位移 Δri不能過(guò)大；為避免保持架窗孔與鋼球之間頻繁的摩擦產(chǎn)生接觸磨損，周向位移Δli的最大值應(yīng)小于保持架窗孔長(zhǎng)度。

選取部分鋼球球心的Δri，Δli進(jìn)行分析。圖10為鋼球球心相對(duì)保持架窗孔中心的徑向位移Δri。

圖9 鋼球球心相對(duì)保持架窗孔中心的位移

圖10 鋼球球心相對(duì)保持架窗孔中心的徑向位移

在有軸向移動(dòng)和軸間角變化的前5 s內(nèi)，徑向位移Δri是非周期變化的；當(dāng)軸間角和軸向位移穩(wěn)定后才呈周期性變化，且周期與輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期相同，徑向最大位移值為0.30～0.35 mm。設(shè)計(jì)保持架厚度時(shí)，應(yīng)參考這組數(shù)據(jù)。

圖11是鋼球球心相對(duì)保持架窗孔中心的周向位移Δli，由圖可見(jiàn)：在有軸向移動(dòng)和軸間角變化的前5 s內(nèi)，鋼球球心周向位移是非周期變化的；當(dāng)軸間角和軸向位移穩(wěn)定后也呈周期性變化，其變化周期與輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)周期相同。周向最大位移值為3.0～3.5 mm，其與徑向位移相比幅值較大，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩個(gè)相鄰鋼球表現(xiàn)為時(shí)而靠近時(shí)而遠(yuǎn)離，應(yīng)該保證鋼球發(fā)生的最大周向位移小于保持架窗孔的長(zhǎng)度。

圖11 鋼球球心相對(duì)保持架窗孔中心的周向位移

圖12為星形套相對(duì)筒形殼產(chǎn)生不同軸向位移時(shí)對(duì)應(yīng)的1號(hào)鋼球球心相對(duì)于其所在保持架窗孔中心的周向位移。不同軸向位移下，軸間角均由0經(jīng)過(guò)5 s勻速變化到15°后保持不變。

圖12 1號(hào)鋼球相對(duì)保持架窗孔中心的周向位移

從圖12中可見(jiàn)：星形套的軸向位移越大，鋼球球心相對(duì)于其所在保持架窗孔中心的周向位移也越大。因此，必須保證萬(wàn)向節(jié)發(fā)生最大軸向位移時(shí)鋼球的周向位移小于保持架窗孔長(zhǎng)度。由于周向位移較大，保持架窗孔的寬度應(yīng)略大于鋼球直徑，這樣鋼球在相對(duì)保持架窗孔運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不至于接觸過(guò)緊而使摩擦力過(guò)大。

4 結(jié)論

(1) 鋼球所在溝道曲率中心曲線(xiàn)為半徑相同的圓柱面上的螺旋線(xiàn)；內(nèi)、外溝道曲率中心曲線(xiàn)傾斜角大小相等，方向相反；內(nèi)、外溝道中，相鄰溝道曲率中心曲線(xiàn)傾斜角大小相等，方向相反。

(2) 星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心與星形套幾何中心之間的距離與其到筒形殼幾何中心的距離相等，星形套的轉(zhuǎn)動(dòng)中心并不是筒形殼的幾何中心。鋼球球心始終分布在以星形套轉(zhuǎn)動(dòng)中心為中心的橢圓上，橢圓所在平面平分輸入、輸出軸夾角。

(3) 鋼球球心沿星形套和筒形殼溝道的相對(duì)位移大小相等，方向相反，并以輸入軸的轉(zhuǎn)動(dòng)周期變化。溝道長(zhǎng)度需保證鋼球球心產(chǎn)生最大位移時(shí)仍位于溝道內(nèi)。

(4) 星形套的軸向位移越大，鋼球球心沿保持架窗孔中心的周向位移也越大。因而保持架窗孔長(zhǎng)度必須與萬(wàn)向節(jié)最大軸向位移相匹配，由于窗孔長(zhǎng)度不能無(wú)限增大，所以最大軸向位移又受保持架窗孔長(zhǎng)度的限制。