亓愛國(guó)，蘇 彬

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第四十七研究所，沈陽(yáng) 110032)

1 引言

微機(jī)械陀螺儀是利用MEMS(Micro Electro－mechanical System，即微電子機(jī)械系統(tǒng))技術(shù)制造的新型陀螺儀。它與傳統(tǒng)的機(jī)械陀螺儀、激光陀螺儀等相比較具有體積小、重量輕、成本低、可靠性高、抗振動(dòng)沖擊能力強(qiáng)以及易于大批量生產(chǎn)等特點(diǎn)。因此大大拓展了陀螺儀的應(yīng)用范圍，在戰(zhàn)術(shù)武器系統(tǒng)，姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)，機(jī)器人，汽車等方面獲得了廣泛應(yīng)用。關(guān)于微機(jī)械陀螺的相關(guān)文獻(xiàn)很多，但大多數(shù)資料都集中于器件性能和加工工藝的介紹。本文從應(yīng)用的角度利用時(shí)間序列分析方法對(duì)Silicon Sensing System 公司的CRS 03－04 振動(dòng)環(huán)式微機(jī)械陀螺零點(diǎn)隨機(jī)漂移進(jìn)行建模分析，給出該型陀螺的ARMA 模型，并利用該模型設(shè)計(jì)了Kalman 濾波器。仿真結(jié)果表明此方法能夠有效抑制微機(jī)械陀螺零點(diǎn)隨機(jī)漂移。

2 ARMA 模型介紹及其建模步驟

2.1 ARMA 模型簡(jiǎn)介

對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)、零均值的時(shí)間序列(xt)，t=1，2，…，N，一定能對(duì)它擬合一個(gè)如下形式的隨機(jī)差分方程:

式中xt是時(shí)間序列{xt}在時(shí)刻t的元素，φi(i=1，2，…，n)稱為自回歸參數(shù)，θj(j=1，2，…，m)稱為滑動(dòng)平均參數(shù)，αt稱為殘差，{αt}應(yīng)為白噪聲。(1)式左邊n 階差分多項(xiàng)式稱為n 階自回歸部分，右邊m 階差分多項(xiàng)式稱為m 階滑動(dòng)平均。(1)式稱為n 階自回歸m 階滑動(dòng)平均模型，記為ARMA(n，m)。若θj=0(j=1，2，…，m)，則有:

上式稱為n 階自回歸模型AR(n)。

若φi=0(i=1，2，…，n)，則有:

上式稱為m 階滑動(dòng)平均模型MA(m)。

2.2 ARMA 模型建模步驟

ARMA 模型的建模，就是對(duì)觀測(cè)所得的時(shí)間序列xt(t=1，2，…，N)擬合出適用的ARMA(n，m)模型。它主要包含以下幾步工作:

(1)數(shù)據(jù)采集:是對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行離散采樣。主要包括確定合適的采樣頻率fs和樣本長(zhǎng)度，以便獲得正確包含連續(xù)信號(hào)信息的時(shí)間序列{xt}。

(2)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)和預(yù)處理:對(duì)采集得到的時(shí)間序列{xt}進(jìn)行平穩(wěn)性判別，去掉均值，趨勢(shì)項(xiàng)和隱周期使其成為零均值，平穩(wěn)，正態(tài)時(shí)序。

(3)模型形式的選取、模型參數(shù)φi，θj的估計(jì):選定模型階數(shù)和參數(shù)估計(jì)方法，估計(jì)出(1)式中的各個(gè)參數(shù)。

(4)模型實(shí)用性檢驗(yàn):選擇一種適用性檢驗(yàn)準(zhǔn)則對(duì)模型的有效性進(jìn)行檢驗(yàn)。

ARMA 模型建模的更詳細(xì)介紹，詳見文獻(xiàn)［1］。

3 微機(jī)械陀螺的ARMA 模型建模

3.1 數(shù)據(jù)采集

將微機(jī)械陀螺水平放置通電1 分鐘后，進(jìn)行試驗(yàn)。采樣時(shí)間為1S，共采集10000S 數(shù)據(jù)。陀螺漂移的原始數(shù)據(jù)如圖1 所示。

圖1 陀螺漂移原始信號(hào)

3.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)和預(yù)處理

數(shù)據(jù)檢驗(yàn)就是要判斷實(shí)際采樣所得數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性、正態(tài)性、零均值性。預(yù)處理是對(duì)檢驗(yàn)后的時(shí)序進(jìn)行相應(yīng)的處理以得到滿足上述3 條要求的時(shí)序。由于一般的工程問題都具有正態(tài)分布的特性，為簡(jiǎn)單起見本文省去了正態(tài)性檢驗(yàn)。圖2是去掉均值的漂移信號(hào)。本文趨勢(shì)檢驗(yàn)采用逆序檢驗(yàn)法［1］，取顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)結(jié)果表明漂移存在趨勢(shì)項(xiàng)，采用多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)項(xiàng)，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中剔除趨勢(shì)項(xiàng)后的漂移信號(hào)如圖3 所示。檢測(cè)數(shù)據(jù)在零均值化和去掉趨勢(shì)項(xiàng)后還要進(jìn)行隱周期分析，以得到建模所要求的平穩(wěn)時(shí)間序列。本文隱周期分析采用FISHER 檢驗(yàn)方法。關(guān)于該方法的詳細(xì)介紹參見文獻(xiàn)［2］。圖4是去除隱含周期后的陀螺漂移信號(hào)。

圖2 去掉均值的漂移信號(hào)

圖3 剔除趨勢(shì)項(xiàng)的漂移信號(hào)

3.3 ARMA 建模及檢驗(yàn)

本文采用Pandit－ Wu 法［1］建立ARMA 模型。這種方法是建立ARMA(2n，2n－1)模型，從n=1開始，首先擬合ARMA(2，1)模型，用最小二乘法估計(jì)參數(shù)值，用F 檢驗(yàn)和AIC 準(zhǔn)則作為判定合適階次的依據(jù)。并由低階向高階遞推，直至確定出適用的ARMA(2n，2n－1)模型。然后，再回過頭來降低自回歸部分的階次或滑動(dòng)平均部分的階次進(jìn)行搜索，以得到階次最低(參數(shù)最少)的適用模型ARMA(n，m)。采用此法對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)建立的模型為:

圖4 去除隱含周期的陀螺漂移信號(hào)

4 Kalman 濾波器設(shè)計(jì)

4.1 Kalman 濾波原理

設(shè)某系統(tǒng)的n 維狀態(tài)方程和m 維觀測(cè)方程為:

Wk，Vk的統(tǒng)計(jì)特性是:

初始狀態(tài)X0的統(tǒng)計(jì)特性是:

則有如下遞推公式:)

根據(jù)遞推公式(6)，給定初值P0就可循環(huán)遞推，進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)。

4.2 基于ARMA 模型的Kalman 濾波器設(shè)計(jì)

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立的ARMA 模型(4)取狀態(tài)Xk=［xk，xk－1］T，Wk=［αk，αk－1］T，則有:

根據(jù)遞推公式組(6)便可進(jìn)行實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)。將另外一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作為所設(shè)計(jì)的Kalman 濾波器的輸入，經(jīng)仿真，得到濾波器的輸入/輸出曲線如圖5 所示。圖中，淺色線為濾波器的輸出曲線。由圖中可見濾波器具有良好的濾波效果。

圖5 濾波器輸入/輸出曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

由本文的分析可以看出，振動(dòng)環(huán)式微機(jī)械陀螺的零點(diǎn)漂移可以用ARMA(2，1)模型擬合，基于ARMA(2，1)模型的卡爾曼濾波器可以有效的濾除隨機(jī)噪聲。

［1］楊叔子，吳雅.時(shí)間序列分析的工程應(yīng)用(第二版)［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，2007.

［2］施仁杰，盧科學(xué).時(shí)間序列分析引論［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，1988.