王金聚

（浙江省溫州中學，浙江 溫州 325000）

圖像具有直觀、形象、簡明的特點，它能直觀地描述物理過程、形象地表達物理規(guī)律、簡潔地闡明各量之間的相互關系，是分析、研究問題常用的方法之一.運動學中的v－t、x－t圖像、電學中的U－I、i－t、u－t圖像、磁學中的B－t、Φ－t圖像、熱學中的P－V、V－T、P－T 圖像等，都是我們在平時解題中經(jīng)常使用的圖像，但也有一些圖像雖不太常用，但用起來卻往往能“手到病除”、立竿見影，起到計算法所不能及的效果.現(xiàn)舉例如下：

1 v－t圖像，即速率時間圖像

對追及、相遇問題，有時涉及多個物體、多次相遇，物理過程多、情景復雜，難以在頭腦中建構清晰的運動圖景.這時候，恰當?shù)乩脠D像，就能直觀地展示復雜物理情景，建構清晰的運動過程，幫助我們找到解題的切入點.

例1.每顆子彈從槍口射出的速度大小都是30m／s，某人每隔1s豎直向上開一槍，假定子彈在升降過程中都不相碰，不計空氣阻力，試求：

（1）空中最多能有幾顆子彈？

（2）設t＝0時將第一顆子彈射出，在什么時刻它和后面的子彈在空中相遇？

（3）每顆子彈分別能與幾顆子彈在空中相遇？

圖1

解析：以v表示速率，設子彈射出后經(jīng)t秒鐘到達最高點，由v0＝gt可得t＝3s，作出子彈在空中運動的速率－時間圖像，如圖1所示，圖中圖線① 、② 、③ …分別表示第1顆、第2顆、第3顆…子彈的速率－時間圖像.顯然，任意兩條圖像的交點都表示兩子彈速率相同且一升一降時的情況，交點的橫坐標表示相遇的時刻，交點的縱坐標表示相遇時的速率大小.

由圖可知，當?shù)?顆子彈即將射出時，第1顆子彈即將落地，所以說空中最多有6顆子彈.由于升、降圖線的斜率大小都表示重力加速度g，所以升、降圖線具有左右對稱性，由圖像可以直觀地看出第一顆子彈與其他子彈相遇時所對應的是圖中的A1、A2、A3、A4、A5點，相遇的時刻分別是t＝3.5s，4s，4.5s，5s，5.5s.

由于圖線的交點都對應相遇點，顯而易見，只要數(shù)一下每顆子彈的速率－時間圖線與其他子彈的圖線有幾個交點，就可以得出它與幾顆子彈在空中相遇.由圖像容易數(shù)出：第1顆會相遇5顆、第2顆相遇6顆、第3顆相遇7顆、第4顆相遇8顆、第5顆會相遇9顆，從第6顆開始射出的子彈都會相遇10顆.

第（2）（3）問屬于多顆子彈的相遇問題，不難想象，若采用公式計算，將會比較復雜.若采用我們慣常使用的速度－時間圖像，則各子彈的圖線也不會相交，不能用交點來形象地刻畫相遇點.但巧妙地選用速率－時間圖像，相遇點的情況在圖像中一目了然，相遇的時刻及速度大小都能在坐標系中直接讀出，方法巧妙，效果明顯.

2 Ep－h(huán)、Ek－h(huán) 圖像

某些能量會隨距離呈線性變化，譬如重力勢能、電勢能、摩擦產(chǎn)生的內能等，都與距離有關.在涉及到有關能量隨距離變化的問題時，我們可以巧用圖像展示能量隨距離變化的動態(tài)過程，往往從圖像上就能一目了然、直觀地得到結果，大大縮短了分析與推理的過程.

例2.在地面上以初速度v0豎直上拋一個足球，空氣阻力不能忽略.足球在空中能上升的最大高度為hm，足球在上升過程距拋出點距離為h1處，足球的動能和重力勢能相等，下落過程中距拋出點距離為h2處，足球的動能和重力勢能相等，則列說法中正確的是

解析：本題涉及物體上升、下落兩運動過程，兩過程物體的動能、重力勢能均隨h變化而變化，屬動態(tài)變化問題，較為復雜.拋出點所在的平面作為重力勢能零勢能面，以f表示空氣阻力，h表示足球距拋出點的高度.在上升階段，根據(jù)動能定理可得即

圖2

在下落階段，根據(jù)動能定理可得mg（hm－h(huán)）－f（hm－h(huán)）＝即

重力勢能隨h變化的關系式為

定性畫出（1）（2）（3）式所對應的 Ep－h(huán)、Ek－h(huán) 圖像，并在畫圖時注意：在上升階段Ek＋Ep隨h的增加而減小，在下降階段Ek＋Ep隨h的減小而減小，就可以分別畫出如圖2所示的圖像.用圖像可清晰展現(xiàn)動能、勢能隨h的動態(tài)變化過程，兩圖像交點表示兩種能量相等的情景.則由圖像不難直觀地看出上升過程在處兩種能量相等，下落過程在處兩種能量相等.正確選項為（A）.

在閉合電路中，各量之間滿足的關系是閉合電路的歐姆定律.對定律E＝U＋Ir作一下數(shù)學形式的變換，會衍生出多種表達形式，如等.這些表達式在近幾年的高考試卷中屢有出現(xiàn)，尤其是在電學實驗的考查中.如2009年北京理綜卷第21題考查了圖像，2009年廣東卷第16題考查了圖像（L系電阻絲的長度），2010年上海卷的第29題考查了圖像，2010年江蘇卷的第10題考查了圖像，2011年江蘇卷第11題考查了U－R圖像，2011年山東理綜卷第23題則考查了更為常見的U－I圖像等.

例3.（2010年上海卷第29題）某同學利用DIS、定值電阻R0、電阻箱R1等實驗器材測量電池a的電動勢和內阻，實驗裝置如圖3所示.實驗時多次改變電阻箱的阻值，記錄外電路的總電阻阻值R，用電壓傳感器測得端電壓U，并在計算機上顯示出如圖4所示的關系圖線a.重復上述實驗方法測量電池b的電動勢和內阻，得到圖4中的圖線b.

圖3

（1）由圖線a可知電池a的電動勢Ea＝________V，內阻ra＝________Ω.

（2）若用同一個電阻R先后與電池a及電池b連接，則兩電池的輸出功率Pa_______________Pb（填“大于”、“等于”或“小于”）.兩電池的效率ηa_______________ηb（填“大于”、“等于”或“小于”）.

圖4

有些物體的運動較為復雜，不是我們所熟悉的運動模型，無法用勻變速運動的規(guī)律來求解，其v－t圖像也不呈直線.此時要解決問題，往往需要我們對兩坐標軸所代表的量作靈活變動，目的是能把描述物體運動的圖像“化曲為直”——變成直線，使直線的斜率、與坐標軸所圍的面積等對應某些所求的物理量，用圖像法實現(xiàn)突破.

例4.一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當老鼠到達距老鼠洞中心距離s1＝1m的A點時，速度大小為v1＝20cm／s，求（1）當老鼠到達距老鼠洞中心s2＝2m的B點時，其速度大小v2；（2）老鼠從A點到達B點所用的時間t.

圖5

解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速度與通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公式直接求解，但可以通過圖像法求解.在圖像中，所圍面積即為所求的時間.以距離s為橫軸為縱軸建立直角坐標系，則s與成正比，作圖像如圖5所示，由圖可得s＝2m時，老鼠的速度為10cm／s.在1m到2m之間圖像與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從A到B爬行的時間為

5.F－l圖像

胡克定律的F－x圖像為一條直線，其中x是彈簧的形變量，若把彈簧的原長記為l0，形變后的總長度為l，則x＝l－l0，我們還可以畫出F－l圖像，你習慣用F－l圖像來解題嗎？

例5.有一半徑為3L且可以繞豎直軸轉動的圓盤，盤內沿直徑方向開有一條凹槽，凹槽內有一根勁度系數(shù)為k、原長為L的彈簧，彈簧的一端固定在圓盤中心，另一端系有質量為m的小球，今將彈簧拉長至d（L＜d＜3L）后，使小球與圓盤一起以角速度ω做勻角速轉動，已知小球與槽底的靜摩擦因數(shù)為μ，槽側面光滑，μ與k 的關系為：5μmg＝3kL，若小球被拉至位置d，不管d在L＜d＜3L范圍內取何值，小球對圓盤均能保持相對靜止狀態(tài)，求ω的取值.

圖6

解析：小球隨圓盤一起以角速度ω做勻速圓周運動的所需向心力為

圖7

小球做圓周運動的向心力要由彈簧彈力與摩擦力的合力來提供.

顯然，F(xiàn)合為一定范圍，只要小球在l0～3l0范圍內所需的向心力F需不超出F合的范圍，小球就能與圓盤保持相對靜止.下面我們用圖解法來解決該題.

在同一坐標系中分別作出F需－l及F合－l圖像，如圖7所示，圖中過l0的直線①表示F＝k（l－l0）.由于F合＝k（l所以我們再在直線①的兩側作出與①平行且豎直相距皆為的兩條直線，如圖7所示，則圖中陰影區(qū)即為F合的范圍.

小球圓周運動所需向心力F需＝mω2l.當ω為某一定值而l為變量時，在F合－l坐標系中F需＝mω2l圖像應為過原點的直線.選定不同的角速度ω就可以畫出斜率不同的直線，其斜率隨ω的增大而增大.為滿足題目要求，即向心力F需不超出F合的范圍，也就是說F需－l直線在l0＜l＜3l0時都應位于圖7中的陰影內.由圖示可知，滿足上述關系的直線應在圖中直線②和③之間.

直線②對應的是角速度的最小值，令其為ω1，則

直線③對應的是角速度的最大值ω2，令其為ω2，則

本題的物理情景頗為復雜，用常規(guī)方法將很繁雜.圖像法使問題變得非常直觀，通過直線② 和③ 與陰影區(qū)域的交點B和A很容易求出ω1和ω2，使我們有醍醐灌頂、恍然大悟之感.

6 a－t圖像

若物理量A、B、C滿足關系A＝B·C，我們可以建立平面直角坐標系，以縱坐標表示B，橫坐標表示C，描繪出B、C的關系圖像，則圖線與橫坐標軸所圍的面積就可以表示物理量A.

例6.如圖8所示，一個質量為m、帶電荷量為＋q的物體處于場強按E＝kt規(guī)律（k為大于零的常數(shù)，取水平向左為正方向）變化的勻強電場中，物體與絕緣豎直墻壁間的動摩擦因數(shù)為μ，當t＝0時，物體由靜止釋放.若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且電場空間和墻面均足夠大，求：

圖8

（1）物體經(jīng)過多長時間運動速度達到最大；

（2）最大速度是多少？

解析：在開始階段，分析物體的受力可得mg－μqkt＝ma，隨著時間的延續(xù)，物體的加速度越來越小，當a＝0時，物體的速度達到最大，此后做減速運動直至停止.所以在速度最大時有mg－μqkt＝0，即經(jīng)過時間物體在豎直墻壁上的速度達到最大值.

圖9

該題利用圖像展示了復雜的動態(tài)過程，雖然不是我們所熟悉的勻變速運動，但可以根據(jù)圖線與坐標軸所圍面積的物理意義，簡捷明快地得出了結果.簡潔明了，令人耳目一新.

由此看來，圖像往往都蘊含著豐富的信息，如圖線的截距、斜率、拐點、圖線所圍面積、兩圖線交點等，往往都有各自的物理意義.巧借圖像用之于解題，常常能化難為易、化繁為簡，特別是有些運用解析法無能為力的問題，我們卻常能從圖像上觸發(fā)靈感，另辟蹊徑，使問題變得迎刃而解，具有難以替代的作用.運用圖像解題也是高考重點考查的能力之一.作為教師，在課堂教學中嘗試著滲透圖像法，把解析法與圖像法有機結合起來，有意識地引導學生進行圖像法解題的思維與訓練，是培養(yǎng)學生掌握圖像法解題的關鍵所在.