許效鋒

（南開(kāi)大學(xué)附屬中學(xué)，天津 300192）

自行車(chē)在路面行駛時(shí)，前后輪都向前轉(zhuǎn)動(dòng)，因此一般會(huì)認(rèn)為前后輪相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)方向都向前，則它們受到的摩擦力方向都向后，如圖1所示.也有人認(rèn)為，后輪是主動(dòng)輪，則所受的摩擦力方向向前；前輪是被動(dòng)輪，則所受的摩擦力方向向后.

這些結(jié)論存在錯(cuò)誤或者以偏概全，都沒(méi)有考慮到輪子滾動(dòng)時(shí)摩擦的多樣性.若只分析該問(wèn)題的主要方面，滾動(dòng)物體受滑動(dòng)摩擦力和靜摩擦力；若還分析它和地面的明顯形變，滾動(dòng)物體還受滾動(dòng)摩擦.下面擬分情況進(jìn)行探究.

圖1

1 探究地面對(duì)車(chē)輪的靜、滑動(dòng)摩擦力方向

輪子在地面上的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，是隨軸心點(diǎn)O的平動(dòng)和繞軸心點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，如圖2所示.設(shè)車(chē)輪軸心點(diǎn)O的平動(dòng)速度為v，則輪子在Δt時(shí)間內(nèi)將向前平移vΔt；同時(shí)輪子還以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，則在Δt時(shí)間內(nèi)輪子的最低點(diǎn)將向后移動(dòng)ωRΔt（注意：這里的Δt為很短時(shí)間，R為輪子半徑），那么輪子的平面觸點(diǎn)A相對(duì)地面滑動(dòng)距離Δx為

圖2

下面根據(jù)（1）式來(lái)討論：

（Ⅰ）若v＞ωR，即平動(dòng)大于轉(zhuǎn)動(dòng)，則Δx＞0，表示觸地點(diǎn)相對(duì)地面向前運(yùn)動(dòng)，所以輪子所受的摩擦力向后，與v方向相反，如圖3（a）所示.

（Ⅱ）若v＜ωR，即平動(dòng)小于轉(zhuǎn)動(dòng)，則Δx＜0，表示觸地點(diǎn)相對(duì)地面向后運(yùn)動(dòng)，所以輪子所受的摩擦力向前，與v方向相同，如圖3（b）所示.

（Ⅲ）若v＝ωR，即平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)抵消，則Δx＝0，表示觸地點(diǎn)相對(duì)地面沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，所以輪子不受地面的摩擦，f＝0，這種情況，稱(chēng)之為純滾動(dòng)，如圖3（c）所示.

現(xiàn)在，來(lái)探究地面對(duì)自行車(chē)前后輪的摩擦力方向，就很有條理了.根據(jù)實(shí)際情況，可將自行車(chē)行駛分為3種狀態(tài)：加速、勻速、減速.特別需要注意一點(diǎn)，因?yàn)樽孕熊?chē)為一個(gè)整體（即剛體），則前后輪的平動(dòng)速度每時(shí)每刻都一樣大，即v1＝v2.

圖3

（1）加速過(guò)程.所謂加速，指的是用力蹬自行車(chē)的腳踏板，使自行車(chē)后輪的角速度ω2增大，繼而推動(dòng)前后輪的平動(dòng)速度v都增大.

如圖4所示，要使車(chē)加速，首先增大的是后輪的ω2，則此時(shí)有ω2R＞v2的趨勢(shì)（注意：加速瞬間時(shí)，v2還來(lái)不及立即增加），即有轉(zhuǎn)動(dòng)大于平動(dòng)的趨勢(shì)，則后輪觸地點(diǎn)有相對(duì)地面向后運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，因此后輪所受摩擦力f2向前，它將使轉(zhuǎn)動(dòng)ω2減速，使平動(dòng)v2加速，故v2也隨之在短時(shí)間里增大.由于自行車(chē)是一個(gè)整體，有v1＝v2，則前輪v1也增大，故前輪就有v1＞ω1R的趨勢(shì)（注意：此時(shí)ω1還來(lái)不及立即增加），即有轉(zhuǎn)動(dòng)小于平動(dòng)的趨勢(shì)，所以其所受的摩擦力f1方向向后，它將使轉(zhuǎn)動(dòng)ω1加速，使平動(dòng)v1減速.

要想不斷加速，則需要不斷地用力蹬腳踏板，使后輪轉(zhuǎn)動(dòng)ω2不斷加速，這樣才能維持自行車(chē)加速前行.注意到此時(shí)f2遠(yuǎn)大于f1，所以車(chē)子整體是向前加速的.

該過(guò)程可簡(jiǎn)述如下：用力蹬腳踏板→ω2↑→ω2R↑→ω2R＞v2→后輪轉(zhuǎn)動(dòng)大于平動(dòng)→后輪摩擦力f2向前→v2↑→因?yàn)関1＝v2，所以v1↑→v1＞ω1R→前輪轉(zhuǎn)動(dòng)小于平動(dòng)→前輪摩擦力f1向后→ω1↑.

需要注意的是，一般加速過(guò)程中，蹬腳踏板的力不是很大，前后輪有ω2R＞v2和v1＞ω1R的趨勢(shì)，則它們受的是靜摩擦力；當(dāng)突然用力蹬時(shí)，速度變化明顯，則有ω2R＞v2和v1＞ω1R，這時(shí)它們受的是滑動(dòng)摩擦力.

（2）主動(dòng)減速過(guò)程.指通過(guò)主動(dòng)剎車(chē)而減速，主動(dòng)剎車(chē)一般是利用固定在車(chē)架上的橡皮閘對(duì)車(chē)圈施加滑動(dòng)摩擦力，阻礙車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，從而達(dá)到減速的目的.在減速過(guò)程，輪子受到的是地面施加的滑動(dòng)摩擦力，分3種情況討論.

圖4

① 只剎后輪.如圖5所示，首先使后輪角速度ω2減小，導(dǎo)致ω2R＜v2，后輪的轉(zhuǎn)動(dòng)小于平動(dòng)，則此時(shí)后輪所受到的摩擦力方向向后，它使后輪平動(dòng)減速，又自行車(chē)為一整體，則前輪平動(dòng)也減速，則導(dǎo)致前輪v1＜ω1R，轉(zhuǎn)動(dòng)大于平動(dòng)，因此前輪所受到的摩擦力向前，使前輪角速度減小.注意此時(shí)f1比f(wàn)2小得多，因此車(chē)子整體是減速的.

該過(guò)程可簡(jiǎn)述如下：只剎后輪則ω2↓→ω2R↓→ω2R＜v2（v2還來(lái)不及立即減?。筝嗈D(zhuǎn)動(dòng)小于平動(dòng)→后輪所受摩擦力f2向后→v2↓→v1↓→v1＜ω1R→前輪轉(zhuǎn)動(dòng)大于平動(dòng)→前輪摩擦力f1向前→ω1↓.

圖5

② 只剎前輪.這種情況與只剎后輪正相反，如圖6所示，先使前輪角速度ω1減小，導(dǎo)致ω1R＜v1，前輪的轉(zhuǎn)動(dòng)小于平動(dòng)，則前輪所受到的摩擦力方向向后，它使前輪平動(dòng)減速；又自行車(chē)為一整體，則后輪平動(dòng)也減速，則導(dǎo)致后輪v2＜ω2R，轉(zhuǎn)動(dòng)大于平動(dòng)，因此后輪所受到的摩擦力向前，使后輪角速度減小，其過(guò)程簡(jiǎn)述請(qǐng)參考只剎后輪的情況.值得注意的是，只剎前輪會(huì)導(dǎo)致有向前翻轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，此時(shí)前輪所受的摩擦力f1反而大于后輪所受的摩擦力f2.

③ 前后輪同時(shí)剎車(chē).前后輪同時(shí)剎車(chē)時(shí)，導(dǎo)致兩輪的角速度同時(shí)減小，而線速度還來(lái)不及變化，則有v＞ωR，兩輪的平動(dòng)都大于轉(zhuǎn)動(dòng)，因此這時(shí)兩輪所受摩擦力的方向都向后，具體過(guò)程在此不再贅述.注意這種情況比只剎一個(gè)輪的摩擦力大，因此剎車(chē)的時(shí)間也短一些.

圖6

2 探究地面對(duì)車(chē)輪的滾動(dòng)摩擦的方向

當(dāng)分析輪胎滾動(dòng)與地面的明顯形變時(shí)，它還受到滾動(dòng)摩擦的作用.輪胎受重力作用而陷入地面，同時(shí)壓迫地面也發(fā)生形變，導(dǎo)致輪子接觸處前方的地面隆起，因而地面對(duì)輪子的彈力作用點(diǎn)從最低點(diǎn)向前移，從而形成了一個(gè)阻礙滾動(dòng)的力偶矩，這就是滾動(dòng)摩擦，如圖7所示.需要特別注意的是：滾動(dòng)摩擦并不是力，而是力矩，它的方向總是阻礙輪子的轉(zhuǎn)動(dòng).無(wú)論車(chē)輪勻速、加速還是減速，都存在滾動(dòng)摩擦，其方向總是與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反.

在勻速過(guò)程與自然減速過(guò)程中，比較容易觀察到滾動(dòng)摩擦.

（1）勻速過(guò)程：自行車(chē)行駛一段時(shí)間后，可達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即通過(guò)加速過(guò)程，使ω2與ω1相等，并且有ω2R＝v2與ω1R＝v1，這時(shí)是純滾動(dòng)狀態(tài).由上面的討論可知，此時(shí)兩輪不受靜、滑動(dòng)摩擦力，但實(shí)際體驗(yàn)告訴我們，要維持勻速過(guò)程，必須腳蹬踏板施加力，這個(gè)力干什么去了？原來(lái)輪胎受到一個(gè)向后的滾動(dòng)摩擦，阻礙自行車(chē)的運(yùn)動(dòng)，施加的力就是來(lái)平衡這個(gè)滾動(dòng)摩擦.

（2）自然減速：一般情況下，當(dāng)不蹬腳踏板時(shí)，兩輪的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)都同步減小，因此并不受靜、滑動(dòng)摩擦力，那為什么減速呢？原因只有一個(gè)，那就是受另一個(gè)阻礙作用——滾動(dòng)摩擦.

圖7

1 漆安慎、杜嬋英著.面向21世紀(jì)課程教材 力學(xué).北京：高等教育出版社，1997.

2 鄧飛帆 等編著.普通物理疑難問(wèn)題.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1984.

3 范欽珊 主編.理論力學(xué).北京：高等教育出版社，2000.