李 斌，劉 超，李洪鳳，李桂丹

(天津大學電氣與自動化工程學院，天津300072)

傳統(tǒng)的多自由度運動系統(tǒng)利用多臺電機驅動，存在體積大、有齒輪間隙和機械奇點等問題．球形電機可以實現轉子 3個自由度的運動，在機器人、納米工作平臺等高精度控制系統(tǒng)中具有廣泛的應用前景，而永磁球形電機還具有體積較小、轉矩密度較高等特點，受到國內外學者的極大關注[1-3]．

在永磁球形電機中，定子繞組一般采用圓柱形多層空心線圈，可以利用洛倫茲力法進行磁力分析，進而獲得電機的轉矩特性[4-5]．然而，這需要對電流密度和磁通密度的矢量積在整個定子繞組體內進行體積分運算．和洛倫茲力法相比，張量法只需要進行面積分計算，計算量較小且結果較為準確[6-8]．由于永磁球形電機的定子繞組無鐵心，磁路不飽和，空間磁場是轉子永磁磁極和定子繞組產生磁場的疊加，因此在張量法中，定子繞組產生的磁場不能忽略．

為了獲得定子繞組磁場的空間分布，可以直接利用比奧-薩法爾定理[9]，這種方法同樣需要進行多重積分運算，計算量較大．文獻[10]將多層線圈等效為單層線圈以提高分析速度，這種方法在定子繞組層數較多時誤差較大．本文在永磁體電流模型基礎上，將定子繞組等效為圓柱形永磁體，間接獲得定子繞組的磁場．這種方法的關鍵在于提高永磁體磁場分析的快速性和準確性．

現有的磁場分析方法主要包括解析法[11]、有限元法[12]．與它們相比，等效磁網絡(magnetic equivalent circuit，MEC)法具有較高的分析精度、較小的計算負荷，逐漸成為電機分析和設計的有利工具[13-14]．筆者在多層繞組的等效永磁體模型基礎上，根據磁場分布特點，將磁路進行了簡化，將不同磁場邊界條件表達為磁阻單元對應節(jié)點或支路的狀態(tài)，最終建立了永磁球形電機定子繞組的 MEC模型，再利用平均磁能法求得了繞組磁通密度在空間的分布．通過與有限元方法對比，證明利用 MEC法具有較高的計算精度．

1 永磁球形電機結構及運行原理

圖 1為永磁球形電機結構示意．在球形轉子沿赤道兩側均勻粘貼永磁體，永磁體內側為轉子鐵軛.每塊永磁體為球面錐體結構，永磁體采用平行充磁方式，充磁方向為永磁體中心的法線方向，NS極交替排列．三層定子繞組沿不同緯度固定在定子上，可獨立控制每個繞組的通斷電．當同一緯度的繞組通電時，在電磁轉矩的作用下轉子球繞軸作自轉運動，當同一經度的繞組通電時，轉子作俯仰和偏航運動．因此通過改變定子繞組的通電策略，可以實現電機的 3自由度運動．

圖1 永磁球形電機結構示意Fig.1 Structure of PM spherical motor

2 定子繞組的永磁體模型

永磁球形電機的定子繞組采用空心圓柱結構，其剖面如圖 2(a)所示，磁場空間分布如圖 2(b)所示．定子繞組的電流密度可表示為

式中：ai和 ao分別為繞組內、外徑；l為繞組高度；NI為繞組的安匝數．

圖2 定子繞組Fig.2 Stator coil

另一方面，永磁體磁化后的特性滿足

式中：B為磁通密度；H 為磁感應強度；Mr為剩余磁化強度；μ0為真空磁導率；μr為永磁體的相對磁導率.

對式(3)左、右兩端取旋度，并考慮到永磁體內無宏觀電流，則

根據麥克斯韋方程，式(4)右端具有電流密度的量綱，可用體電流密度來表示，即

式(5)建立了永磁體的體電流模型，用電流描述永磁體的勵磁作用[15]．顯然，若知道體電流分布，也可獲得等效的永磁體．

為了保證等效永磁體產生的磁場空間分布與定子繞組一致，等效永磁體仍為圓柱形，其外徑和高度與繞組相同，沿 z軸方向磁化．磁化強度可表示為坐標r的函數，其旋度可表示為

根據式(1)～式(6)，可得等效永磁體的磁化強度

由式(1)可得永磁體矯頑力 Hc和剩余磁化強度Mr,z的關系為

3 定子磁場的等效磁網絡法分析

3.1 等效磁網絡模型

由于定子繞組的磁場在空間呈對稱分布，則過等效永磁體中軸線作一切片，整個空間的磁場可由此切片的磁場擴展得到．

設切片角度為αe，在柱坐標系下沿z方向和r方向進行網格剖分，則每一磁阻單元可用參數 ri,in、ri,out、li和 αe表示，如圖 3(a)所示，其三維等效磁阻網絡如圖 3(b)所示．其中，3個方向的支路分別與磁場的3個分量Φr、Φz和Φθ對應，u表示標量磁勢，下標為各節(jié)點標號，其中e為單元的中心節(jié)點，R和F分別表示磁阻、磁動勢，其下標表示相應支路．每個磁阻單元通過邊界上的節(jié)點與鄰單元相互連接，構成整個分析模型的等效磁網絡．

圖3 三維磁阻單元Fig.3 3D reluctance element

將磁網絡與電網絡相比較，可以得到不同磁場邊界處等效磁網絡中各節(jié)點或支路的狀態(tài)：

(1) 由于磁場中沒有θ方向的分量，則磁阻網絡中相應的支路應為斷路；

(2) 在磁場的中性面上(繞組高度一半處的 r-θ切面)，磁勢處處相等，因此中性面上的單元節(jié)點短路；

(3) 在軸線處，磁場滿足平行邊界條件，Br＝0，則邊界處的磁阻單元中相應的支路為斷路；

(4) 空氣域的最外層，磁場滿足平行邊界條件，Br＝Bz＝0，相應支路斷路．

根據以上分析，可以建立1/2個等效永磁體切片及相應空氣域的磁網絡，如圖 4所示，磁阻單元及磁網絡均退化為二維結構．

圖4 磁網絡模型Fig.4 MEC model

圖 4中，深色部分為矯頑力為恒定值的永磁部分，淺色部分為矯頑力變化的永磁部分，其余部分為空氣域．每個單元的邊界如虛線所示，通過邊界上節(jié)點相互連接，實心圓點為單元節(jié)點，實心三角形為退化的單元節(jié)點，其與中心節(jié)點間的支路為斷路，實心正方形為相互短接的單元節(jié)點，其磁勢設為 0．在距離永磁體近的地方采用精細剖分，遠的地方則剖分粗疏．

3.2 磁網絡參數計算

永磁體和空氣域采用相同的剖分方法，其等效磁網絡的參數計算方法相同，差別僅在于材料參數的不同．

3.2.1 磁阻

單元的磁阻取決于單元的幾何形狀、磁導率及磁場的方向．圖 5(a)描述了磁通分量Φr穿過磁阻單元的情況，磁阻單元可以看成厚度為 dr的薄片串聯而成，因此可表示為

式中：li為磁阻單元的高；μ 為單元的磁導率．在空氣域中μ＝μ0，μ0為空氣的磁導率；在永磁體中μ＝μ0,μr，μr為永磁體的相對磁導率．

圖 5(b)描述了磁通分量Φz穿過磁阻單元的情況，磁阻單元可以看成厚度為dz的薄片串聯而成，可表示為

式中 zi,1和 zi,2均表示磁阻單元在 z方向的坐標，滿足zi,2?zi,1=li．

圖5 單元內的磁通Fig.5 Fluxes in element

3.2.2 永磁體磁動勢

永磁體部分是有源網絡．對于永磁體的每一個剖分單元，其等效磁動勢源可表示為

如圖3(b)所示的磁阻網絡單元中，z方向的2個磁動勢源可表示為

3.3 磁通密度求解

圖3(b)中所示的第i個磁阻單元中，每一支路的磁通與節(jié)點標量磁勢、磁動勢源和支路磁阻的關系可表示為

式中 G為磁導納．

根據磁通連續(xù)條件，流進節(jié)點的磁通與流出節(jié)點磁通相等，即

對于所有的節(jié)點，由式(13)和式(14)可得系統(tǒng)矩陣，即

式中：G為磁導納矩陣；U為節(jié)點標量磁勢矩陣；F為驅動矩陣．

假設磁場在磁阻單元內部保持恒定，磁阻單元儲存的磁能可表示為3個磁場分量的能量和．空氣的磁導率為常數，磁阻單元中每個分量的磁能[13]可表示為

式中：Vi為剖分單元的體積；Bi,j為剖分單元的磁通密度．

如圖 3(b)所示，每個磁場分量包括中心節(jié)點兩側的 2個支路，磁能和支路磁通、磁阻的關系還可表示為

式中 Φi,j,1和Φi,j,2為同一個方向上的磁場分量在中心節(jié)點兩側的兩個支路上磁通量．

由式(16)和式(17)可得節(jié)點的磁通密度為

由式(18)可知，由單元磁能得到的是磁通密度的幅值，根據磁通的極性可以進一步判斷出磁通密度的極性．

4 定子磁場分布研究

多層定子繞組的參數如表 1所示．利用等效永磁體模型及 MEC法可以求得空間各點的磁通密度．為了驗證結果的正確性，同時利用有限元方法研究了磁場分布．

表1 定子繞組參數Tab.1 Parameters of stator coil

圖 6為鄰近繞組處的磁通密度分布．圖 6(a)為z＝10.5,mm處，磁通密度B沿半徑r的變化規(guī)律．圖6(b)為r＝5.25,mm處，磁通密度B沿高度H的變化規(guī)律．

圖 7描述了遠離繞組處的磁通密度分布．圖7(a)為 z＝20.5,mm處，磁通密度B沿半徑 r的變化規(guī)律；圖7(b)為r＝10.25,mm處，磁通密度B沿高度H的變化規(guī)律．

圖6 鄰近定子繞組處的磁通密度分布Fig.6 Magnetic flux density distribution near stator coil

圖7 遠離定子繞組處的磁通密度分布Fig.7 Magnetic flux density distribution far from stator coil

另外，圖6和圖7中給出了磁場的有限元分析結果．可以看出，利用等效永磁體和 MEC法獲得的磁通密度空間分布和FEM法的計算結果具有非常好的一致性．其中，圖6中Br、Bz相對誤差分別為6.72%、3.55%和 5.81%、4.39%．圖 7中 Br、Bz相對誤差分別為6.72%、3.55%和6.07%、4.63%．

相對誤差定義為

式中：BMEC和BFEM分別為MEC法與FEM所求的磁通密度；算子||x||為函數的1范數[16]．

從圖6和圖7中可以看出，定子繞組的遠場和近場的磁場分布差異較大．磁場在空間的衰減較快，而且分布規(guī)律也不盡相同，遠場時磁通密度的曲線相對更平滑．需要注意的是，在利用張量法分析轉矩特性時，積分路徑的選擇對分析精度影響較大，應選擇包圍定子繞組的外層單元的中心節(jié)點形成的閉合面[8]．

5 結 語

本文提出一種間接分析 3自由度永磁球形電機定子繞組磁場的方法．根據永磁體的體電流模型，將多層定子繞組等效為磁化強度變化的圓柱形永磁體，將永磁體及相應空氣域在柱坐標系下進行剖分，分析了不同磁場邊界條件的表達形式，建立了二維等效磁網絡模型，利用平均磁能法獲得了磁場的空間分布．通過與有限元方法比較近場和遠場的磁通密度，證明本文所提方法具有較好的精度．

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