岳永恒，王 茂，趙 強(qiáng)

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150080;2.東北林業(yè)大學(xué)交通學(xué)院，哈爾濱 150040)

前言

為改善汽車懸架系統(tǒng)的減振效果，提高車輛行駛的平順性和舒適性，磁流變阻尼器(magneto-rheological damping，MRD)懸架系統(tǒng)成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)［1－7］。MRD 的數(shù)學(xué)模型為文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］中提出的修正Bouc-Wen模型，但其強(qiáng)非線性增加了控制器的設(shè)計難度。因此常采用智能控制算法如自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等［4－6］對MRD進(jìn)行研究。智能控制算法在理論上能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性要求，然而由于算法收斂速度慢、系統(tǒng)響應(yīng)時間長等缺點(diǎn)，限制了MRD產(chǎn)品在實(shí)際中的應(yīng)用。

磁流變阻尼器的強(qiáng)非線性主要表現(xiàn)為飽和特性、磁回滯特性和雙線性3個方面。磁回路封閉曲線面積狹小且線性部分較為接近，因此飽和特性是MRD的主要特性。應(yīng)用飽和特性可簡化傳統(tǒng)MRD的Bouc-Wen模型，便于控制器的設(shè)計。近10年來，飽和輸入問題的研究取得了可喜的成果［10－13］，為研究MRD控制系統(tǒng)穩(wěn)定性提供了有力的技術(shù)支持。

本文中以飽和模型替代傳統(tǒng)的Bouc-Wen模型，研究了懸架系統(tǒng)磁流變阻尼器的減振效果。

1 MRD懸架系統(tǒng)模型

MRD模型的強(qiáng)非線性主要表現(xiàn)在飽和特性、磁回滯特性和雙線性上，見圖1。

根據(jù)MRD的物理特性曲線而建立的Bouc-Wen數(shù)學(xué)模型為

模型中數(shù)學(xué)符號的具體含義見文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］。對于如此復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，很難建立有效的實(shí)時控制系統(tǒng)。此外，文獻(xiàn)［6］中對MRD非線性物理特性實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析表明，飽和特性為MRD的主要物理特性。依據(jù)文獻(xiàn)［4］～文獻(xiàn)［7］的研究策略，令MRD的Bouc-wen模型簡化為飽和模型，設(shè)計MRD懸架系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制器。

應(yīng)用LORD公司RD1005－3型MRD設(shè)計減振實(shí)驗(yàn)臺來研究半主動懸架系統(tǒng)MRD的減振效果。RD1005－3型MRD最大輸出阻尼力為4 000N，而介于±4000N之間的輸出阻尼力近似為線性。因此，用分段函數(shù)表示RD1005－3飽和特性:

根據(jù)汽車懸架系統(tǒng)的工作原理而設(shè)計的MRD減振實(shí)驗(yàn)臺如圖2所示。

用變頻器驅(qū)動電機(jī)帶動凸輪軸工作，產(chǎn)生正弦激勵信號模擬路面譜系，通過控制MRD，觀測“懸架系統(tǒng)”對正弦激勵信號的衰減程度。因此，要求實(shí)驗(yàn)臺控制系統(tǒng)具有閉環(huán)穩(wěn)定性。

MRD減振實(shí)驗(yàn)臺大部分零部件質(zhì)量和相關(guān)參數(shù)可精確測量。因其自身非線性物理特性的影響，使MRD的剛度在運(yùn)動過程中為時變參數(shù)，可通過實(shí)驗(yàn)測量MRD剛度的上下界值。當(dāng)實(shí)驗(yàn)臺工作時，MRD相關(guān)參數(shù)將包含于有界閉區(qū)間內(nèi)。因此MRD減振實(shí)驗(yàn)臺是一類典型的參數(shù)依賴不確定性系統(tǒng)，應(yīng)用凸包技術(shù)可有效解決參數(shù)的不確性問題［14］。

MRD減振實(shí)驗(yàn)臺的動力學(xué)模型如圖3所示。圖中:m1、K1和C1為1/4懸架系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼;m2、K2和C2為1/4轎車車身的質(zhì)量、剛度和阻尼;m3、K3和C3為駕駛員座椅的質(zhì)量、剛度和阻尼;z1、z2和 z3分別是m1、m2和 m3的對應(yīng)質(zhì)量塊位移;F為可控磁流變阻尼力;Sat(w)為參數(shù)z0的飽和擾動輸入;z0為路面對懸架系統(tǒng)的位移激勵。建立MRD懸架系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)方程［1－2］:

式中:A為系統(tǒng)矩陣;B為輸入矩陣;Bw為擾動輸入矩陣;x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)變量;w為地面譜系擾動輸入;F為控制對象輸入量，即可控磁流變阻尼力。

2 MRD懸架系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

通過實(shí)驗(yàn)測量MRD懸架系統(tǒng)中相關(guān)的參數(shù)值，如表1所示。

表1 MRD懸架系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)值

MRD懸架系統(tǒng)中參數(shù)K2為時變參數(shù)且有界，因此系統(tǒng)矩陣 A為時變參數(shù)矩陣:A(K2)∈［A1，A2］，A1=A(K2min)，A2=A(K2max)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與外界輸入無關(guān)，令擾動輸入為零(w=0)，則式(2)改寫為

式中:Ai、B表示MRD懸架系統(tǒng)為時變參數(shù)K2的頂點(diǎn)矩陣，因此不確定系統(tǒng)(式(3))包含于由“2”個頂點(diǎn)所構(gòu)成的有界凸多面體區(qū)域內(nèi)。

反饋控制律為

式中:K∈R1×6為反饋控制矩陣。

2.1 預(yù)備知識和飽和輸入處理方法

對于給定矩陣K∈R1×6。因?yàn)榫仃嘖為單行矩陣，因此可根據(jù)文獻(xiàn)［10］～文獻(xiàn)［13］，定義凸多面體區(qū)域?yàn)?/p>

式中Fsup和Finf分別表示可控磁流變阻尼力上下界，如果F=Kx(t)不在飽和區(qū)內(nèi)時，飽和函數(shù)Sat(·)將其輸入量強(qiáng)制等于 －min(|Fsup|，|Finf|)或min(|Fsup|，|Finf|)，且 x(t)∈L(K)。為便于分析，將式(5)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)飽和函數(shù):

定義包含x(t)的子空間:

式中:P=PT＞0，P∈R6×6，ρ∈R。ε(P，ρ)為橢球體。

則表示橢球體ε(P，ρ)包含于對稱凸多面體L(K)內(nèi)。

根據(jù)文獻(xiàn)［12］中的引理2，文中可控磁流變阻尼力飽和項可表示為

式中:H∈R1×6為反饋附加矩陣;Dj矩陣等于“0”或“1”;而稱為Dj的補(bǔ)矩陣，即=1－Dj;

引理1(Schur補(bǔ)引理)對于給定的對稱矩陣，其中 S11∈Rr×r，以下 3 個條件是等價的

根據(jù)式(9)，MRD懸架閉環(huán)控制系統(tǒng)可表示為

通過式(9)把式(3)具有飽和不確定性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為式(10)線性系統(tǒng)，進(jìn)而可通過矩陣不等式技術(shù)處理MRD懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2 控制器設(shè)計和吸引分析

定義Lyapunov函數(shù):v(t)=xT(t)Px(t)，PT=P＞0。根據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論要求:

將式(10)帶入式(11)得

式(12)成立的充分必要條件是:

若吸引域由ε(P，ρ)表示，則存在一個微小的橢球體與ε(P，ρ)在結(jié)構(gòu)上保持一致，稱該微小橢球體為吸引域的形狀參考集［15－16］。

給定參考向量 xR∈R6×1，θ?R6×1為狀態(tài)空間。

顯然式(14)表示xR空間被壓縮α倍。因此，αxR?ε(P，ρ)。當(dāng) α 取得最大值時，形狀參考集將接近最大吸引域。

MRD懸架系統(tǒng)反饋控制器和最大吸引域，可通過求取下列矩陣不等式最優(yōu)解獲得

形狀參考集屬于吸引域，即:αxR?ε(P，ρ)?？芍?xP/(ρxR)≤1，根據(jù)引理1可得

當(dāng)α2逐漸增大，則形狀參考集將逐步接近最大吸引域。令 β =1/α2，式(16)轉(zhuǎn)化為

對式(15)第2個不等式約束條件兩邊同乘以P－1，并乘以 ρ 得:

根據(jù)式(6)可知L(H)可表示為

式(15)中第3 個約束條件 ε(P，ρ)?L(H)，可等價地表示為

根據(jù)引理1，式(20)可轉(zhuǎn)化為

為求最大吸引域和MRD控制系統(tǒng)閉環(huán)反饋控制器，可用LMI求解式(17)、式(18)和式(21)約束條件最優(yōu)解β，進(jìn)而可求解出反饋控制器和最大吸引域。

3 數(shù)值仿真

根據(jù)表1可知MRD的剛度為時變參數(shù)且有界，則飽和不確定MRD懸架系統(tǒng)的頂點(diǎn)矩陣為

式(18)中D1=0，D2=1。令式(17)、式(18)和式(21)中Q=(P/ρ)－1，式(18)中Z=HQ，Y=FQ，根據(jù)文獻(xiàn)［15］～文獻(xiàn)［17］，選取形狀參考集為

其中?i∈［0，2π］，為尋找最大吸引域，選取步長為0.05π，使其?i從0到2π遍歷，可得到最優(yōu)解。通過Matlab解式(22)LMI優(yōu)化問題得

閉環(huán)控制系統(tǒng)的吸引域，可由代數(shù)方程描述為

對于任意系統(tǒng)狀態(tài)變量滿足式(23)，則表示系統(tǒng)狀態(tài)變量位于吸引域中。MRD懸架閉環(huán)控制系統(tǒng)在吸引域內(nèi)具有局部指數(shù)穩(wěn)定。

MRD控制系統(tǒng)的數(shù)值仿真如下。

在參數(shù)矩陣凸空間中任取一點(diǎn)，系統(tǒng)時變參數(shù)矩陣可被描述為

MRD懸架系統(tǒng)開環(huán)數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示，相當(dāng)于傳統(tǒng)的被動懸架減振系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)變量x1、x2和x3在系統(tǒng)穩(wěn)定時收斂到“0”點(diǎn)(對應(yīng)質(zhì)量塊的速度);系統(tǒng)狀態(tài)變量x4、x5和x6分別是模型對應(yīng)質(zhì)量塊的位移，在系統(tǒng)穩(wěn)定時因重力影響收斂到0.2附近，符合實(shí)際系統(tǒng)為慣性系統(tǒng)的特點(diǎn)。

閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示，6個狀態(tài)變量全部穩(wěn)定收斂到0.2，閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量和協(xié)調(diào)時間都明顯優(yōu)于開環(huán)系統(tǒng)。

數(shù)值仿真結(jié)果表明，MRD懸架系統(tǒng)減振效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)懸架系統(tǒng)，證明了該算法的有效性。

4 結(jié)論

MRD的優(yōu)良物理特性可提高汽車的行駛平順性和舒適性，但其強(qiáng)非線性限制了MRD在實(shí)際工程中的應(yīng)用。本文中提出的飽和模型弱化了Bouc-Wen模型的強(qiáng)非線性，同時通過凸包技術(shù)將飽和非線性模型線性化，依據(jù)Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性理論分析了MRD懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計出的反饋控制器同時獲得了最大吸引域。數(shù)值仿真結(jié)果表明，MRD懸架系統(tǒng)減振效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)懸架系統(tǒng)。

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