梅 松，周月娥，李東波，童一飛，袁延強(qiáng)

（1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094；2.鐘山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電與汽車工程系，南京 210049；3.南京三埃工控股份有限公司，南京 211106）

0 引言

影響皮帶秤稱重系統(tǒng)精度要素之一就是張力，利用張力補(bǔ)償可以提高稱重長期穩(wěn)定性和精度。張力越準(zhǔn)確，稱重就越精確。因此，準(zhǔn)確測得張力值十分重要。另外，張力不穩(wěn)定是由機(jī)械的不平衡與磨損和電機(jī)響應(yīng)運轉(zhuǎn)等方面造成的[1]。本文通過檢測皮帶垂度并對垂度數(shù)據(jù)進(jìn)行算法處理，從而對張力的不穩(wěn)定因素進(jìn)行補(bǔ)償，最終根據(jù)研究得到的垂度與張力數(shù)學(xué)模型來計算出張力。

本文先理論推導(dǎo)出張力隨流量變化的數(shù)學(xué)模型，其次，通過離散垂度測量來建立垂度與流量的數(shù)據(jù)表，利用最小二乘曲線擬合法對垂度與流量曲線擬合，實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的綜合分析，為研究物料流量與皮帶垂度的關(guān)系提供科學(xué)的參考依據(jù)[2]。然后對擬合結(jié)果進(jìn)行分析，最終得到垂度、皮帶傾角等參數(shù)的張力數(shù)學(xué)模型。

1 現(xiàn)場輸送帶載料模型分析

現(xiàn)場的輸送帶安裝示意圖如圖1所示，在具體研究中簡化為圖2所示模型。

圖1 現(xiàn)場輸送帶載料

圖2 現(xiàn)場輸送帶載料簡化模型

其中，O1為托輥A,B之間輸送帶上的垂點，AB傾角為β1,其中虛線是輸送帶傳輸方向，實心直線為水平面，=L，根據(jù)實際測試，O1垂點對應(yīng)的輸送帶撓度即垂度v＜3%L?，F(xiàn)取一小段輸送帶O1D分析，建立xo1y坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 輸送帶O1D段受力分析圖

取O1為坐標(biāo)原點，且以過O1點的切線為X軸，與X軸垂直作Y軸，其中，T1，TD分別為O1和D點處的張力，P為均布載荷；D點坐標(biāo)為（x,y)，載荷重心坐標(biāo)E(xe,ye),因輸送帶撓度較小,曲線O1D近似等于x。因此，O1D上負(fù)荷可視為平衡條件可得：

式中，MD為關(guān)于D點的力矩，P為皮帶及物料的質(zhì)量分布簡稱流量， β1地面與水平面間的夾角。經(jīng)整理得：

又已知O1為AB垂點，且為中間，因此可得x=L/2，代入上式得：

式中，L為兩托輥間的距離。其中，L與β1均為已知量。當(dāng)P與y兩個變量檢測出來，對應(yīng)O1點的張力也就隨之求出。

2 基于最小二乘法的垂度-流量曲線擬合

2.1 最小二乘法曲線擬合原理

假設(shè)流量fi與垂度xi，其中i=0,1,2,…,n。擬合關(guān)系為n次多項式，函數(shù)為其中a0，a1,…,an為下面方程組的解：

如果方程組中的系數(shù)矩陣為非奇異，則最優(yōu)解唯一，這里 ， 是Rm+1上向量的加權(quán)內(nèi)通過該方程使用Matlab軟件求解出系數(shù)a0，a1,…,an，就可以解得n次多項式[3]。

由于皮帶傳輸物料的重量不均勻，只有通過垂度值來反推出流量，從而進(jìn)一步估算載物的重量，輔助稱重系統(tǒng)判定稱重單元計算結(jié)果的正確性與故障源。因此，研究物料流量固定，通過大量數(shù)據(jù)采樣得到垂度值，經(jīng)均值數(shù)據(jù)處理，得到一組垂度與流量的數(shù)據(jù)，重復(fù)該方法獲取多組不同流量下檢測到的垂度值，來準(zhǔn)確反映流量與垂度的關(guān)系。

2.2 流量與垂度實驗

實驗條件：1）標(biāo)定初始值104mm；2）輸送帶預(yù)緊力為840kg；3）皮帶寬為1.2m；4）料斗下料給定值設(shè)為100t/h。

本實驗通過改變電機(jī)驅(qū)動輸送帶運轉(zhuǎn)的頻率來改變落在輸送帶的物料重量即流量，并檢測獲取相應(yīng)的垂度，得到表1所示的9組流量范圍在14.62～46.3kg/m內(nèi)的垂度與流量的關(guān)系數(shù)據(jù)。

表1 垂度與流量數(shù)據(jù)關(guān)系

2.3 垂度-流量特性研究

根據(jù)表1數(shù)據(jù)采用Matlab對擬合模型y=a0x0+a1x+…+anxn進(jìn)行多項式擬合，由最小二乘法確定多項式的系數(shù)a0，a1,…,an，通過擬合發(fā)現(xiàn)高于5次多項式曲線就會嚴(yán)重失真，因此只考慮5次以內(nèi)擬合曲線，通過Matlab計算獲得各多項式曲線對應(yīng)的殘差如表2所示。

表2 多項式擬合曲線殘差

由表2可以觀察到5次多項式擬合曲線殘差為0.80778，擬合效果最好，其擬合曲線如圖4所示。

圖4 5次多項式擬合曲線

由圖可以觀察出數(shù)據(jù)與曲線擬合度非常好，因此選取5次多項式擬合曲線為最優(yōu)擬合曲線，線方程[4]如下：

另外，根據(jù)皮帶本身性能和受力情況分析可以設(shè)想曲線y=f (x)是雙曲數(shù)據(jù)規(guī)律大致符合，可以通過變量代化為線性參數(shù)的數(shù)學(xué)模型其中(i=1,2,…,9)。其中ti,zi分別由原始數(shù)據(jù)xi, yi據(jù)變量代換公式計算出來，轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)表如表3所示。

表3 t,z關(guān)系數(shù)據(jù)

將以上計算值代入簡化方程組得如下方程組：

計算得a1=0.33822，a0=-0.0078494從而擬合曲線為

3 最小二乘法曲線擬合結(jié)果分析

3.1 擬合模型誤差比較

根據(jù)實測垂度數(shù)據(jù)，分別利用5次和雙曲型擬合曲線計算出輸送帶上的物料流量，進(jìn)而計算出理論流量與計算流量之間的絕對誤差，誤差平方[5]。具體計算結(jié)果如表4所示。

表4 5次多項式與雙曲型擬合曲線參與擬合數(shù)據(jù)分析

由表4算得5次與雙曲型擬合曲線誤差平方總和分別為0.6683,1.2104。5次多項式擬合曲線誤差平方更小，擬合效果更好。

由上表分析研究選擇5次多項式擬合曲線作為最優(yōu)曲線擬合結(jié)果，其函數(shù)如下：

3.2 張力數(shù)學(xué)模型

表5 垂度、流量與張力關(guān)系

從表5中可以觀察到垂度為4.5～10.3mm范圍內(nèi)張力隨著垂度變大而減小，張力的極小值產(chǎn)生于垂度為10.3mm～11.5mm之間，張力自極小值之后會隨著垂度的增加而增加，由以上規(guī)律可判定張力與皮帶性能有很緊密的關(guān)系，可以在以后的實驗中作進(jìn)一步研究。最終形成的張力與垂度的數(shù)學(xué)模型為：

若將參數(shù)β1，L代入公式則可以轉(zhuǎn)化為

式中a為皮帶重量分布（kg/m）；x為測得的垂度值(mm); T1為張力（kg）；β1為皮帶與水平地面之間的夾角；L為兩托輥之間的距離(m)。

由公式（7）可以根據(jù)檢測到的垂度推算出張力。

4 結(jié)論

1）通過實驗獲取了流量與垂度關(guān)系的對應(yīng)數(shù)據(jù)；利用最小二乘曲線擬合法研究垂度與流量的實驗數(shù)據(jù)，得到垂度與流量關(guān)系的擬合曲線；通過實驗驗證分析得出5次多項式擬合曲線為最優(yōu)垂度與流量擬合曲線。2）根據(jù)最優(yōu)垂度與流量擬合曲線及張力與流量數(shù)學(xué)關(guān)系建立了皮帶張力與垂度的數(shù)學(xué)模型。

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