邸 克，楊月誠(chéng)

(第二炮兵工程大學(xué)601室，西安 710025)

固體推進(jìn)劑/襯層界面裂紋的指數(shù)型分層界面層模型①

邸 克，楊月誠(chéng)

(第二炮兵工程大學(xué)601室，西安 710025)

建立了固體推進(jìn)劑/襯層界面裂紋的指數(shù)型分層界面層模型，該模型將界面層劃分為多個(gè)子層，并在每一子層中用指數(shù)函數(shù)表示界面層初始模量的分布。應(yīng)用Fourier變換方法推導(dǎo)出一個(gè)Cauchy型奇異積分方程組，采用配點(diǎn)數(shù)值方法得到平面應(yīng)力狀態(tài)下裂紋問題的半解析解，并討論了法向和剪切應(yīng)力加載下界面層參數(shù)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。結(jié)果表明，界面層模量降低時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值顯著減小;界面層厚度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響相對(duì)不明顯。

固體推進(jìn)劑;襯層;界面層;分層模型;裂紋;應(yīng)力強(qiáng)度因子

0 引言

固體推進(jìn)劑/襯層粘結(jié)界面是固體發(fā)動(dòng)機(jī)的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié)，是影響發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)完整性的關(guān)鍵因素，該類界面的裂紋問題更是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。在這一領(lǐng)域，人們主要采用了有限元數(shù)值方法［1-2］或?qū)嶒?yàn)研究［3］，獲得了界面斷裂參量及影響裂紋擴(kuò)展的因素。但這類界面裂紋的理論分析卻未見報(bào)道，界面粘結(jié)結(jié)構(gòu)對(duì)裂紋宏觀方面的影響也未曾獲取。因此，很有必要構(gòu)建一個(gè)合適的推進(jìn)劑/襯層界面力學(xué)模型，并深入開展其裂紋問題的理論研究。

為了合理簡(jiǎn)化界面結(jié)合部，有效研究界面斷裂問題，人們提出了許多界面力學(xué)模型，如理想界面模型［4］、接觸界面模型［5］和無滑動(dòng)區(qū)界面模型［6］等。而對(duì)于真實(shí)的NEPE推進(jìn)劑/襯層界面，吳豐軍等［7］采用納米壓痕儀和超聲波掃描顯微鏡，證明了其粘結(jié)界面層是模量和硬度呈現(xiàn)梯度變化的非均勻結(jié)構(gòu)。因此，表征推進(jìn)劑/襯層界面斷裂問題時(shí)，選擇Delale和Erdogan［8］提出的功能梯度界面層模型(也稱為非均勻界面層模型)是合適的。這種界面層模型將界面粘結(jié)區(qū)域看成功能梯度材料(FGM)，并充分考慮了界面粘結(jié)處材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀力學(xué)性能的影響。此后，人們采用某一種特定的函數(shù)表征界面層力學(xué)屬性的變化，如冪律函數(shù)［9］和倒數(shù)函數(shù)［10］等。另外，相對(duì)上述單層界面層模型，Li提出了互擴(kuò)散界面層模型［11］，即將界面層分成2層，用2種函數(shù)表示其模量的變化。最近十幾年，人們發(fā)展了一類FGM分層模型，即將界面層(或涂層)分成多個(gè)子層，每一子層中用某種函數(shù)表示材料屬性的變化。對(duì)于垂直于FGM屬性梯度方向的裂紋問題，人們?cè)诿恳蛔訉又胁捎昧顺?shù)［12］、線性函數(shù)［13］和倒數(shù)函數(shù)［14］表征FGM屬性變化。這類分層模型對(duì)于描述FGM屬性在空間上任意變化方面具有很大優(yōu)勢(shì)。

為了能真實(shí)準(zhǔn)確地表征推進(jìn)劑/襯層界面粘結(jié)區(qū)域材料屬性的任意分布，本文為其建立了一個(gè)新的指數(shù)型分層模型。通過推導(dǎo)并數(shù)值求解Cauchy型奇異積分方程組，得到裂紋問題的半解析解，并討論Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨界面層有關(guān)參數(shù)的變化規(guī)律。

1 指數(shù)型分層界面層模型

如圖1所示，該模型將界面層劃分成N個(gè)厚度相等的子層，每一子層中均采用指數(shù)函數(shù)逼近真實(shí)的模量，其中各子層下端面的高度值分別是hk(k=1，2，…，N)。模型中約束襯層上端面的位移，并在界面層第m個(gè)子層下端面處設(shè)置一長(zhǎng)度c=2a，平行于x軸的裂紋。襯層和界面層均看成無限長(zhǎng)的條狀結(jié)構(gòu)，厚度分別為hL和h0，推進(jìn)劑的長(zhǎng)和高均為無限大。其中，界面層厚度h0表示襯層本體和推進(jìn)劑本體之間的模量變化區(qū)域總厚度。假設(shè)模型中各層粘彈性材料的松弛模量(y，t)均可寫成初始模量Ek和時(shí)間因子f0(t)相乘的形式:

在求解該類問題時(shí)，一般應(yīng)用FGM的粘彈性對(duì)應(yīng)原理［15］，先按照彈性理論求得對(duì)應(yīng)的彈性解，再轉(zhuǎn)化為粘彈性解。

圖1 固體推進(jìn)劑/襯層界面的指數(shù)型分層界面層模型Fig.1 Exponential multi-layered interfacial zone model for the solid propellant/liner interface

假設(shè)襯層和推進(jìn)劑的初始模量分別是常數(shù)E0和EN+1，界面層各子層中采用近似模量Ek(y)(k=1，2，…，N)逼近真實(shí)模量Er(y)。其中，Ek(y)為連續(xù)的指數(shù)型分段函數(shù)，并在各子層下端面(y=hk)處Ek(y)和真實(shí)模量Er(y)相等，即

此外，假設(shè)襯層和推進(jìn)劑的泊松比分別是常數(shù)ν0和νN+1，界面層每一子層中近似的泊松比為νk(y)，且在子層下端面處νk(y)和真實(shí)泊松比νr(y)相等，即

注意到隨著子層個(gè)數(shù)N的增加，模型中Ek(y)和νk(y)將分別趨近于Er(y)和νr(y)，這時(shí)模型達(dá)到準(zhǔn)確表征界面層真實(shí)材料屬性分布的目的。因此，該分層模型比單層界面層模型和互擴(kuò)散模型更適合求解界面層材料屬性在空間上任意變化時(shí)的裂紋問題。由于指數(shù)函數(shù)比線性函數(shù)和倒數(shù)更能使FGM裂紋問題的控制微分方程形式簡(jiǎn)單，且便于求解。因此，本文的分層模型比線性分層模型和倒數(shù)分層模型更便于公式推導(dǎo)和計(jì)算。此外，相對(duì)于均勻分層模型(子層中材料屬性為常數(shù))，本文的分層模型能避免子層之間材料參數(shù)的不連續(xù)現(xiàn)象。

2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

考慮平面應(yīng)力狀態(tài)下的彈性問題，在每一子層中，由物理方程、相容方程及式(2)可得到含Airy應(yīng)力函數(shù)φk(k=1，2，…，N)的控制方程:

式中 ▽2為L(zhǎng)aplace算子。

由于泊松比對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響很?。?］，因此為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程，可令:

通過求解方程(5)，可得到νk(y)具有以下函數(shù)形式:

其中，未知量C1k和C2k可由式(3)確定。

對(duì)式(4)作關(guān)于坐標(biāo)x，定義為=φkexp(-iax)dx的Fourier變換，并結(jié)合式(5)，可得到:

方程(7)的通解為

對(duì)于界面層中每一子層，結(jié)合式(8)和模型中的幾何方程，可得到Fourier變換域中位移和應(yīng)力的向量表達(dá)式:

Tk的元素為

參照方程(4)可看出，襯層和推進(jìn)劑中的Airy應(yīng)力函數(shù)分別滿足以下控制方程:

相應(yīng)地，襯層和推進(jìn)劑中位移和應(yīng)力的向量表達(dá)式分別為

該模型的邊界條件:

(1)襯層上端面處(y=h0+hL)x和y方向的位移均為0:

(2)各層界面處位移和應(yīng)力的連續(xù)性條件:

式中 ΔSm={，，0，0}T;和為 Fourier變換域中裂紋面處位移增量;δmk為 Kronecker符號(hào)。

結(jié)合式(9)及式(11)～(13)，并經(jīng)過復(fù)雜的推導(dǎo)，可得到含裂紋的子層中位移應(yīng)力向量Sm和ΔSm的關(guān)系式:

為了求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，引入以下2個(gè)位錯(cuò)密度函數(shù):

將式(16)代入式(15)并分離出應(yīng)力分量后，可得到Cauchy型奇異積分方程組:

該問題的位移單值條件為

考慮到函數(shù)^g1(x)和^g2(x)在x=±1處的奇異性，這里將其分別表示為

結(jié)合式(17)～式(19)，并根據(jù) Erdogan等［16］提出的配點(diǎn)方法，可得到f1(x)和f2(x)的數(shù)值解，將其代入式(16)和式(19)，可得到向量差ΔSm。根據(jù)各層材料位移應(yīng)力向量的表達(dá)式(9)、(11)和(14)以及邊界條件(13)，并通過Fourier反變換，可直接得到襯層、推進(jìn)劑和界面層各區(qū)域的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，而各處材料的應(yīng)變場(chǎng)，可結(jié)合物理方程獲得。本模型中，相對(duì)于襯層和推進(jìn)劑，界面層中裂紋尖端處材料更容易發(fā)生破壞。因此，本文將重點(diǎn)分析應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)這一重要的斷裂參量。

以裂紋右尖端為例，Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子被p0=max})無量綱化后，可得到其對(duì)應(yīng)的彈性解表達(dá)式:

由于模型中施加的是應(yīng)力載荷，Ⅰ和Ⅱ型粘彈性應(yīng)力強(qiáng)度因子可分別由對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)力強(qiáng)度因子和載荷函數(shù)相乘直接得到［17］，與時(shí)間因子f0(t)無關(guān)。因此，本文只討論應(yīng)力強(qiáng)度因子對(duì)應(yīng)的彈性解隨各參數(shù)的變化規(guī)律。

3 算例驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本模型的有效性，將其近似退化成單層界面層模型進(jìn)行計(jì)算，并將結(jié)果和經(jīng)典文獻(xiàn)［8］對(duì)比。計(jì)算時(shí)，令裂紋位于界面層中線處，并在裂紋面上施加純法向應(yīng)力載荷，且hL相對(duì)于h0足夠大。令Er(y)為指數(shù)型函數(shù)，E0/EN+1=3，ν0=νN+1=0.3。計(jì)算結(jié)果如表1所示?？梢姡疚哪Ｐ秃臀墨I(xiàn)［8］的結(jié)果吻合良好，這可證明采用本文所建立的模型時(shí)計(jì)算結(jié)果正確可靠。

3.2 結(jié)果分析

文獻(xiàn)［7］在實(shí)驗(yàn)中表明，推進(jìn)劑/襯層界面貯存時(shí)間延長(zhǎng)時(shí)，界面層的模量明顯減小，而推進(jìn)劑和襯層的模量相對(duì)變化不大。參照該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文在計(jì)算時(shí)，選擇襯層和推進(jìn)劑的初始模量分別為3.3 MPa和3.9 MPa，其泊松比均為0.495，襯層和界面層厚度分別為1 mm和0.08 mm。將裂紋設(shè)置于界面層中線處，并設(shè)置子層個(gè)數(shù)N=6。

假設(shè)界面層中線處真實(shí)模量為Ep，從E0到Ep再到EN+1真實(shí)模量Er(y)隨y坐標(biāo)線性變化。另外，假設(shè)界面層真實(shí)泊松比函數(shù)νr(y)從ν0到νN+1也隨y坐標(biāo)線性變化。該模型中，通過調(diào)節(jié)Ep的值以體現(xiàn)界面層整體模量的變化。此外，基于文獻(xiàn)［7］中界面層模量隨貯存時(shí)間的變化規(guī)律，選取Ep為18、9、3 MPa，分別代表界面層貯存前期、中期和后期的模量。

綜合圖2、圖3可看出，在純法向和純剪切應(yīng)力加載下，界面層模量對(duì)KⅠ和KⅡ的大小及隨裂紋長(zhǎng)度的變化規(guī)律都有顯著的影響。統(tǒng)一地講，KⅠ和KⅡ的絕對(duì)值均隨界面層貯存時(shí)間的延長(zhǎng)(界面層模量的減小)而減小。當(dāng)裂紋長(zhǎng)度和界面層厚度相等時(shí)(c=0.08 mm)，從界面貯存前期到后期，純法向應(yīng)力加載下的KⅠ和純剪切應(yīng)力加載下的KⅡ分別減小了52.2%和28.9%。因此，計(jì)算推進(jìn)劑/襯層界面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，應(yīng)充分考慮到界面層模量的影響，這也同時(shí)說明了建立本模型是非常必要的。

圖2 法向應(yīng)力加載下Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長(zhǎng)度的變化Fig.2 Variations of mode Ⅰ and modeⅡ stress intensity factors with crack sizes under normal stress loading

圖3 剪切應(yīng)力加載下Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋長(zhǎng)度的變化Fig.3 Variations of modeⅠ andⅡstress intensity factors with crack sizes under shear stress loading

圖4、圖5分別顯示不同貯存時(shí)期內(nèi)，純法向應(yīng)力加載下的KⅠ和純剪切應(yīng)力加載下的KⅡ隨界面層總厚度h0的變化規(guī)律(襯層厚度不變，c=0.1 mm)。在界面層貯存前期和中期，KⅠ和KⅡ均隨著界面層厚度的增加而減小，而在貯存后期，KⅠ和KⅡ基本不隨界面層厚度的變化而變化?？傊?，界面層厚度對(duì)KⅠ和KⅡ都有一定影響，但不如界面層模量的影響明顯。

圖4 法向應(yīng)力加載下Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨界面層厚度的變化Fig.4 Variations of mode Ⅰ stress intensity factors with interfacial zone＇s thicknesses under normal stress loading

圖5 剪切應(yīng)力加載下Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨界面層厚度的變化Fig.5 Variations of mode Ⅱ stress intensity factors with interfacial zone＇s thicknesses under shear stress loading

4 結(jié)論

(1)文中為固體推進(jìn)劑/襯層界面建立了一個(gè)新的指數(shù)型分層界面層模型，該模型通過將界面層劃分成多個(gè)子層，可有效地求解界面層初始模量和泊松比在空間上任意變化時(shí)的裂紋問題。

(2)計(jì)算結(jié)果表明，界面層模量因界面貯存時(shí)間的延長(zhǎng)而降低時(shí)，Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的絕對(duì)值顯著減小。當(dāng)裂紋長(zhǎng)度和界面層厚度相等時(shí)，純法向應(yīng)力加載下的KⅠ和純剪切應(yīng)力加載下的KⅡ分別減小了52.2%和28.9%。此外，界面層厚度對(duì)Ⅰ和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響相對(duì)不明顯。

(3)本文對(duì)功能梯度界面層模型在工程方面的應(yīng)用有一定參考價(jià)值，對(duì)求解簡(jiǎn)單的推進(jìn)劑/襯層界面斷裂問題也有一定理論意義;而對(duì)于真實(shí)的三維固體推進(jìn)劑/襯層粘結(jié)界面的斷裂問題，也應(yīng)充分考慮界面層有關(guān)參數(shù)對(duì)其影響，并可將本模型作適當(dāng)擴(kuò)展，再結(jié)合有限元等數(shù)值方法進(jìn)行分析計(jì)算。

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Exponential multi-layered interfacial zone model for solid propellant/liner interface crack

DI Ke，YANG Yue-cheng
(601 Staff Room，The Second Artillery Engineering University，Xi＇an 710025，China)

An exponential multi-layered interfacial zone model was developed for the solid propellant/liner interface crack.In the model，the interfacial zone was divided into some sub-layers with the initial modulus of each sub-layer varying in an exponential manner.The method of Fourier transform was employed and a set of Cauchy singular integral equations was derived.A collocation method was used to obtain the semi-analytical solution of the crack problem under plane stress condition，and the influences of the interfacial zone＇s parameters on the stress intensity factors were discussed when the crack was subjected to normal and shear stresses.The results show that when the interfacial zone＇s modulus decreases，the absolute values of the stress intensity factors decrease significantly.The effects of the interfacial zone＇s thickness on the stress intensity factors are not significant relatively.

solid propellant;liner;interfacial zone;multi-layered model;crack;stress intensity factor

V512

A

1006-2793(2012)04-0516-06

2012-04-08;

2012-05-28。

邸克(1984—)，男，博士生，研究方向?yàn)楣腆w火箭發(fā)動(dòng)機(jī)界面斷裂。E-mail:12345aaaaak@163.com

(編輯:呂耀輝)