曾明華，肖 瑜，黃細(xì)燕

（1.華東交通大學(xué)軌道交通學(xué)院；2.華東交通大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院，南昌330013）

自由市場(chǎng)中所有出行者從個(gè)人角度考慮選擇出行成本最小化的路徑，出行者之間只有自私的博弈。在沒(méi)有誘導(dǎo)的條件下，依靠自由市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)所達(dá)到的用戶均衡（UE）一般不能使有限資源分配達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)（SO）。如果部分出行者受控于交通誘導(dǎo)與控制中心，在系統(tǒng)最優(yōu)的前提下用戶出行路徑選擇，則系統(tǒng)最終會(huì)趨向于一種介于系統(tǒng)最優(yōu)和用戶最優(yōu)之間的狀態(tài)。因此，系統(tǒng)中存在效率損失，但一直沒(méi)有得到定量界定。文獻(xiàn)[1]最早提出了合作系數(shù)或無(wú)政府的代價(jià)來(lái)界定交通網(wǎng)絡(luò)中由于用戶的非合作行為而導(dǎo)致的效率損失問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[2]完成了一項(xiàng)具有代表性的工作，即，假設(shè)具有非負(fù)系數(shù)的線性阻抗函數(shù)，發(fā)現(xiàn)用戶均衡效率損失最多為系統(tǒng)最優(yōu)的1/3。之后，許多學(xué)者為尋找用戶平衡更小的效率損失上界而進(jìn)行了一系列拓展研究[3-5]?？紤]到交通網(wǎng)絡(luò)中部分出行者接受誘導(dǎo)中心的指揮、按照系統(tǒng)最優(yōu)的原則選擇路徑，而其他出行者根據(jù)個(gè)人成本最小的原則擇路，文獻(xiàn)[6]以及文獻(xiàn)[7]建立了刻畫(huà)這種混合交通行為的變分不等式模型，推導(dǎo)了混合交通行為網(wǎng)絡(luò)的效率損失上界。研究表明一般情況下的效率損失上界與具體被研究的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和交通需求水平等有關(guān)。

現(xiàn)實(shí)中交通網(wǎng)絡(luò)是多模式的，多層次是多模式的伴生特征，并且已有研究表明多層次交通網(wǎng)絡(luò)具有比非層次網(wǎng)絡(luò)更好的性能[8-9]。本文研究了具有多層次結(jié)構(gòu)的交通網(wǎng)絡(luò)中系統(tǒng)最優(yōu)與用戶均衡所構(gòu)成的混合均衡情況下效率損失問(wèn)題，建立了混合均衡的等價(jià)變分不等式，并分析了多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失上界。該研究結(jié)果表明效率損失上界與交通網(wǎng)絡(luò)層次結(jié)構(gòu)、道路路況、交通需求水平、交通誘導(dǎo)信息滲透率等因素直接相關(guān)，若不考慮層次性可得文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[2]的分析結(jié)果。

1 問(wèn)題闡述及符號(hào)

考慮交通網(wǎng)絡(luò)G=(V，E)，V為節(jié)點(diǎn)集合，E為區(qū)域所有路段集合。記W={w}為所有起訖點(diǎn)(OD對(duì))的集合，Rw為OD對(duì)w∈W之間的所有路徑構(gòu)成的集合。va為路段a∈E的交通流量,為相應(yīng)向量；設(shè)為路徑OD對(duì)w間r∈Rw上的交通流量，記為路徑流量向量。記為交通網(wǎng)絡(luò)中邊-路徑關(guān)聯(lián)矩陣，當(dāng)邊a在路徑r上時(shí)，否則，；記為交通網(wǎng)絡(luò)中OD-路徑關(guān)聯(lián)矩陣，若路徑r∈Rw，則，否則。設(shè)路段a上的可分離的路段成本函數(shù)為ca(va)是非負(fù)可微的，并且是關(guān)于路段流量va的單調(diào)遞增凸函數(shù)；ca(va)∈C，C是給定的路段成本函數(shù)類，比如C是一簇多項(xiàng)式函數(shù)。

假設(shè)對(duì)區(qū)域交通網(wǎng)絡(luò)中所有路段按照功能和技術(shù)等級(jí)分為不同層次，其中代表區(qū)域中交通模式的層次集合。設(shè)X為實(shí)數(shù)集合，對(duì)每個(gè)層次賦予一個(gè)度量用以指示其對(duì)出行者的相對(duì)吸引強(qiáng)度，且滿足，則將l?稱為層次因子[8]。利用交通網(wǎng)絡(luò)層次因子給出OD對(duì)w間路徑r上的廣義路徑費(fèi)用

出行費(fèi)用的選擇受到用戶學(xué)習(xí)和選擇行為的影響，可參考文獻(xiàn)[10]。

由于交通系統(tǒng)中存在安裝有先進(jìn)交通信息系統(tǒng)（ATIS）和無(wú)ATIS裝置的兩類出行者，他們各自遵循SO和UE兩種不同的路徑選擇原則，這種混合交通行為將導(dǎo)致混合均衡。假設(shè)OD對(duì)w上的市場(chǎng)滲透率皆為滿足某種分布，本文采用常用的均勻形式，即。若OD對(duì)w之間的交通需求量為qw（記為相應(yīng)向量），則有裝置用戶的OD需求量為λqw，無(wú)裝置用戶的OD需求量為。下文用標(biāo)記“”和“”分別表示有裝置和無(wú)裝置用戶的相關(guān)變量，例如，表示有裝置用戶的路徑流量和路段流量，和表示有裝置用戶的路徑流量向量和路段流量向量。不妨記路段a上混合交通流為，記路徑r∈Rw上的混合交通流為，并記為相應(yīng)的向量。

2 多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡及其變分不等式

層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡，是具有多層次結(jié)構(gòu)交通網(wǎng)絡(luò)中部分用戶追求系統(tǒng)最優(yōu)而其他用戶追求用戶平衡所達(dá)到的一種均衡狀態(tài)；滿足系統(tǒng)最優(yōu)條件的出行者內(nèi)部，沒(méi)有任何出行者可以通過(guò)單方面改變出行路徑來(lái)降低其最小綜合出行費(fèi)用，而對(duì)于滿足層次均衡條件的出行者而言，都不能通過(guò)單方面改變出行路徑來(lái)減少其最小出行費(fèi)用。其中，系統(tǒng)最優(yōu)條件和層次均衡條件如下

1）系統(tǒng)最優(yōu)條件

2）層次均衡條件[9]

該條件的解釋：若OD對(duì)w間路徑r上沒(méi)有交通流，則路徑r的層次路徑費(fèi)用不小于最小層次路徑費(fèi)用；若OD對(duì)w間路徑r上有交通流，則路徑r的層次路徑費(fèi)用等于最小層次路徑費(fèi)用，且交通流選擇盡可能多包含較高層次路段的路徑。

定理1設(shè)路段費(fèi)用函數(shù)是關(guān)于的單調(diào)遞增凸函數(shù)，則多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡等價(jià)于：求，使下述變分不等式成立

證明由變分不等式模型的Karush-Kuhn-Tucker條件，知

即為交通網(wǎng)絡(luò)混合平衡條件，故有結(jié)論。

3 多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失上界

以下分析多層次交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失上界。

將fS分解為，則代入定理1中的變分不等式并整理，可得

根據(jù)城市道路網(wǎng)絡(luò)中各層次道路子網(wǎng)絡(luò)即支路子網(wǎng)絡(luò)、次干路子網(wǎng)絡(luò)、主干路子網(wǎng)絡(luò)的比例構(gòu)架呈現(xiàn)從底到頂?shù)慕鹱炙褪剑虼?，較低層次道路子網(wǎng)絡(luò)的車(chē)輛出行總費(fèi)用在一般情況下會(huì)較高。于是，結(jié)合式（1），式（6）不等號(hào)右邊的式子

而（6）式不等號(hào)左邊的式子

于是，（6）式變?yōu)?/p>

對(duì)某個(gè)層次，對(duì)屬于該層次的每條路段定義參數(shù)

于是，得到下述混合均衡效率損失上界定理如下。

定理2假設(shè)可分離的路段費(fèi)用函數(shù)ca(va)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，所有ca構(gòu)成一個(gè)函數(shù)類C；設(shè)受控于交通誘導(dǎo)中心的用戶占交通網(wǎng)絡(luò)總需求的比例為λ∈(0，1)，系統(tǒng)最優(yōu)與用戶平衡行為共同作用下的混合均衡的路徑（路段）流量解分別為；并設(shè)交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)最優(yōu)的路徑（路段）流量解為。那么混合均衡的效率損失存在如式（11）所示的上界。

效率損失上界與交通網(wǎng)絡(luò)層次性結(jié)構(gòu)、受控于交通誘導(dǎo)信息的出行者比例、路段成本函數(shù)類型等因素相關(guān)。上述效率損失上界界定了在最壞情況下交通網(wǎng)絡(luò)的性能，由于現(xiàn)實(shí)交通網(wǎng)絡(luò)中路段零流成本ca(0)＞0，考慮到這一點(diǎn)[3]，現(xiàn)實(shí)交通網(wǎng)絡(luò)的效率損失要更小一些。沿用定理2的符號(hào)，類似于文獻(xiàn)[6]，下述定理給出了一個(gè)更精確的上界。

定理3對(duì)，假設(shè)存在依賴于混合均衡流量的，使得零流成本滿足。那么混合均衡與系統(tǒng)最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)總成本之比ρM存在如下上界

4 多項(xiàng)式路段費(fèi)用函數(shù)情形下的效率損失上界

沿用定理2的符號(hào)和定理3中假設(shè)，定理4將給出采用常用的BPR路段費(fèi)用函數(shù)情況下更吻合實(shí)際的上界。

解之，即得

從而，將va的解代入（9）和（10）式，有

，都依賴于混合均衡流量解，且該解是與交通網(wǎng)絡(luò)層次性結(jié)構(gòu)直接相關(guān)，為了顯性地表達(dá)此含義，令。從而，得到路段費(fèi)用采用BPR函數(shù)時(shí)的交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡效率損失上界

定理4取BPR函數(shù)即（自然數(shù)集），那么交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失上界如上面的式（15）所示。

推論1在多層次交通網(wǎng)絡(luò)中，假定不存在交通誘導(dǎo)與控制中心以保證網(wǎng)絡(luò)中部分車(chē)輛按系統(tǒng)最優(yōu)方式選擇出行路徑，則在該類交通網(wǎng)絡(luò)中效率損失上界為

證 明由 推 論 中 的 假 定 知λ=0 ，則。 于 是 ，，故有效率損失上界如（16）式。

推論2若不考慮交通網(wǎng)絡(luò)層次性，則交通網(wǎng)絡(luò)混合均衡的效率損失為

稍作說(shuō)明，推論2與文獻(xiàn)[6]所得結(jié)果一致。

證明在交通網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有層次結(jié)構(gòu)的情況下，所有路段處于同一層次，即 ||H=1。且因?yàn)闆](méi)有層次性，路徑費(fèi)用函數(shù)不用層次因子加權(quán)，仍按通常的表達(dá)方式進(jìn)行計(jì)算，即（1）式變?yōu)椋瑥亩鶕?jù)定理2和定理4的推導(dǎo)過(guò)程，可知式（17）成立。式中，是在不考慮層次結(jié)構(gòu)情況下的表示 ，因?yàn)榇藭r(shí)已與層次結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān) ，自然與層次結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān) ，所以，

根據(jù)推論2，進(jìn)一步假設(shè)λ=0，則

若還不考慮定理中關(guān)于零流成本ca(0)的假設(shè)，即，那么可得當(dāng)n=1時(shí)，即有，這與文獻(xiàn)[2]的結(jié)果一致。

5 結(jié)論

交通誘導(dǎo)信息在某種程度上提高了交通效率，降低了交通擁堵，但人們自私的出行行為使得交通網(wǎng)絡(luò)無(wú)法達(dá)到理想的系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)。給出了多層次交通網(wǎng)絡(luò)中混合均衡的等價(jià)變分不等式及效率損失上界，交通網(wǎng)絡(luò)效率損失上界與層次結(jié)構(gòu)、交通需求水平、交通誘導(dǎo)信息滲透率、道路狀況等多種因素有關(guān)，研究方法具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。此外，流量分布還受交通需求的分布形態(tài)、交通信息的分布形態(tài)、用戶出行偏好特點(diǎn)、交通管理政策等諸多因素的影響，因此，交通網(wǎng)絡(luò)效率損失上界也受到這些現(xiàn)實(shí)因素的影響。

有研究表明多層次交通網(wǎng)絡(luò)的性能會(huì)比傳統(tǒng)不考慮層次性情況下所優(yōu)化設(shè)計(jì)出交通網(wǎng)絡(luò)的性能大幅提升[8-9]，因此，本文融合層次性這一反映客觀實(shí)際的結(jié)構(gòu)形式對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)的效率損失進(jìn)行研究，對(duì)設(shè)計(jì)效率更高、性能更優(yōu)的交通網(wǎng)絡(luò)具有重要意義。相較于通常研究中采用的非層次交通網(wǎng)絡(luò)，多層次交通網(wǎng)絡(luò)究竟在多大程度上降低混合均衡的效率損失，這將是下一步的工作。

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