熊輝 蔡思潔

(東莞理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東東莞 523808)

1 八卦與九宮的代數(shù)性質(zhì)

九宮圖是階數(shù)最低的縱橫圖，又名三階幻方。據(jù)曲安京考證［1］，最早提到九宮圖形制的文字大約見于西漢時(shí)期的緯書，如《易乾鑿度》稱:

太乙取其數(shù)以行九宮，四正四維皆合于十五。

文王后天八卦圖中的卦象排列有這樣的歌詞來幫助記憶:

一數(shù)坎兮二數(shù)坤，三震四巽數(shù)中分。

五寄中宮六乾是，七兌八艮九離門。

大德南懷瑾感嘆曰:由此歌謠，古人教育方法之高明可見一斑。

后天八卦所對應(yīng)的排列方式其實(shí)就是九宮陣，用現(xiàn)代的矩陣表示就是

在該矩陣中，除了相對的兩個(gè)卦加起來合而為十和任何一行，一列、主對角線、副對角線上的三數(shù)之和都是十五之外，它還滿足很多代數(shù)恒等式。把每行的三個(gè)數(shù)字分別合為一個(gè)三位數(shù)，如第一行、第二行、第三行分別為618、753、294;再把從左到右每行的三個(gè)數(shù)字從右到左分別合為一個(gè)三位數(shù)，如第一行、第二行、第三行分別為816、357、492。簡單的計(jì)算就能驗(yàn)證到，他們不但和相等，而且平方和也相等，列表如下:

此外，該方陣還有更令人嘆為觀止的性質(zhì)，就是矩陣在乘方后，會保持某種不變性。有關(guān)這一運(yùn)算性質(zhì)的詳細(xì)敘述請參閱文獻(xiàn) ［2］。本文的主要目的，是希望把這些不變性納入“近世代數(shù)”的范疇，并建立相應(yīng)的代數(shù)群，利用代數(shù)群論的知識，來給八卦九宮中的這些算法一個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)上的合理解釋。

2 消息運(yùn)算群

1～9這九個(gè)數(shù)字組成的三階方陣總共有9!=362 880種，但只有其中的八種滿足以上的代數(shù)恒等式(這些恒等式本文中合稱之為九宮性質(zhì))。為什么剛好是八種而不是其他數(shù)目，這可能是個(gè)很耐人尋味的問題。因?yàn)榘瞬坏前素缘目傌詳?shù)，也是具有代表性的方位的總數(shù)，更是90度旋轉(zhuǎn)變換和鏡面反射的種類之和。

在建立群論之前，首先簡單介紹一下代數(shù)群的數(shù)學(xué)概念［3］。

定義1 設(shè)A是一個(gè)非空集合，如果對任意兩個(gè)元素α1，α1∈A，都滿足α1?α1=α∈A，則稱“?”是一個(gè)定義在A上的代數(shù)運(yùn)算。如果對任意α∈A，都滿足σ(α)∈A，則稱“σ”是一個(gè)定義在A上的代數(shù)變換。

例1 由于任意兩個(gè)整數(shù)相加或相乘還是整數(shù)，所以普通的加法和乘法是定義在整數(shù)集合上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。

例2 設(shè)σ1(α)=2·α，其中·為普通乘法。因?yàn)榕紨?shù)乘以2仍舊是偶數(shù)，因此σ1是偶數(shù)集合上的代數(shù)變換。

定義2 設(shè)A是一個(gè)非空集合，如果在A上滿足以下三點(diǎn):

1)A上的代數(shù)運(yùn)算對任意元素a，b，c∈A滿足結(jié)合律:

2)A中有唯一的元素e，稱為單位元，且對任意元素a∈A滿足

3)A對任意元素a∈A，A中都有唯一的元素a－1，稱為a的逆元，且滿足

則稱A對于運(yùn)算?成為一個(gè)群。如果對任意元素a，b∈A還滿足

則稱A是一個(gè)交換群或Abel群。

在陰爻和陽爻中每次任取一爻，連取三次就可以得到八卦。設(shè)集合

B={乾，兌，離，震，巽，坎，艮，坤}。

令陽爻為1，陰爻為0，從初位到上位依次把八卦轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，則消息運(yùn)算可重新定義如下。定義3 設(shè)B是如上的八卦二進(jìn)制集合

B={111，110，101，100，011，010，001，000}，

任取其中的兩個(gè)元素，定義一種消息運(yùn)算?，表示對應(yīng)位的數(shù)字相加，然后重新組成一個(gè)三位二進(jìn)制數(shù)，即得到一個(gè)新卦。需要注意的是，在二進(jìn)制中，1+1=10，取個(gè)位的話則為1+1=0，然后向前進(jìn)一位，如果進(jìn)位后變成四位數(shù)的話，則取后三位。

例3 取離卦 (101)和艮卦 (001)，根據(jù)消息運(yùn)算，有

101?001=(1+0)(0+0)(1+1)=100(即艮卦)。

取兌卦 (110)和離卦 (101)，根據(jù)消息運(yùn)算，有

110?101=(1+1)(1+0)(0+1)=1 011=011(即巽卦)。

定理1 設(shè)B是如上的八卦二進(jìn)制集合，則對于消息運(yùn)算?，B是一個(gè)Abel群。

證明 對于任意兩個(gè)元素，由于普通加法滿足交換率，因此只要B是一個(gè)群的話，則必然也是一個(gè)交換群，即Abel群。因此，只要證明B是一個(gè)群就可以了。因普通加法滿足結(jié)合律，因此消息運(yùn)算?也滿足結(jié)合律。

由于坤卦α1=000在加法中不起作用，即與其它卦α1，…，α8做消息運(yùn)算后滿足

因此坤卦是B的單位元。另外，由于1+0=1，0+1=1，0+0=0，1+1=0。

因此對應(yīng)于單位元坤卦來說，每個(gè)卦在集合居中都有唯一的逆元。如乾卦的逆元為艮卦，兌卦的逆元為坎卦，離卦的逆元為巽卦，震卦的逆元為震卦自身，坤卦的逆元也是坤卦自身。

八卦群的這一性質(zhì)可以用另外一個(gè)也恰好有八個(gè)元素的Abel群來印證。設(shè)

在集合S中定義一種代數(shù)運(yùn)算?，記為?，得出的乘積是正常乘法之積的后五位數(shù)，如:

簡單的驗(yàn)證就可以發(fā)現(xiàn)，交換率和結(jié)合率對這種變態(tài)乘法仍然成立，即

這個(gè)集合S滿足“封閉性”，即任意兩個(gè)元素經(jīng)過?運(yùn)算后，得到的“積”仍舊屬于S;且由于

90 625?90 625=90 625，

因此稱90 625單位元。另外，集合S可以完全由其中任一元素通過?運(yùn)算單獨(dú)“生”出來，如取21 875，先定義an為a×a×… ×a(共n個(gè)相乘)乘積的最后五位數(shù)，則有

由于八次方后得到單位元，因此再乘方的話就會產(chǎn)生循環(huán)。也就是說，這個(gè)集合或代數(shù)群只有八個(gè)元素。群S和八卦群B有很多相似之處，因此從具體的角度而言，可以用群S來研究八卦群的性質(zhì)。群S可以由其中任何一個(gè)元素全部衍生出來，最后歸于單位元90 625;而八卦群B也可以從其中任一個(gè)元素生出來，并且也最后歸于單位元坤卦。從乾卦開始，對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)每次遞減1，直到等于0，這就是坤卦。這一過程其實(shí)就相當(dāng)于上述群S中的乘方運(yùn)算。這一對應(yīng)實(shí)例似乎可以說明，八卦體系如果采用近世代數(shù)中的群論來研究的話，應(yīng)該可以找到新的生機(jī)和新的科學(xué)與哲學(xué)意義。

3 代數(shù)變換群

前文說過，滿足九宮性質(zhì)的三階方陣只有八種，這暗合著八卦的種類，但這也許只是個(gè)巧合。在這一小節(jié)里，要建立一個(gè)正交變換群，這個(gè)群里也剛好只有八個(gè)元素，并可以一一對應(yīng)到八種三階幻方。顯然，八種三階幻方都是都過(1)式的矩陣A多次逆時(shí)針轉(zhuǎn)置或行行交換與列列交換而產(chǎn)生的，下面，我們將從群論的角度來說明這一過程。

以正方形的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示。根據(jù)這個(gè)圖和坐標(biāo)系，定義一種代數(shù)變換 (見定義1)，稱為正交變換。

定義4 設(shè)A是一個(gè)非空集合，σ是一個(gè)定義在A上的代數(shù)變換，如果該變換還保證原圖中任意兩點(diǎn)之間的距離在經(jīng)過σ變換后能保持不變，則該變換稱為正交變換。

由正交變換的性質(zhì)，不難看出，正方形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)恰好有八種正交變換。設(shè)變換σ1表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，變幻σ2表示關(guān)于鏡面反射。則這八種正交變換可以組成一個(gè)八元素的集合，即

圖1 從正方形的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系

如果對上圖中的直角坐標(biāo)系定義上北下南、左西右東，則恒等變換就相當(dāng)于乾卦在西北方的八卦圖。而變換σ21，即旋轉(zhuǎn)180度，這時(shí)的卦圖方位就是中國古代經(jīng)典的上南下北、左東右西。

三階方陣中滿足九宮性質(zhì)的矩陣只有八種，其根本的數(shù)學(xué)原理，是由自然數(shù)的性質(zhì)決定了，但其體現(xiàn)形式是多種多樣的。在眾多的體現(xiàn)形式中，最具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)意義的，就是用近世代數(shù)的群論的方法，構(gòu)造代數(shù)運(yùn)算群和代數(shù)變換群。

［1］曲安京.中國古代科學(xué)技術(shù)史綱:數(shù)學(xué)卷［M］.沈陽:遼寧教育出版社，2000:378.

［2］熊輝.代數(shù)與中國古代經(jīng)典［M］.北京:中國出版集團(tuán)，2010.

［3］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.2版.北京:高等教育出版社，1999.