馬英,李令強(qiáng),孟廣武

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)院,山東聊城 252059)

初始的L-外部空間

馬英,李令強(qiáng),孟廣武

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)院,山東聊城 252059)

研究了初始的L-外部空間.構(gòu)造了L-外部空間范疇的初始結(jié)構(gòu),并由此定義了L-外部空間的乘積結(jié)構(gòu)和子空間結(jié)構(gòu),證明了L-外部空間范疇是L-預(yù)外部空間范疇的余反射子范疇.

L-外部空間;L-拓?fù)淇臻g;初始的L-外部空間

1 引言及預(yù)備

自從文獻(xiàn)[1]把模糊集理論引入拓?fù)湟詠?很多學(xué)者從不同的角度出發(fā)討論了各種各樣的模糊拓?fù)淅碚揫15].按照H¨ohle[5]的概念和符號(hào),根據(jù)模糊化程度的不同模糊拓?fù)淇梢苑譃槿N類型:(1)L-拓?fù)?集合是模糊的拓?fù)涫欠置鞯?;(2)Fuzzifying拓?fù)?集合是分明的拓?fù)涫悄：?;(3)L-模糊拓?fù)?集合和拓?fù)涠际悄：?,其中L為某個(gè)格結(jié)構(gòu).同時(shí),人們還研究了比模糊拓?fù)涓鼮閺V泛的空間結(jié)構(gòu),比如L-閉包空間、L-內(nèi)部空間[38]、L-保序算子空間[9]等.文獻(xiàn)[10]引入了L-外部空間的概念,并且證明了逆冪等的L-外部空間與L-拓?fù)淇臻g是一一對(duì)應(yīng)的.本文將繼續(xù)對(duì)這一概念展開討論,構(gòu)造了L-外部空間范疇的初始結(jié)構(gòu),并由此定義了L-外部空間的乘積結(jié)構(gòu)和子空間結(jié)構(gòu),證明了L-外部空間范疇是文獻(xiàn)[11]的L-預(yù)外部空間范疇的余反射子范疇.

如未加說明,本文中的L表示帶有逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)完備的Heyting代數(shù).有關(guān)L-拓?fù)涞母拍詈徒Y(jié)論請(qǐng)參考文獻(xiàn)[4-6],有關(guān)范疇的概念請(qǐng)參考文獻(xiàn)[12].

定義1.1[5]設(shè)f:X→Y是普通映射,則f誘導(dǎo)出一個(gè)從LX到LY的序同態(tài),稱為L(zhǎng)-值Zadeh型函數(shù),記作f→:LX→LY,這里

定義1.2設(shè)(X,e1)與(Y,e2)為兩個(gè)L-外部空間,f:X→Y是普通映射.稱f為連續(xù)的.若?B∈LY,有

2 主要結(jié)果

定義2.1[10]設(shè)X為非空集,稱映射e:LX→LX為X上的一個(gè)L-外部算子若:

(1)e(0)=1;(2)e(A)≤A′;(3)e(A∨B)=e(A)∧e(B),稱序?qū)?X,e)為L(zhǎng)-外部空間,如果:(4)e((e(A))′)=e(A),稱e為逆冪等的.

定義2.2[11]稱映射e:LX→LX為X上的一個(gè)L-預(yù)外部算子,如果它滿足定義2.1中(1),(2),(4)和條件(3):e是逆序的,即當(dāng)A,B∈LX且A≤B時(shí),e(A)≥e(B).

定理2.1[10]設(shè)(X,δ)是一個(gè)L-拓?fù)淇臻g,則映射eδ:LX→LX,

為X上的一個(gè)L-外部算子.

定義2.3設(shè)e1與e2均為X上的L-外部算子,稱e1比e2細(xì)(或e2比e1粗)若e1≥e2.

定理2.2設(shè){(Xi,ei)}i∈Γ為一族L-外部空間,X為一集合,fi:X→Xi,(i∈I}為一族映射.定義映射e:LX→LX如下:

其中第一個(gè)∨是對(duì)所有滿足條件

的集族來取的,則下列結(jié)論成立:

(1)e是X上使得所有fi(i∈Γ)都連續(xù)的最粗的L-外部算子;

(2)若{(Xi,ei)}i∈Γ是拓?fù)涞?e也是拓?fù)涞?

(3)設(shè)(Y,e*)為L(zhǎng)-外部空間,則映射f:(Y,e*)→(X,e)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?i∈Γ,映射fi?f:(Y,e*)→(Xi,ei)連續(xù).

證明(1)(I)先證e是L-外部算子.

①e(0)=1.任取集族

故f連續(xù).

記由L-外部空間和連續(xù)映射構(gòu)成的范疇為L(zhǎng)-ES.

定理2.3遺忘函子U:L-ES→SET,U(X,e)=X,U(f)=f是拓?fù)涞?

證明由定理2.2知每一個(gè)U-source(fi:X→U(Xi,ei))i∈Γ都有一個(gè)唯一的U-初始的提升(fi:(X,e)→U(Xi,ei))i∈Γ,其中e如定理2.2所定義.

由定理2.2和定理2.3得如下定義:

定義2.4設(shè){(Xi,ei)}i∈Γ為一族L-外部空間,X為一集合,fi:X→Xi,(i∈I}為一族映射.X上關(guān)于(X,fi,(Xi,ei))(i∈Γ)的初始的L-外部算子結(jié)構(gòu)為使得所有fi都連續(xù)的最粗的L-外部算子.

定義2.5設(shè){(Xi,ei)}i∈Γ為一族L-外部空間,

為X1,X2,…,Xn的笛卡爾積.任取i∈I,取fi=pi為投射,稱(X,e)為{(Xi,ei)}i∈Γ的乘積空間,其中e為X上關(guān)于(X,fi,(Xi,ei))(i∈Γ)的初始的L-外部算子結(jié)構(gòu).

定義2.6設(shè)(X,e)為L(zhǎng)-外部空間,Y?X,idY:Y→X為含入映射.稱(Y,^e)為(X,e)的子空間,其中^e為Y上關(guān)于(Y,idY,(X,e))的初始的L-外部算子結(jié)構(gòu).

推論2.1設(shè){(Xi,ei)}i∈Γ為一族L-預(yù)外部空間,X為一集合,fi:X→Xi,(i∈I}為一族映射.定義映射e:LX→LX如下:

其中第一個(gè)∨是對(duì)所有滿足條件

的集族來取的.則下列結(jié)論成立:

(1)e是X上使得所有fi(i∈Γ)都連續(xù)的最粗的L-外部算子;

(2)設(shè)(Y,e*)為L(zhǎng)-外部空間,則映射f(Y,e*)→(X,e)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?i∈Γ,映射fi?f:(Y,e*)→(Xi,ei)連續(xù).

證明注意到定理2.2的(1)中證明只用到了L-外部算子的逆序性,并未用到其并交性質(zhì).同樣,在(3)中也只用到了e的逆序性(當(dāng)然用到了e*的交并性).

設(shè)(X1,e1)為L(zhǎng)-預(yù)外部算子空間,f1=idX1,e如上面推論所定義,記為c(e1).任取L-外部算子空間(Y,e*)和連續(xù)映射f:(Y,e*)→(X1,e),由推論2.1知下圖交換:

推論2.2L-ES是L-PES(L-預(yù)外部空間范疇)的余反射子范疇.

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[12]賀偉.范疇論[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

Initial L-exterior spaces

Ma Ying,Li Lingqiang,Meng Guangwu
(Department of Mathematics,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

The initial L-exterior spaces are discussed.We construct the initial structure of the category of L-exterior spaces,and then define p roduct space and subspace of L-exterior spaces by the initial structure,p rove the category of L-exterior spaces is a coreflective subcategory of the category of L-p reexterior spaces.

L-exterior spaces,L-topological spaces,initial L-exterior spaces

O189.1

A

1008-5513(2012)03-0384-07

2011-02-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(60875034).

馬英(1986-),碩士生,研究方向：格上拓?fù)鋵W(xué).

2010 MSC:54A 10