徐炳祥,曾志軍

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林長春 130024；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南長沙 410075)

一類具有HollingⅠⅠⅠ型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的周期解的存在性

徐炳祥1,2,曾志軍1

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,吉林長春 130024；2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南長沙 410075)

利用重合度理論中的延拓定理研究帶有開發(fā)利用項的具有HollingⅠⅠⅠ型功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng),得到了兩個正周期解存在的充分條件,得到了一些新的結(jié)果.關(guān)鍵詞：重合度；周期解；捕獲項；HollingⅠⅠⅠ功能性反應(yīng)

1 引言

具有功能性反應(yīng)的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性問題成為了數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中的一個很熱門的方向.很多作者利用各自不同的方法得到了許多種類的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性,例如文獻(xiàn)[1-4]中,作者分別針對帶不同的功能性反應(yīng)函數(shù)的生態(tài)系統(tǒng)證明了其周期解的存在性.近來,越來越多的學(xué)者開始關(guān)注具有開發(fā)利用項的生態(tài)系統(tǒng)的周期解的存在性問題[59].由于人類對生態(tài)資源的嚴(yán)重依賴,因此研究這個問題具有很強的現(xiàn)實意義,而且在文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)加入開發(fā)利用項時,周期解的個數(shù)會增加,這有助于人類對生態(tài)資源進(jìn)行合理的開發(fā)利用.本文利用重合度理論中的延拓定理來討論如下生態(tài)系統(tǒng)周期解的存在性,給出其充分條件.

在系統(tǒng)(1)中,x(t),y(t)分別代表食餌和捕食者種群的密度,r(t),b(t),c(t),d(t),f(t),h(t)是周期為ω的連續(xù)函數(shù),r(t),b(t)分別代表食餌的出生率和死亡率,積分f(t)代表捕食者的能量轉(zhuǎn)化率,d(t)代表其死亡率,h(t)是開發(fā)利用項,代表人類對種群系統(tǒng)的影響.功能性反應(yīng)函數(shù)為HollingⅠⅠⅠ型,有關(guān)此功能性反應(yīng)的詳細(xì)說明可以參考文獻(xiàn)[10].系統(tǒng)(1)的生態(tài)學(xué)意義在文獻(xiàn)[11]中有詳細(xì)的說明.

出于行文簡潔的需要,本文約定采用如下記號:

其中g(shù)(t)是有界連續(xù)函數(shù).

2 主要結(jié)果

為了證明周期解的存在性,先來回顧一下重合度理論中的延拓定理以及相關(guān)知識,其將作為證明的主要工具.

參考文獻(xiàn)

[1]葉丹,范猛,張偉鵬.一類捕食者-食餌系統(tǒng)正周期解存在性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2004,19(2):161-16.

[2]柏靈,王克.一類具有比率性功能反應(yīng)的食物鏈系統(tǒng)周期解的存在性[J].東北師大學(xué)報,2003,35(1):1000-1832.

[3]葉丹,范猛,張偉鵬.一類具Holling II功能性反應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)非平凡周期解的存在性[J].數(shù)學(xué)學(xué)報, 2004,21(4):504-508.

[4]Fan M,Wang K.Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system[J].J.Math.Anal.Appl., 2001,262:179-190.

[5]Wu X M,Li J W,Wang Z C.Existence of positive periodic solutions of a generalized predator-prey model with harvesting terms[J].Computer Math.Appl.,2008,55:1895-1905.

[6]Tian D S,Zeng X W.Existence of at least two periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey model with exploited term[J].Acta.Math.Appl.Sin.English.Ser.,2005,21(3):489-494.

[7]Zhang Z Q,Hou Z T.Existence of four Periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey system with multiple exploited(or harvesting)terms[J].Nonlinear Anal.RWA,2010,11:1560-1571.

[8]Li Z H,Zhao K H,Li Y K.Multiple positive periodic solutions for a non-autonomous stage-structured predatory-prey system with harvesting terms[J].Commun.Nonlin.Sci.Numer.Simul.,2010,15:2140-2148.

[9]Hu D W,Zhang Z Q.Four positive periodic solutions to Lotka-Volterra cooperative system with harvesting terms[J].Nonlinear Anal.RWA.,2010,11:1115-1121.

[10]陳蘭蓀.生物數(shù)學(xué)引論[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

[11]Wang L L,Li W T.Periodic solution and permanence for a delayde nonautornomous ratio-dependent predator-prey mode with Holling type functional response[J].J.Comput.Appl.Math.,2004,162:341-357.

Existence of periodic solutions of predator-prey system with HollingⅠⅠⅠfunctional response

Xu Bingxiang1,2,Zeng Zhijun1

(1.School of Mathematics and Statistics,Northeast Normal University,Changchun130024,China； 2.School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha410075,China)

By using the coincidence degree theory,we investigate the existence of positive periodic solutions of predator-prey system with Holling III functional response and exploited terms.Some new criteria are established for the existence of periodic solutions.

coincidence degree,periodic solution,exploited term,Holling III functional response

O175.14

A

1008-5513(2012)04-0523-08

2011-04-01.

國家自然科學(xué)基金(11101075)；教育部博士點新教師基金(20090043120009)；國家大學(xué)生創(chuàng)新性實驗計劃項目(091020024).

徐炳祥(1989-),碩士生,研究方向：馬爾可夫過程及其應(yīng)用.

曾志軍(1979-),博士,副教授,研究方向:微分方程及控制理論.

2010 MSC:34K13,92D25