施建華,林影

(1.漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,福建漳州 363000；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院,上海 200433； 3.寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建寧德 352100)

關(guān)于兩兩NQD序列部分和的完全收斂性

施建華1,2,林影3

(1.漳州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,福建漳州 363000；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院,上海 200433； 3.寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,福建寧德 352100)

研究了兩兩NQD序列部分和完全收斂性的較一般形式,通過(guò)NQD序列的截尾方法,以及相關(guān)引理,在較寬泛的條件下,得到一類較為廣泛的完全收斂性的結(jié)果.

NQD序列；完全收斂性；緩變函數(shù)

1 引言及引理

完全收斂性是概率極限理論的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容,自1947年Hsu和Robbins提出完全收斂性概念以來(lái),許多學(xué)者致力于這方面的研究.對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量的情形,完全收斂性已有了很深入的結(jié)果[1-3].與此同時(shí),由于實(shí)際應(yīng)用的需要,這一課題也轉(zhuǎn)向非獨(dú)立情形的研究,如兩兩NQD序列情形.

近年來(lái),關(guān)于兩兩NQD序列完全收斂性的研究引起一些學(xué)者和研究人員的注意.文獻(xiàn)[4]指出了兩兩NQD列與獨(dú)立列的一個(gè)本質(zhì)性區(qū)別,并提出了解決兩兩NQD列幾乎處處收斂和完全收斂的一種方式.文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步討論完全收斂性,取消了文獻(xiàn)[4]討論兩兩NQD列時(shí)的附加條件φ*(1)＜1,研究更為寬泛的包含兩兩NQD列的一類隨機(jī)變量序列的完全收斂性,在同分布的條件下,給出較兩兩NQD列部分和之最大值的更一般形式的完全收斂性的充要條件.文獻(xiàn)[6]在一定的條件下獲得了兩兩NQD序列的一般雙下標(biāo)加權(quán)系數(shù)的加權(quán)部分和的Lp收斂性和完全收斂性.文獻(xiàn)[7]在h-可積的條件下,討論了關(guān)于兩兩NQD陣列加權(quán)和完全收斂性的兩個(gè)重要定理.

本文在類似于文獻(xiàn)[3,8]所示的較寬泛的相關(guān)條件下,討論兩兩NQD序列的完全收斂性,得到一類較為廣泛的結(jié)果.以下記C為正常數(shù),并允許在不同的地方表示不同的值,X為隨機(jī)變量,同時(shí)令

2 主要結(jié)果及其證明

在討論完全收斂性的相關(guān)結(jié)論中,文獻(xiàn)[3,8]曾引入如下類型函數(shù),這里做了一些改變.

假設(shè)函數(shù)φ(x)和H(x)皆為在[0,+∞)上有定義的正值單調(diào)函數(shù),且H(x)↑∞,令H-1(x)為H(x)的反函數(shù),

對(duì)ⅠⅠ,由條件(A),可得

從而(2.7)式成立.證畢.

由上述定理2.1可得到我們所熟知的一類完全收斂性結(jié)論,該結(jié)論是文獻(xiàn)[9]的結(jié)果在兩兩NQD序列下的推廣.

由緩變函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)αp∈[1,2)或αp∈[2,∞)時(shí),φ(x)為單調(diào)正值函數(shù),又H(x)在[0,+∞)上有定義,且H(x)↑∞.

下面一一驗(yàn)證上述三個(gè)函數(shù)滿足定理2.1的條件.由緩變函數(shù)性質(zhì)及分析學(xué)的知識(shí)、引理1.4,易得.

(A)存在常數(shù)c1,c2＞0,使得對(duì)任意n≥1,有

對(duì)ⅠⅠ,由已知條件,有

結(jié)合注2,即得推論2.4.

[1]白志東,蘇淳.關(guān)于獨(dú)立和的完全收斂性[J].中國(guó)科學(xué):A輯,1985(5):399-412.

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[4]王岳寶,蘇淳,劉許國(guó).關(guān)于兩兩NQD列的若干極限性質(zhì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1998,21(3):404-414.

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[10]林正炎,陸傳榮,蘇中根.概率極限理論基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,1999.

On the complete convergence of the partial sum with NQD sequences

Shi Jianhua1,2,Lin Ying3

(1.Department of Mathematics and Information Science,Zhangzhou Normal University, Zhangzhou363000,China 2.School of Statistics and Management,Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai200433,China； 3.Department of Mathematics,Ningde Normal University,Ningde352100,China)

This article is concerned with the complete convergence for the partial sum of NQD sequences.By using several known lemmas and truncated method,two more general forms of complete convergence about NQD sequences are derived.

NQD random sequences,complete convergence,slow varying function

O211.4

A

1008-5513(2012)04-0483-10

2011-08-17.

福建省自然科學(xué)基金(2012J01028)；上海財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金(CXJJ-2012-423)；福建省教育廳資助科技項(xiàng)目(JA10204).

施建華(1977-),博士生,講師,研究方向：概率極限理論,應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué).

2010 MSC:60F15