廖廣輝

(徐州空軍勤務(wù)學(xué)院 武漢訓(xùn)練大隊(duì)，武漢 430033)

彈丸飛行穩(wěn)定性狀況對彈丸飛行彈道有直接影響，是外彈道研究的重要內(nèi)容。文獻(xiàn)［1］分析了火炮射角和彈丸長徑比對彈丸追隨穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的影響實(shí)質(zhì)，得到其影響規(guī)律，該研究對彈丸設(shè)計(jì)具有重要參考價(jià)值。文獻(xiàn)［2 -3］分別建立了脈沖力和脈沖力矩作用于彈道修正彈的彈道數(shù)學(xué)模型，對脈沖力和脈沖力矩影響下的彈丸穩(wěn)定性條件進(jìn)行了分析，其研究成果對彈道修正方案的選取具有參考意義。上述文獻(xiàn)均建立了6 自由度的剛體彈道模型，卻忽略了地球曲率的變化，對彈丸穩(wěn)定性的分析精度有一定影響。

本文建立了高速旋轉(zhuǎn)彈丸的質(zhì)點(diǎn)彈道模型、修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型和剛體彈道模型，且在剛體彈道模型中考慮了地球表面曲率變化的影響，旨在分析和得到不同彈道模型在彈丸穩(wěn)定性仿真中的優(yōu)劣與規(guī)律。

1 彈道模型

1.1 質(zhì)點(diǎn)彈道模型

質(zhì)點(diǎn)彈道方程是實(shí)際彈道的最簡單模型，一般作為研究實(shí)際彈道的基準(zhǔn)。它是將彈丸作為質(zhì)點(diǎn)處理，僅考慮重力和空氣阻力的作用，忽略攻角的存在(即δ=0)，是3 自由度的彈丸運(yùn)動(dòng)微分方程。本文采用綜合考慮自然風(fēng)、地球表面曲率及重力加速度變化和科氏加速度影響的彈丸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程組，可參考文獻(xiàn)［4］。

1.2 修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型

修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型是在質(zhì)點(diǎn)彈道模型的基礎(chǔ)上考慮了升力、馬氏力和彈丸攻角引起的誘導(dǎo)阻力，提高了計(jì)算精度，是4 自由度的彈丸運(yùn)動(dòng)微分方程。修正質(zhì)點(diǎn)彈道是空間曲線，相比于質(zhì)點(diǎn)彈道更接近實(shí)際彈道。本文只列出其與質(zhì)點(diǎn)彈道方程不同的部分［5］:

式中:bx為考慮攻角δ 影響的彈丸阻力系數(shù);δx、δy、δz的直接算法可參考文獻(xiàn)其他符號(hào)的物理意義可參考文獻(xiàn)［6］。

1.3 剛體彈道模型

剛體彈道方程包括質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、繞心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。本文基于坐標(biāo)變換理論建立地球曲率影響下的剛體彈道模型。

地球曲率對剛體外彈道模型影響的物理本質(zhì)是彈丸飛行過程中地面坐標(biāo)系相對于地面固聯(lián)坐標(biāo)系有旋轉(zhuǎn)角度φ［7］?？紤]地球曲率時(shí)的坐標(biāo)系如圖1 所示。

圖1 考慮地球曲率時(shí)的坐標(biāo)系

此時(shí)在彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程中，彈丸加速度可分解為地面坐標(biāo)系中的相對加速度和速度矢量v 隨φ 變化的牽連加速度×v;彈丸繞心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程中，彈丸所受合力矩可分解為地面坐標(biāo)系中的相對合力矩和動(dòng)量矩矢量L隨φ 變化的牽連力矩×L。

式中:∑Fix2、∑Fiy2、∑Fiz2為彈丸所受合力在速度坐標(biāo)系各軸上的分量;∑Miξ、∑Miη、∑Miζ為彈丸所受合力矩在彈軸坐標(biāo)系各軸上的分量;Bξ、Bη、Bζ和Cξ、Cη、Cζ分別為彈丸飛行t 時(shí)刻彈軸坐標(biāo)系相對于地面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)的ω 以及角速度矢量˙φ 與彈丸所受動(dòng)量矩矢量L 叉乘在彈軸坐標(biāo)系各軸上的分量。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)方程反應(yīng)彈丸飛行過程中相對地面固聯(lián)坐標(biāo)系的位置?？紤]地球曲率的作用，只需考慮彈丸的飛行高度和地球半徑將彈丸空中飛行速度向地面投影即可。

2 彈丸飛行穩(wěn)定性計(jì)算

彈丸穩(wěn)定飛行是指彈丸自發(fā)射至命中目標(biāo)的全飛行過程中攻角δ 始終較小或逐漸減小。彈丸穩(wěn)定性包括陀螺穩(wěn)定性、追隨穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

1)全彈道陀螺穩(wěn)定性計(jì)算

在彈道上任意點(diǎn)的陀螺穩(wěn)定因子

由4D 彈道模型或6D 彈道模型計(jì)算得到任意時(shí)刻的彈丸轉(zhuǎn)速速度v、插值計(jì)算的kz，可根據(jù)式(4)計(jì)算出該時(shí)刻的陀螺穩(wěn)定因子Sg。若每一時(shí)刻的Sg均大于1，則全彈道是陀螺穩(wěn)定的。

2)全彈道追隨穩(wěn)定性計(jì)算

由4D 彈道模型或6D 彈道模型計(jì)算得到任意時(shí)刻的彈丸攻角δ。若δ 始終不大于動(dòng)力平衡角的限定值［δp］，則彈丸的運(yùn)動(dòng)在全彈道上是追隨穩(wěn)定的。

3)全彈道動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的計(jì)算

在彈道上任意點(diǎn)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因子

由4D 彈道模型或6D 彈道模型計(jì)算得到任意時(shí)刻的彈道傾角θ，彈丸速度v，插值計(jì)算的bx、by、ky、kzz，可根據(jù)式(5)計(jì)算出該時(shí)刻的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定因子Sd。若每一時(shí)刻的Sd和Sg均滿足SgSd(2 -Sd)＞1，則全彈道是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的。

3 案例仿真及分析

由得到的外彈道數(shù)學(xué)模型，利用四階五級(jí)龍格- 庫塔法，借助Matlab 軟件編寫計(jì)算程序，并對某口徑榴彈的外彈道過程進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真輸入數(shù)據(jù)如表1。仿真過程中用到的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩系數(shù)由11 組試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過一元三點(diǎn)不等距插值求得。

表1 仿真輸入數(shù)據(jù)

為研究不同彈道模型在旋轉(zhuǎn)彈丸外彈道性能仿真中的應(yīng)用，分別利用質(zhì)點(diǎn)彈道模型、修正質(zhì)點(diǎn)彈道模型和剛體彈道模型對上述案例進(jìn)行仿真，結(jié)果如表2 所示，彈丸攻角曲線如圖2 所示，彈丸陀螺穩(wěn)定性曲線如圖3 所示，彈丸動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性曲線如圖4 所示。

表2 不同彈道模型的仿真結(jié)果

表2 中，3D、4D、6D 模型的仿真射程與實(shí)驗(yàn)射程10 575 m的相對誤差［5］分別為0.96%、0.86%、0.60%，由此可知，描述旋轉(zhuǎn)彈丸的數(shù)學(xué)模型越精確，其仿真結(jié)果越接近實(shí)驗(yàn)值。由彈丸空中飛行總時(shí)間tmax知，彈道模型中考慮的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩越全面，彈丸空中飛行的時(shí)間越長，仿真射程越小，其仿真結(jié)果越精確。

圖2 彈丸攻角曲線

由圖2 知，在彈丸飛行的初始階段，4D 模型不能較好地反映彈丸攻角的變化，這是因?yàn)閺椡璩雠诳跁r(shí)，彈道風(fēng)是彈丸攻角產(chǎn)生和變化的主要原因，此時(shí)彈丸攻角姿態(tài)應(yīng)是震蕩的。在彈丸飛行的下降段，6D 模型求解的彈丸攻角值始終大于4D 模型，這是6D 模型仿真射程比4D 模型小的根本原因，因?yàn)閺椡韫ソ亲藨B(tài)愈差，其所受的氣動(dòng)力尤其是氣動(dòng)阻力越大，彈丸射程就愈小。由此可見，4D 模型雖采用了彈丸攻角的直接解法，卻終因忽略次要?dú)鈩?dòng)力矩的作用而不如剛體彈道模型能夠較好反映全彈道彈丸攻角的變化，從側(cè)面驗(yàn)證了次要力矩對彈丸攻角的重要作用。由表2 知，4D 模型的仿真步長和質(zhì)點(diǎn)模型一致，為0.1，遠(yuǎn)大于6D 模型的仿真步長，這使得4D 模型在解算中實(shí)時(shí)性較剛體彈道模型好，因此，4D 模型常用于火控系統(tǒng)中對來襲目標(biāo)的實(shí)時(shí)解算，但需要一定的修正量。

圖3 彈丸陀螺穩(wěn)定性曲線

由圖3 知，旋轉(zhuǎn)彈丸在全彈道上滿足Sg＞1，能夠較好滿足陀螺穩(wěn)定性的要求。由圖4 知，在彈丸飛行的初始階段，彈丸的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性較差，這是由于彈丸動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性反映攻角的變化趨勢。由圖2 知此時(shí)彈丸攻角是震蕩且有增加趨勢的，因此不能滿足彈丸動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性要求。對比圖2 ～4 知，在彈丸飛行的上升階段，4D 模型和6D 模型對彈丸穩(wěn)定性仿真結(jié)果的一致性較好，而在飛行的下降階段一致性則較差。

圖4 彈丸動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性曲線

4 結(jié)論

1)彈道模型愈精確，彈丸飛行時(shí)間的仿真值愈大，仿真射程愈小，其結(jié)果愈接近實(shí)驗(yàn)值。

2)4D 模型與6D 模型對彈丸穩(wěn)定性的仿真結(jié)果在彈丸飛行的上升段一致性較好，而在下降段一致性較差。

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