韋獻(xiàn)強(qiáng)

(柳州市勘察測(cè)繪研究院，廣西柳州 545006)

1 引言

GPS測(cè)量技術(shù)的出現(xiàn)改變了以往傳統(tǒng)控制測(cè)量模式，通過(guò)GPS相對(duì)定位可同時(shí)獲得高精度平面坐標(biāo)與大地高，但在實(shí)際應(yīng)用中GPS提供的是WGS－84大地坐標(biāo)系的大地高程H84，而我國(guó)高程系統(tǒng)采用的是相對(duì)于似大地水準(zhǔn)面的正常高系統(tǒng)Hr，因此需要把GPS提供的大地高H84轉(zhuǎn)化為正常高Hr，公式如下式:

ζ為似大地水準(zhǔn)面至橢球面間的高差，稱(chēng)為高程異常。

在工程測(cè)量中，通常采用GPS水準(zhǔn)方法獲取正常高Hr，因此高精度高程異常ζ的估計(jì)尤為重要，目前研究人員采用了多種方法對(duì)高程異常進(jìn)行估計(jì)，常用方法包括:神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、曲面擬合方法、插值算法、考慮大地重力場(chǎng)的高程異常估計(jì)算法等，本文只介紹多項(xiàng)式曲面擬合數(shù)學(xué)模型的普通曲面擬合法及移動(dòng)曲面擬合法。

2 曲面擬合數(shù)學(xué)模型

曲面擬合是將高程異常看做是一定范圍內(nèi)坐標(biāo)的曲面函數(shù)，認(rèn)為高程異常在此范圍內(nèi)變化是連續(xù)平緩的，因此采用數(shù)值擬合法擬合出測(cè)區(qū)似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的ζ，從而求出待求點(diǎn)的正常高。

采用的數(shù)學(xué)模型為:

經(jīng)常采用的是四參數(shù)擬合:

五參數(shù)擬合:

六參數(shù)擬合:

2.1 曲面擬合法

當(dāng)有多個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，對(duì)于每個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)寫(xiě)成誤差方程(對(duì)于式(2))如下:

在∑vv=min的條件下，解出各a0～a3再按式(2)求出待求點(diǎn)的ζ，從而求出Hr。

2.2 移動(dòng)曲面擬合法

移動(dòng)曲面擬合法是一種局部逼近的方法，其模型與曲面擬合模型基本相同。其基本思想是以每一個(gè)內(nèi)插點(diǎn)為中心，利用內(nèi)插點(diǎn)周?chē)鷶?shù)據(jù)點(diǎn)高程異常值，應(yīng)用最小二乘原理建立一個(gè)擬合曲面，而這個(gè)曲面在內(nèi)插點(diǎn)上的值就是所求的內(nèi)插值，即內(nèi)插點(diǎn)高程異常值。

設(shè)P為內(nèi)插點(diǎn)，現(xiàn)以(2)式四參數(shù)曲面方程為例對(duì)P點(diǎn)建立相應(yīng)的曲面。為計(jì)算曲面(2)式的系數(shù)，需要選取P點(diǎn)周?chē)臄?shù)據(jù)點(diǎn)。選取的方法通常是以?xún)?nèi)插點(diǎn)P為中心，R為半徑(R一般取數(shù)據(jù)點(diǎn)平均間距的2倍)，凡是落在圓內(nèi)的點(diǎn)即被選用，所選取點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于等于曲面方程系數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)點(diǎn)數(shù)不夠時(shí)，則擴(kuò)大R的值。在計(jì)算時(shí)，將所有選取數(shù)據(jù)點(diǎn)改化到以P為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)系中，現(xiàn)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xp，yp)，選取數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi)則有:

對(duì)于n個(gè)選取點(diǎn)數(shù)據(jù)建立下列誤差方程:

另外，根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)內(nèi)插點(diǎn)的影響程度引入了權(quán)，即內(nèi)插點(diǎn)距數(shù)據(jù)點(diǎn)越近影響越大，權(quán)重也越大，反之，距離越遠(yuǎn)影響越小，權(quán)重越小。權(quán)的形式有多種，本文僅討論形式，其中di為選取數(shù)據(jù)點(diǎn)i到p點(diǎn)的距離。

令:

應(yīng)用最小二乘原理:VTPV=min

可得:X=(ATPA)－1ATPL

對(duì)于P內(nèi)插點(diǎn)有:

帶入式(6)，得內(nèi)插點(diǎn)高程異常ζi=a0

3 實(shí)例應(yīng)用分析

柳州市某測(cè)區(qū)面積約25 km2，布設(shè)一級(jí)GPS控制點(diǎn)104個(gè)，其中62個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了四等水準(zhǔn)測(cè)量。本文在62點(diǎn)中選取了4種不同的點(diǎn)數(shù)和點(diǎn)位分布情況，分別按曲面擬合法(四、五、六參數(shù))、移動(dòng)曲面擬合法(四、五、六參數(shù))進(jìn)行擬合計(jì)算，并按為檢核點(diǎn)擬合高程與水準(zhǔn)高程差值，n為外部檢核點(diǎn)數(shù))計(jì)算擬合外符合精度。圖1為不同方案擬合點(diǎn)分布圖。

圖1 4種選取參與擬合點(diǎn)的方案分布圖

方案1在測(cè)區(qū)周?chē)x取分布均勻的5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，其余57個(gè)作外部檢核;

方案2在方案1的基礎(chǔ)上在測(cè)區(qū)中部增加1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，其余56個(gè)作外部檢核;

方案3在方案2的基礎(chǔ)上在測(cè)區(qū)內(nèi)部增加4個(gè)點(diǎn)共10數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，這10個(gè)點(diǎn)分布并不均勻，其余52個(gè)點(diǎn)作外部檢核;

方案4在測(cè)區(qū)周?chē)皟?nèi)部選取分布均勻的18個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)參與擬合，其余44個(gè)作外部檢核;

本文利用VB編程進(jìn)行擬合計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1～表4所示。

方案1擬合，外部檢核點(diǎn)精度分布情況(個(gè)數(shù))表1

方案2擬合，外部檢核點(diǎn)精度分布情況(個(gè)數(shù))表2

方案3擬合，外部檢核點(diǎn)精度分布情況(個(gè)數(shù))表3

方案4擬合，外部檢核點(diǎn)精度分布情況(個(gè)數(shù))表4

從4個(gè)方案擬合結(jié)果看，參數(shù)個(gè)數(shù)不同，擬合方法不同，其擬合的結(jié)果不同，就方案1而言，四參數(shù)曲面擬合結(jié)果最優(yōu)。方案2與方案1比較:方案2在方案1的基礎(chǔ)上僅在測(cè)區(qū)中部增加1個(gè)擬合點(diǎn)，除方案1中最優(yōu)擬合方法(四參數(shù)曲面擬合)的結(jié)果無(wú)明顯變化外，其余擬合方法的擬合精度都有大幅度提高，其中四參數(shù)移動(dòng)曲面擬合法擬合結(jié)果稍好。方案3與方案2比較:方案3是在方案2的基礎(chǔ)上增加4個(gè)點(diǎn)，除曲面擬合法結(jié)果無(wú)明顯變化外，其余(移動(dòng)曲面)擬合法擬合的精度都有不同程度的降低，經(jīng)分析，較差較大的點(diǎn)均位于加密擬合點(diǎn)的外側(cè)，即加密擬合點(diǎn)及較差較大的點(diǎn)分別位于方案2選取擬合點(diǎn)的內(nèi)外兩側(cè)，這說(shuō)明外側(cè)擬合點(diǎn)精度的大幅度降低是因加密擬合點(diǎn)引起的，這也說(shuō)明移動(dòng)曲面擬合法對(duì)高程異常的變化較為敏感。方案4與方案2比較:方案4選取的擬合點(diǎn)點(diǎn)數(shù)是方案2選取的點(diǎn)數(shù)的3倍，方案4擬合點(diǎn)間距1.6 km，而方案2擬合點(diǎn)間距2.9 km，但從擬合結(jié)果看，各種擬合方法的精度相對(duì)方案2而言都沒(méi)有明顯提高，從外符合精度看各擬合方法結(jié)果基本相同。從表1～表4看，四參數(shù)曲面擬合方法無(wú)論是以上何種布點(diǎn)方案擬合結(jié)果都沒(méi)有明顯變化;從擬合精度較好的表2與表4看，在相同的布點(diǎn)方案條件下，四參數(shù)移動(dòng)曲面擬合法精度稍好。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)幾種高程異常曲面擬合方法的計(jì)算和分析，得以下結(jié)論:

(1)采用高程曲面擬合時(shí)，GPS水準(zhǔn)點(diǎn)(選取參與擬合點(diǎn))應(yīng)均勻分布在測(cè)區(qū)的周?chē)椭胁浚蕴岣邤M合成果精度和可靠度。例如方案1中，測(cè)區(qū)中部沒(méi)有GPS水準(zhǔn)點(diǎn)，僅四參數(shù)曲面擬合精度較好，其余擬合方法最大誤差均超過(guò)10 cm，擬合效果較差。

(2)采用高程曲面擬合時(shí)，應(yīng)根據(jù)測(cè)區(qū)地形起伏情況，選取擬合模型，對(duì)于本測(cè)區(qū)地勢(shì)較為平坦，選取四參數(shù)曲面擬合無(wú)論是以上何種布點(diǎn)方案均取得較好效果。

(3)采用移動(dòng)曲面擬合時(shí)，因移動(dòng)曲面擬合法對(duì)高程異常的變化較為敏感應(yīng)盡量避免外推擬合，以免引起較大誤差，例如方案3中，移動(dòng)曲面擬合法外推點(diǎn)精度較低。

(4)對(duì)于同一種擬合法，并非選取參與擬合點(diǎn)數(shù)越多，精度越高，就本測(cè)區(qū)而言，以上4個(gè)方案中，方案3、方案4布點(diǎn)均比方案2多，但精度并沒(méi)有明顯提高。

(5)對(duì)于面積較小地形地勢(shì)較為平坦測(cè)區(qū)，無(wú)論采用曲面擬合法還是移動(dòng)曲面擬合法，擬合效果相差不大。

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