郭麗軍 鄧秋娥 劉 賓

（1. 機械工業(yè)信息研究院，北京 100037；2. 五凌電力有限公司，長沙 410004；3. 山東電力集團(tuán)公司萊蕪供電公司，山東 萊蕪 271100）

三維渦流場分析一直是電磁場數(shù)值計算中研究的熱門課題。國內(nèi)外學(xué)者在節(jié)點元、棱邊元、邊界元的應(yīng)用，位函數(shù)及位函數(shù)對的選擇，解的唯一性及規(guī)范條件的討論，多連域問題，內(nèi)分界面條件的處理等多方面進(jìn)行了深入研究，以求在計算量小、計算效率高的前提下得到的解更準(zhǔn)確[1-2]。

關(guān)于變壓器直流偏磁的計算分析，劉連光等人討論了空間電磁場直接法與間接法的計算模型，首次提出適于均勻介質(zhì)的平面波方法。通過大量的實測數(shù)據(jù)和計算論證芬蘭、中國的磁暴現(xiàn)象對變壓器乃至電網(wǎng)的影響，引入太陽活動和HVDC接地點變壓器的模型處理及直流偏磁分析[3-4]。本文通過有限元法對變壓器進(jìn)行建模，分析在直流偏磁條件下，瞬態(tài)激勵對場路模型的影響。

1 場路模型

1.1 磁路—電路模型

以單相雙繞組變壓器為例，聯(lián)系其內(nèi)部的電磁對偶關(guān)系與外部的電路系統(tǒng)，建立簡化磁路模型和電路模型如圖1所示。

圖1 單相變壓器場路模型

磁路模型中Φ表示磁通，Rm表示磁阻，F(xiàn)為磁勢。鐵心中磁通為Φ1，對應(yīng)磁阻Rm1；旁路磁通及漏磁通分別為Φ2、Φ3，對應(yīng)磁阻為Rm2、Rm3。電路模型中L1、L2、M分別表示原、副邊自感抗及互感抗，R1、R2為對應(yīng)電阻。得到磁鏈方程矩陣形式：

ψ={ψi}為線圈磁鏈向量，ψ0為永磁效應(yīng)磁鏈向量，磁鏈與勵磁電流的關(guān)系由切割電感矩陣 LS表示，LS= [Lij], （i, j= 1,2）。

考慮電路模型端口特性：

繞組電壓U= dψ/dt，結(jié)合式（1）、式（2）推導(dǎo)電磁系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)方程：

在正弦交流下， B、Φ、Rm均具有周期性。于是可FFT分解為三角函數(shù)的形式：

1.2 Whitney FEM

在線圈電流激勵下，矢量有限元方法可根據(jù)麥克斯韋方程得到非線性磁場方程：

Whitney FEM采用棱邊單元的矢量磁位函數(shù)A，單元插值公式為

式中，Al為矢量A沿棱邊l的環(huán)量，l亦表示基函數(shù)項數(shù)，Nl為與棱邊對應(yīng)的矢量形狀函數(shù)，p = xi+ yj+zk，為整體坐標(biāo)內(nèi)任意場點的位置矢量，фl為局部坐標(biāo)內(nèi)棱邊形狀函數(shù)，ql為局部坐標(biāo)的棱邊方向函數(shù)，可通過雅克比矩陣轉(zhuǎn)化為全局坐標(biāo)變量，np為基函數(shù)序列項數(shù)。

上式的離散化矩陣形式為

WFEM單元自由度為場矢量沿棱邊的線積分，采用矢量插值函數(shù)，可直接求解場矢量。對于非均勻場計算問題，場矢量在邊界單元處切向連續(xù)性自動滿足，無需強制約束。

2 數(shù)值分析

選取實際單相雙繞組變壓器為分析對象，額定電壓為10/0.4kV，額定電流13.3/573.3A，頻率50Hz。具體模型如下圖所示。為便于計算，選取1/8模型。

圖2 變壓器有限元模型

2.1 負(fù)載運行數(shù)值計算

變壓器負(fù)載運行時，計算結(jié)果如圖3。

圖3 負(fù)載運行數(shù)值分析

負(fù)載運行方式下鐵心勵磁進(jìn)入飽和，一次側(cè)繞組受勵磁影響電流影響發(fā)生變化，二次繞組電流幾乎不受影響。確定了分布電感變化與勵磁電流的對應(yīng)關(guān)系，波峰、波谷分別表示鐵心工作于線性區(qū)與非線性飽和區(qū)，如圖3（a）、（b）。若計及磁導(dǎo)非單調(diào)性，則電感波動為鞍形，而非單峰曲線。通過迭代電流表征能量計算穩(wěn)定域，在非線性飽和的情況下算法仍有很好的收斂性，如圖 3（c）。與額定情況時對比，發(fā)現(xiàn)能量域有所偏移，這是由于電磁感應(yīng)出少量直流所導(dǎo)致另外，勵磁電流的相位[-π, π]與幅值頻譜分析均能反映所產(chǎn)生的奇次諧波，如圖3（d）所示。

2.2 空載運行及直流偏磁計算

變壓器空載運行時，計算結(jié)果與分析如圖4所示。

圖4 空載運行及直流偏磁分析

由于 U→dψ/dt→dΦ/dt→B～H→Ie的電磁耦合關(guān)系，勵磁電流為對稱波，F(xiàn)FT頻譜分解后，發(fā)現(xiàn)含有3、5、7次諧波，其幅值較小，且相位頻譜不連續(xù)，如圖 4（a）。存在直流分量時，系統(tǒng)受到干擾而產(chǎn)生衰減波動，如圖4（b）所示，理論推導(dǎo)的勵磁衰減特性得到驗證。排除噪聲、畸變等因素，考察衰減趨于穩(wěn)定的周期信號。不同直流偏置下的勵磁電流如圖4（c）所示。偏磁作用下，原邊電流奇次諧波分量增大，伴隨出現(xiàn)偶次諧波分量，主要集中在6次內(nèi)，并隨直流分量單調(diào)遞增，如圖4（d）。深入研究表明，隨著直流比重增大，變壓器勵磁飽和加劇，諧波畸變率（THD%）嚴(yán)重。直流擾動下能量軌跡發(fā)生明顯偏移，通過頻譜分析發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象可能與注入直流、分布參數(shù)及電磁感應(yīng)情況相關(guān)，這將是動態(tài)分析的進(jìn)一步工作。

5 結(jié)論

基于Whitney有限元法，利用場路模型計算變壓器磁場和等效電路參數(shù)，計算結(jié)果說明該方法有效可行。分析變壓器直流偏磁問題，總結(jié)場路參數(shù)受直流擾動的變化規(guī)律，為進(jìn)一步分析變壓器直流偏磁情況下的損耗、溫升提供依據(jù)。

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