李 昊， 劉一華

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

由于幾何不連續(xù)而在孔邊產(chǎn)生的應(yīng)力集中往往是含孔結(jié)構(gòu)失效的主要因素，因而確定孔邊的最大應(yīng)力并采取措施予以加強(qiáng)一直是人們十分關(guān)注的課題［1－6］。在孔的內(nèi)側(cè)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)環(huán)（層）是一種減小孔邊應(yīng)力集中的有效方法，并在工程中得到廣泛應(yīng)用。求得這類問題的閉合解，有助于合理選擇加強(qiáng)環(huán)（層）的材料及其厚度，從而可獲得降低應(yīng)力集中的最佳效果。為此，人們采用各種方法對此類問題進(jìn)行了分析和計算。文獻(xiàn)［2］采用Airy應(yīng)力函數(shù)法分析了此類問題，并獲得了加強(qiáng)環(huán)的最佳剛度和厚度。文獻(xiàn)［6］利用保角映射和解析延拓方法，得到了含橢圓孔無限大體在孔內(nèi)粘貼了加強(qiáng)層并在遠(yuǎn)端受均勻載荷作用時的級數(shù)解。然而，對于工程中常見的非均勻載荷作用情況的研究尚不多見。

本文采用復(fù)變函數(shù)方法分析在遠(yuǎn)端受雙軸線性載荷作用的含圓孔并在孔的內(nèi)側(cè)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)圓環(huán)的無限大板，討論加強(qiáng)圓環(huán)的材料屬性和厚度對板的孔邊最大應(yīng)力的影響。

1 解析解

分析模型如圖1所示，加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為R0和R1，板遠(yuǎn)端作用的線性載荷分別為p1＝a＋by和p2＝c＋dx。對于平面問題，極坐標(biāo)系下的應(yīng)力σr、σθ、τrθ和位移ur、uθ可以用2個復(fù)勢函數(shù)φ（z）和ψ（z）［7］表示為：

其中，z＝reiθ為復(fù)變量；橫杠表示共軛；撇號表示求導(dǎo)；μ為切變模量；κ為彈性常數(shù)，對于平面應(yīng)力問題κ＝（3－ν）／（1＋ν），對于平面應(yīng)變問題κ＝3－4ν；ν為泊松比。

圖1 分析模型示意圖

板的遠(yuǎn)場（r→∞）應(yīng)力邊界條件為：

加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)側(cè)邊界L0（r＝R0）處的應(yīng)力邊界條件為：

應(yīng)力和位移在界面L1（r＝R1）處的連續(xù)條件為：

（2）～（4）式中的下標(biāo)1和2分別表示板和加強(qiáng)圓環(huán)。

取板的復(fù)勢函數(shù)φ1（z）和ψ1（z）為：

其中，φ11（z）和ψ11（z）為待定的復(fù)勢函數(shù)。將加強(qiáng)圓環(huán)的復(fù)勢函數(shù)φ2（z）和ψ2（z）展開為Laurent級數(shù)［8］，即

然后，分別將（5）式和（6）式代入（1）式，考慮邊界條件和連續(xù)條件（2）～（4）式，（5）式中的復(fù)勢函數(shù)φ11（z）和ψ11（z）以及（6）式中的系數(shù)ak和bk可以利用Cauchy積分求出［8］。為簡便起見，計算過程不再給出。由此可求得板和加強(qiáng)圓環(huán)中的應(yīng)力分別為：

2 數(shù)值驗證

應(yīng)用本文得到的解析解計算板和加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力并與用有限元分析軟件MSC.Nastran得到的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較，如圖2所示。

圖2 不同方向應(yīng)力的解析解與有限元解的比較

加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)半徑為R0＝6mm，外半徑為R1＝12mm，板和加強(qiáng)圓環(huán)的材料參數(shù)分別為μ1＝27GPa、μ2＝78GPa和ν1＝ν2＝0.3，施加在遠(yuǎn)端的載荷為p1＝80＋3y和p2＝－50＋2x，p1和p2的單位為MPa。由圖2可以看出，本文得到的解析解與有限元解十分吻合，從而驗證了（7）式和（8）式的正確性。

3 結(jié)果與討論

切變模量比Γ對板的孔邊（r＝R1）處最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響，如圖3所示。

圖3 切變模量比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

圖3中板和加強(qiáng)圓環(huán)的泊松比均為0.3，加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)外徑比為α＝0.5。

由圖3a可以看出，最大徑向應(yīng)力和最大切應(yīng)力隨Γ單調(diào)遞增，但是當(dāng)Γ＞3時，最大切應(yīng)力的增加明顯變緩且最終基本不再變化。當(dāng)Γ較小時，最大周向應(yīng)力隨Γ的增加迅速減小，當(dāng)Γ＝4時達(dá)到最小值，其后則隨Γ緩慢增加。因此，可以找出加強(qiáng)圓環(huán)和板的最佳剛度比來減小板在孔邊處的最大周向應(yīng)力。

由圖3b可以看出，當(dāng)Γ增加時，最大徑向應(yīng)力對應(yīng)的θr0從大約32°緩慢減小到16°，而最大切應(yīng)力發(fā)生的位置保持不變，即θrθ0＝135°。最大周向應(yīng)力發(fā)生位置的變化完全不同。當(dāng)Γ＜3時，θθ0從90°緩慢減?。划?dāng)3＜Γ＜5時，迅速從大約80°減少到22°；當(dāng)Γ＞5時，變化又不明顯了。

板的孔邊界處無量綱最大應(yīng)力及其發(fā)生位置與加強(qiáng)圓環(huán)和板的彈性常數(shù)比κ2／κ1之間的關(guān)系，如圖4所示，此時，Γ和α分別取2.9和0.5。可以看出，最大徑向應(yīng)力和最大切應(yīng)力隨κ2／κ1單調(diào)遞減，而最大周向應(yīng)力則隨κ2／κ1單調(diào)遞增，3個最大應(yīng)力基本上與κ2／κ1成線性關(guān)系。除了最大周向應(yīng)力發(fā)生的位置θθ0隨κ2／κ1的增加而略微增大外，另2個基本不變?？傮w而言，κ2／κ1對最大應(yīng)力的影響沒有Γ顯著。

圖4 彈性常數(shù)比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

板的孔邊界處的無量綱最大應(yīng)力及其發(fā)生的位置與加強(qiáng)圓環(huán)內(nèi)外徑比α的關(guān)系如圖5所示。此時，切變模量比為Γ＝2.9，板和加強(qiáng)圓環(huán)的泊松比均為0.3。

由圖5可以看出，對于最大徑向應(yīng)力，當(dāng)α＜0.65時，隨α遞減；當(dāng)0.65＜α＜0.83時，隨α的增加而增大；當(dāng)α＞0.83時又隨α的增加而減??；當(dāng)α＝1時（即退化為無加強(qiáng)圓環(huán)的情況），最大徑向應(yīng)力為0；當(dāng)α較小或較大時，其發(fā)生的位置變化很小，而當(dāng)0.4＜α＜0.8時則迅速從15°增大到87°。

圖5 加強(qiáng)環(huán)內(nèi)外徑比對最大應(yīng)力及其發(fā)生位置的影響

對于最大周向應(yīng)力，當(dāng)α＜0.5時，加強(qiáng)圓環(huán)厚度的影響可以忽略不計，而α＞0.5時，則隨α的增加迅速增大；其發(fā)生的位置變化不明顯，基本在81°～91°之間變化。最大切應(yīng)力的變化趨勢基本上和最大周向應(yīng)力相反，當(dāng)α＜0.68時，隨α緩慢遞增；而當(dāng)α繼續(xù)增加時則迅速減??；其發(fā)生的位置保持135°不變。由此可以看出，當(dāng)加強(qiáng)圓環(huán)的內(nèi)外徑比為0.5左右時，對板孔口的加強(qiáng)效果最佳。

4 結(jié)束語

本文采用復(fù)變函數(shù)法求得了含圓孔的無限大板孔內(nèi)粘貼異質(zhì)加強(qiáng)圓環(huán)在遠(yuǎn)端施加雙軸線性載荷的解析解，討論了加強(qiáng)圓環(huán)的材料性能和厚度對板孔邊處最大應(yīng)力的影響。結(jié)果表明，選擇合適的加強(qiáng)圓環(huán)的材料和厚度可以顯著降低板孔邊的最大應(yīng)力，從而達(dá)到優(yōu)化設(shè)計的目的。

［1］Theotokoglou E N，Tsamasphyros G J.Stress concentration for a circular hole in a strip by singular integral equations［J］.Mechanics Research Communications，1986，13（4）：221－229.

［2］Chau K T，Wei X X.Stress concentration reduction at a reinforced hole loaded by a bonded circular inclusion ［J］.Journal of Applied Mechanics，2001，68（3）：405－411.

［3］Tse P，Lau K，Wong W.Stress and failure analysis of woven composite plates with adhesive patch－reinforced circular hole［J］.Composites Part B：Engineering，2002，33（1）：57－65.

［4］Yavari V，Rajabi I，Daneshvar F，et al.On the stress distribution around the hole in mechanically fastened joints［J］.Mechanics Research Communications，2009，36（3）：373－380.

［5］汪鵬程，胡 成，朱朝輝.有初始原巖應(yīng)力的彈粘塑性巖土介質(zhì)中圓柱形孔擴(kuò)張問題解析解［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，32（10）：1462－1465.

［6］Chao C K，Lu L M，Chen C K，et al.Analytical solution for a reinforcement layer bonded to an elliptic hole under a remote uniform load ［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（14／15）：2959－2965.

［7］徐芝綸.彈性力學(xué)：上冊［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2006：73－92.

［8］路見可.平面彈性復(fù)變方法［M］.第3版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2005：65－89.