吳合良，謝居靜，熊 造

(1.湖南省大岳高速公路建設(shè)開發(fā)有限公司，岳陽 414000;2.湖南中大設(shè)計院有限公司，長沙 410075)

靈敏度分析研究模型輸出受各種輸入變化的影響及模型本身受輸入信息的影響。由于其診斷性和預(yù)測性，故將靈敏度分析看做建模與模型分析的先決條件［1］。作為分支，結(jié)構(gòu)動態(tài)特性靈敏度分析，也是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的主要研究內(nèi)容之一。目前，結(jié)構(gòu)動態(tài)特征靈敏度分析主要集中在結(jié)構(gòu)自振頻率及振型的靈敏度分析上，而對由基本模態(tài)參數(shù)衍生出的指標(biāo)的靈敏度分析相對較少。研究表明，衍生出的指標(biāo)對結(jié)構(gòu)參數(shù)更為敏感［2］。近年來，基于能量指標(biāo)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法得到廣泛關(guān)注，如模態(tài)應(yīng)變能、殘余能量、能量傳遞比、偽比能等。Shi等［3－4］采用模態(tài)應(yīng)變能的變化率作為結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)，在梁結(jié)構(gòu)與平面剛架結(jié)構(gòu)的損傷定位及損傷程度判別方面的研究有些成效;Alvandi［5］指出應(yīng)變能指標(biāo)無論對單一損傷工況或多點損傷工況的損傷位置識別結(jié)果均優(yōu)于其它指標(biāo)，并且在含噪聲情況下?lián)p傷定位結(jié)果的穩(wěn)定性最好。由于求解應(yīng)變能時必須用到完整的振型，應(yīng)變能法仍擺脫不了需要進行振型擴展的不足。Huang等［6］提出了能量傳遞比(ETR)進行損傷定位的指標(biāo)。Law等［7］認(rèn)為在同樣能量輸入條件下結(jié)構(gòu)損傷前后的總能量守恒。單元應(yīng)變能的增加，意味著單元動能的減少，以單元應(yīng)變能與動能之比(能量商)作為指紋比單獨使用單元應(yīng)變能對損傷更為敏感。利用損傷前后單元能量商的變化可實現(xiàn)損傷定位。黃方林等［8］定義了一種與結(jié)構(gòu)故障有關(guān)的特征參數(shù)—殘余能量，推導(dǎo)了各自由度對殘余能量貢獻的表達式，通過計算故障發(fā)生后每一自由度對殘余能量的貢獻識別故障位置。劉文峰等［9］提出了廣義應(yīng)變比能概念，利用廣義應(yīng)變比能可以定位損傷，在測試數(shù)據(jù)充分的情況下可大致判斷損傷程度。陳曉強等［10］利用小波包對結(jié)構(gòu)損傷后的的動應(yīng)變測試信號進行分解，選取合適的頻段重構(gòu)，再計算其提出的“平均偽比能”(APSED)與“平均偽比能變化率”(APSEDR)指標(biāo)識別結(jié)構(gòu)的損傷位置及損傷程度。

殘余能量的靈敏度研究還未見相關(guān)文章發(fā)表。開展此項研究，對進一步完善結(jié)構(gòu)動態(tài)特征靈敏度分析的基本理論意義重要，可為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計、有限元模型修正及結(jié)構(gòu)損傷識別等的應(yīng)用研究提供支撐，應(yīng)用前景良好。

1 基于單元殘余能量靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

單元殘余能量反映了結(jié)構(gòu)的固有特性，當(dāng)結(jié)構(gòu)局部出現(xiàn)損傷時，將引起局部材料力學(xué)性能的變化，從而使結(jié)構(gòu)動力特性發(fā)生相應(yīng)的改變。殘余能量是結(jié)構(gòu)振型與頻率的函數(shù)，能夠反映結(jié)構(gòu)的損傷信息。據(jù)此，本文分析了單元殘余能量對結(jié)構(gòu)剛度變化的靈敏度，提出了基于單元殘余能量靈敏度分析的方法進行結(jié)構(gòu)損傷定位與損傷程度的識別。

1.1 損傷系數(shù)

一般結(jié)構(gòu)單元損傷定義為單元剛度降低，忽略質(zhì)量變化。

式中:ΔKi為第 i單元損傷對整體剛度矩陣貢獻的減少量;Ki，Kdi為第i個單元損傷前后對整體剛度矩陣的貢獻，由單元剛度矩陣擴階后得到;Δαi為單元損傷系數(shù)，表征i單元的損傷程度。

損傷后結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的變化可由單元剛度矩陣的改變集成得到:

式中:Δαi∈［0，1］，當(dāng) Δαi=0，表明單元無損傷;當(dāng)Δαi=1，表明單元剛度完全喪失。

單元損傷后的總體剛度矩陣為:

式中:ne為結(jié)構(gòu)單元總數(shù)。

1.2 損傷方程組

由式(3)可知，結(jié)構(gòu)損傷后的總體剛度矩陣Kd是單元損傷系數(shù)Δαi的函數(shù)，因此結(jié)構(gòu)損傷后的模態(tài)參數(shù)必然是Δαi的函數(shù)，而結(jié)構(gòu)的固有特性能夠反應(yīng)在殘余能量中，因此設(shè)，對損傷后的第r階模態(tài)參數(shù)下的j單元殘余能量變化按下式作一階變分:

由文獻［8］，對無阻尼系統(tǒng)，第r階模態(tài)下j單元的殘余能量定義為:

令:

式(4)可寫成矩陣形式:

寫成緊湊的矩陣形式為:

1.3 靈敏度系數(shù)矩陣構(gòu)建

根據(jù)文獻［11］，靈敏度系數(shù)S矩陣可由結(jié)構(gòu)有限元模型計算得到，其計算過程如下:

(1)建立結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)有限元模型;

(2)獲取未損傷結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)頻率及振型(因為低階模態(tài)參數(shù)較易獲得，一般選用第一階模態(tài)參數(shù));

(3)用有限元模型模擬結(jié)構(gòu)損傷。令第i單元具有己知大小的損傷Δαi，其余單元無損傷，提取結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)頻率及振型，計算結(jié)構(gòu)損傷后殘余能量的變化量;

(5)改變i，重復(fù)以上幾個步驟，最終可獲得S矩陣。

1.4 損傷方程組求解

本文通過求解損傷系數(shù)向量識別損傷位置及損傷程度，由式(8)求解損傷系數(shù)向量Δα，有:

2 數(shù)值仿真研究

2.1 數(shù)值模型描述

考慮一等截面簡支梁(為Euler－Bernoulli梁)，梁長 4.2 m，橫截面積 A=0.075 ×0.15(m2)，慣性矩 I=2.11 ×10－5(m4)，彈性模量 E=1.495 GPa，容重 ρ=1154kg/m3?；贛ATLAB平臺，利用有限元方法將該梁劃分為21個單元，22個節(jié)點，42個自由度。

2.2 損傷識別

圖1 簡支梁數(shù)值模型Fig.1 Simply supported beam mode

考慮簡支梁4種損傷工況，包括單損傷及多損傷，分別記為C1、C2、C3、C4。單元損傷程度通過折減單元剛度模擬。損傷工況如表1所示。本例采用結(jié)構(gòu)第一階模態(tài)參數(shù)，利用MATLAB編程求解相應(yīng)的損傷方程組，得到各工況損傷狀態(tài)。損傷識別結(jié)果見表1、圖2。

表1 簡支梁損傷工況及識別結(jié)果Tab.1 Damage cases and identification results of simply supported beam

圖2 損傷識別結(jié)果Fig.2 Damage identification results

由表1、圖2看出，無論是單損傷還是多損傷，本文提出的方法均能有效地識別出損傷位置及損傷程度，識別精度較高，各工況下的損傷程度識別相對誤差均在6%以下。

3 結(jié)論

本文在定義單元殘余能量基礎(chǔ)上進行其損傷系數(shù)靈敏度分析，提出了基于單元殘余能量靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識別方法，建立了結(jié)構(gòu)損傷識別方程組。通過解方程，求得損傷系數(shù)向量，便可同時識別結(jié)構(gòu)的損傷位置及損傷程度。仿真結(jié)果表明，本文提出的方法對各損傷工況不但能準(zhǔn)確定位，而且能有效識別出損傷程度，損傷精度較高。因此，基于單元殘余能量靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷識別方法有一定的應(yīng)用前景。

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