周 彪，謝雄耀

(1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092;2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院地下工程系，上海 200092)

隨著地鐵等軌道交通建設(shè)的迅速發(fā)展，由地鐵運(yùn)營(yíng)引起的結(jié)構(gòu)及環(huán)境響應(yīng)問(wèn)題中，比較關(guān)注荷載在結(jié)構(gòu)及周圍土層中的傳播及由此產(chǎn)生的過(guò)大沉降及結(jié)構(gòu)損害［1］。

上述問(wèn)題的研究及解決均須借助于相關(guān)的模型。Cui［2］和 Li［3］運(yùn)用 FEM 對(duì)整體式道床和浮置道床軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，前者對(duì)兩種軌道結(jié)構(gòu)的響應(yīng)差別做了研究，后者對(duì)不同結(jié)構(gòu)形式的浮置道床(短、中、長(zhǎng)道床)在簡(jiǎn)諧荷載作用后荷載傳遞差異做了研究。并討論了各種模型的使用條件。上述僅對(duì)隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬，而未將隧道及土體進(jìn)行耦合分析。Takamiya［4－5］針對(duì)地表路堤系統(tǒng)將軌道系統(tǒng)和半無(wú)限體土層耦合。后續(xù)圣小珍［6－7］建立了軌道－多土層模型，研究簡(jiǎn)諧荷載和半靜定移動(dòng)荷載作用下土層的響應(yīng)與荷載傳遞，其中土層運(yùn)用了TMM法。上述模型并未考慮隧道結(jié)構(gòu)的影響。

隨著軌道交通相應(yīng)的振動(dòng)問(wèn)題日益受到關(guān)注，很多研究者對(duì)隧道結(jié)構(gòu)的影響進(jìn)行研究，同時(shí)之前路堤結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究也為此做出了積淀。其中Metrikine［8］建立了二維理論模型，將隧道簡(jiǎn)化成歐拉梁并將其與上下土層耦合，研究了靜定和簡(jiǎn)諧荷載作用下地表位移響應(yīng)的差異。而該模型未包含軌道結(jié)構(gòu)的影響。Hussein［9］結(jié)合PIP模型研究了簡(jiǎn)諧荷載作用下軌道－隧道－土層結(jié)構(gòu)的響應(yīng)問(wèn)題，而該模型僅是針對(duì)深埋隧道的特例。

除上述理論模型，有限元及邊界元等技術(shù)被用于振動(dòng)傳播與響應(yīng)的模擬，Gupta［10］等將2.5維技術(shù)以及FE－BE耦合結(jié)構(gòu)做出模擬;楊永斌［11］將2.5維技術(shù)與有限元及無(wú)限元技術(shù)集合探討了地下隧道中振動(dòng)波的傳播，劉衛(wèi)豐等［12］，邊學(xué)成等［13］也就此類方法做了研究，此類模型能較好的模擬結(jié)構(gòu)與土層耦合狀態(tài)下的響應(yīng)問(wèn)題，但計(jì)算較為復(fù)雜。

為此本文結(jié)合上述研究成果，分別利用FEM和TMM方法將軌道結(jié)構(gòu)、隧道和土層進(jìn)行耦合。并以上海四號(hào)線為例，結(jié)合耦合結(jié)構(gòu)頻散特征，對(duì)軌道及土體響應(yīng)特征作出分析。

1 模型介紹

如圖1所示，軌道系統(tǒng)與隧道相連并埋在土層中。軌道系統(tǒng)采用有限元(FEM)進(jìn)行模擬，振動(dòng)波在上下土層中的傳播則通過(guò)傳遞矩陣(TMM方法)進(jìn)行模擬。作用于軌道系統(tǒng)上的列車荷載簡(jiǎn)化為沿鐵軌方向上以速度c移動(dòng)的半靜定和簡(jiǎn)諧移動(dòng)荷載。

對(duì)速度c沿x方向運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)諧荷載，可表示為:P0eiΩtδ(x －ct)，δ為 Dirac＇s delta 函數(shù)，經(jīng)傅里葉變換后，在f－k空間(頻域－波數(shù)域)中的表達(dá)式為:

圖1 模型概要圖Fig.1 The layout of the model

在本模型中以浮置板軌道結(jié)構(gòu)為例，鋼軌，浮置板及隧道簡(jiǎn)化為歐拉伯努利梁并假設(shè)無(wú)橫向運(yùn)動(dòng)，其在f－k域中的運(yùn)動(dòng)參量表示為:

深度方向z=z0上土層的位移與應(yīng)力表示為:

在式(1)所示移動(dòng)荷載作用下，基于傅里葉與拉普拉斯變換原理并令ξ=Ω－βc。時(shí)間空間域內(nèi)軌道、隧道及土層位移表示為式(4)形式:在列車運(yùn)行初始時(shí)刻(t=0)，此式演變?yōu)槭?5)，此為標(biāo)準(zhǔn)的一維傅里葉逆變換。假如已知(β，z0，ω)，(β，z0，ω)的值，則在空間域中軌道、隧道及土層的應(yīng)力與位移便可求得。+∞

以同樣方法，可求得在移動(dòng)靜定荷載作用下時(shí)間空間域中的軌道、隧道及土層響應(yīng)式，即式(6)。

Ω=0時(shí)，式(4)即等價(jià)于式(6)，從某種意義上說(shuō)，靜定荷載僅為移動(dòng)荷載的特例。故在后續(xù)推導(dǎo)過(guò)程中僅考慮移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載的情況。

2 軌道系統(tǒng)有限元模擬

如前所述，軌道結(jié)構(gòu)及隧道的模擬將采用有限元方法，針對(duì)浮置板軌道結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)［2］，浮置板軌道結(jié)構(gòu)可分長(zhǎng)、中、短浮置板三種形式，現(xiàn)澆結(jié)構(gòu)宜視為長(zhǎng)浮置板形式，可將其簡(jiǎn)化為梁。另外其與同樣簡(jiǎn)化為歐拉梁的鋼軌和隧道之間的扣件及彈性支撐連接簡(jiǎn)化為彈簧。其彈性剛度分別用kp和kpe表示。在不考慮橫向位移的前提下，各部分平衡方程可表示為:?

其中:w1，w2和w3分別為軌道，浮置板及隧道的豎向位移，Er，Ed和ET為軌道、浮置板及隧道的抗彎剛度。ρT為隧道每延米質(zhì)量，τU，τL分別為隧道上下側(cè)土體界面處的應(yīng)力。

當(dāng)該耦合結(jié)構(gòu)受到如P0eiΩtδ(x－ct)移動(dòng)荷載時(shí)，分別對(duì)上三式就時(shí)間t和圓頻率ξ進(jìn)行積分。即可轉(zhuǎn)化為在頻率波數(shù)域內(nèi)的一維有限元問(wèn)題，其剛度與荷載矩陣分別為:

3 傅里葉傳遞矩陣模擬土層響應(yīng)

3.1 土層上下界面?zhèn)鬟f關(guān)系

基于粘彈性理論，對(duì)于特定土層，其運(yùn)動(dòng)方程可以表示為［14］:

其中:u={u(x，z，t)，w(x，z，t)}為距離土層頂部深度 z處的橫向與豎向運(yùn)動(dòng)分量，ρ為土層密度，λ和μ為粘彈性拉梅常數(shù)。其表達(dá)式為:

通過(guò)對(duì)式(14)進(jìn)行傅里葉變換并求解偏導(dǎo)方程，在土層深度為z處的運(yùn)動(dòng)方程表示為:

同樣方法可獲得下表面處應(yīng)力應(yīng)變統(tǒng)一表達(dá)式:

由此，根據(jù)式(20)和式(21)，土層上下層應(yīng)力應(yīng)變可表示為:

3.2 層狀土層整體傳遞矩陣

根據(jù)Haskell等［14］提出的土層應(yīng)力應(yīng)變連續(xù)條件:結(jié)合式(20)，對(duì)含有n層的土體，其上表面和下地面的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為:

其中:

3.3 本模型上下側(cè)土層應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

如圖1所示，隧道結(jié)軌道上下側(cè)均為多土層，結(jié)合其邊界條件，其上下界面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

(1)上側(cè)土層

由于上側(cè)土層下表面與隧道梁相連，因而其橫向位移為零且其下表面豎向應(yīng)變量等同于隧道梁，由此接觸面上應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系為:

(2)下界面

隧道下側(cè)土層為一多土層和半無(wú)限空間體的耦合結(jié)構(gòu)，其中半無(wú)限體上邊面和多土層的下表面存在連續(xù)關(guān)系。針對(duì)于半無(wú)限空間，假定在無(wú)窮遠(yuǎn)處應(yīng)力應(yīng)變?yōu)榱?，半無(wú)限體上表面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為:

耦合上面多土層，結(jié)合式(28)，下側(cè)土層與隧道梁耦合的上表面的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示為:

同樣，在忽略橫向變形的前提下，其豎向應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可表示為:

4 實(shí)例分析

4.1 研究背景及參數(shù)

本文以上海四號(hào)線臨平－海倫路區(qū)間為研究背景，該路段采用浮置板道床，列車具體參數(shù)如圖2及表1所示:

圖2 運(yùn)營(yíng)車輛幾何尺寸圖Fig.2 The geometer of operation car at Shanghai metro line 4

為研究方便，隧道上下土層簡(jiǎn)化為均一土層，其計(jì)算參數(shù)如表 2所示［15］。

如圖2所示的運(yùn)營(yíng)列車產(chǎn)生的列車荷載簡(jiǎn)化為移動(dòng)速度為60 km/h，幅值為149 kN，其表達(dá)式為:

表1 浮置板軌道相關(guān)參數(shù)(半幅)Tab.1 Parameters of the FST(for half track)

表2 土層參數(shù)Tab.2 Parameters for the ground layers

其中:L0為觀察點(diǎn)距離第一個(gè)荷載的距離，Le為車廂長(zhǎng)度。Pn(x－ct+Ln)代表第n節(jié)車廂產(chǎn)生的荷載如式(31)所示。其中PNi輪對(duì)產(chǎn)生的荷載，其他參數(shù)見(jiàn)圖2。

對(duì)上式做傅里葉變化可得其在f－k域內(nèi)表達(dá)式為:

4.2 軌道及土層頻散特性分析

為探討其與土層耦合特征，本節(jié)將研究軌道結(jié)構(gòu)和土體頻域波數(shù)域內(nèi)頻散關(guān)系，即分析在無(wú)阻尼條件下，響應(yīng)位移為無(wú)窮大時(shí)波數(shù)β和圓頻率ω的關(guān)系。

基于式(10)，可求得在無(wú)阻尼條件下波數(shù)和圓頻率的關(guān)系，其中H是關(guān)于β，ω的函數(shù)，其值介于0和無(wú)窮大之間，所以分析以上H為零和無(wú)窮大兩者情況，可以從大體上反映軌道結(jié)構(gòu)的頻散曲線分布規(guī)律，從分析中可以發(fā)現(xiàn)在含有隧道梁時(shí)，其第一模態(tài)區(qū)別很小，因而，選定H為無(wú)窮大作為計(jì)算工況，其頻散圖如下圖3所示。

同樣基于式(27)及式(30)，并借助MATLAB采用尋找傅里葉極值的方法求取土層在頻域內(nèi)的P－SV頻散曲線。其中上側(cè)土層與軌道系統(tǒng)的頻散耦合關(guān)系見(jiàn)圖3。

圖3 上側(cè)土層與軌道耦合頻散特征圖Fig.3 The disperse cures of the ground layer and coupled with the track disperse curves

圖3中反映了在簡(jiǎn)諧移動(dòng)荷載作用下，上側(cè)土層中壓縮波和豎向剪切波的頻散曲線分布情況。從圖中可以看出，除第一模態(tài)與瑞利波速曲線相交之外，其余模態(tài)均介于土層的瑞利波速和剪切波速曲線范圍之內(nèi)。同時(shí)含有隧道梁的軌道系統(tǒng)頻散曲線與土層的前兩個(gè)模態(tài)相交。從中可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)重要頻散特征。其一就是多普勒效應(yīng)，對(duì)于特定頻率來(lái)說(shuō)，當(dāng)其移動(dòng)速度超過(guò)極限速度時(shí)，土層多會(huì)產(chǎn)生多普勒效應(yīng)。以靜荷載對(duì)上側(cè)土層影響為例，其極限速度可以通過(guò)上層土層模態(tài)曲線與土層瑞利波速曲線相交點(diǎn)(f0，k0)來(lái)判斷，當(dāng)靜荷載移動(dòng)速度超過(guò)2πf0/k0時(shí)，會(huì)發(fā)生多普勒效應(yīng)。另外對(duì)特定移動(dòng)速度情況下，如圖3所示的虛線代表時(shí)速為60 km/h移動(dòng)的簡(jiǎn)諧荷載，其與第一模態(tài)起點(diǎn)相交，并與頻率軸同時(shí)相交于2.4 Hz，說(shuō)明當(dāng)時(shí)速為60 km/h時(shí)，其極限頻率為2.4 Hz。超過(guò)該頻率時(shí)，亦會(huì)發(fā)生多普勒效應(yīng)。

另外一個(gè)重要特征耦合結(jié)構(gòu)的共振頻率。以第一個(gè)交點(diǎn)為例，交點(diǎn)位于點(diǎn)(7.82 Hz，0.41 m－1)，說(shuō)明頻率為7.82 Hz的振動(dòng)波可同時(shí)在軌道系統(tǒng)和土層中傳播，此時(shí)共振效應(yīng)將會(huì)發(fā)生，后續(xù)的分析驗(yàn)證上述特點(diǎn)。

4.3 軌道響應(yīng)及與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

根據(jù)圖2中各參數(shù)數(shù)值，依據(jù)式(10)，可計(jì)算得到頻率波數(shù)域內(nèi)鋼軌和浮置板的響應(yīng)值，如圖4所示，頻域計(jì)算范圍選定為［－5，5］，從圖中可以發(fā)現(xiàn)波數(shù)k值絕對(duì)值大于3后，其幅值已很小，從而保證了做逆傅里葉變換時(shí)數(shù)值無(wú)遺漏。通過(guò)運(yùn)用IFFT變換得到如圖5及圖6所示時(shí)域內(nèi)的響應(yīng)值。

圖4 鋼軌位移波數(shù)域內(nèi)求解值Fig.4 The rail displacement value at wavenumber domain

圖5 軌道位移模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖Fig.5 The Rail simulation displacement along the x direction and compared with the measures

圖6 浮置板模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 The float slab simulation displacement along the x direction and compared with the measures

從圖5、圖6看出，由于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中包含測(cè)試儀器與隧道同振動(dòng)，因而列車離開(kāi)時(shí)存在小差異，其余部分模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合良好。說(shuō)明模型能較好的模擬耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。

4.4 地層響應(yīng)

4.4.1 地表位移

為驗(yàn)證3.3節(jié)中頻譜分析結(jié)論，探討地表振動(dòng)隨激勵(lì)頻率變化的差異，本文對(duì)不同頻率下地表位移做了研究。

假設(shè)隧道的橫向位移為零，豎向位移根據(jù)式(10)求解獲得的前提下。根據(jù)式(20)中Θ值，在土層上下邊界應(yīng)力應(yīng)變值中的四個(gè)值已知，便可求得Θ值，其余四個(gè)分量也可同時(shí)獲得。根據(jù)圖4頻散曲線，分別選取多普勒效應(yīng)的極限頻率下值0.1 Hz和共振頻率值8 Hz，一節(jié)運(yùn)營(yíng)車廂以時(shí)速60 km/h經(jīng)過(guò)，分析在上述頻率作用下地表位移的區(qū)別。

圖7 共振與普通激勵(lì)頻率下地表位移圖Fig.7 The comparison of the surface displacement under the resonance and normal frequency moving harmonic load

從圖7可發(fā)現(xiàn)，地表的橫向與豎向位移在0.1 Hz頻率荷載作用下符合理論解，而8 Hz頻率荷載作用發(fā)生了多普勒效應(yīng)。由頻散曲線分析得到的與共振頻率相近的8 Hz簡(jiǎn)諧荷載作用下，地表位移值大于其他頻率段的響應(yīng)值。

4.4.2 地層剪力

對(duì)于很多巖土工程師來(lái)說(shuō)，或許會(huì)更多的關(guān)注土層中應(yīng)力情況，根據(jù)4.4.1節(jié)中所述方法，同樣可以求取不同頻率下沿隧道上層土層深度方向的應(yīng)力值。為分析應(yīng)力隨激振頻率的關(guān)系，借助本文所述模型計(jì)算了不同頻率下應(yīng)力的變化情況。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，在0～20 Hz范圍內(nèi)，應(yīng)力最大值出現(xiàn)在共振頻率附近。與上節(jié)中地表位移的分析結(jié)果一致。在實(shí)際分析與現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量中，只需獲取其中一個(gè)物理量的頻率分布特征，即可分析振動(dòng)響應(yīng)隨頻率的變化情況。從而為減振措施選取做出參考。

同時(shí)本文還選取了8 Hz簡(jiǎn)諧移動(dòng)荷載作用下，隧道與上側(cè)土層接觸面和地表處沿列車行進(jìn)方向上的以及x=0處沿土層深度方向上的剪應(yīng)力變化情況。

從圖9發(fā)現(xiàn)，剪力也出現(xiàn)明顯的多普勒效應(yīng)。并且在同一頻率簡(jiǎn)諧荷載作用下豎向應(yīng)力和橫向應(yīng)力的分布形式不同，頻率為8 Hz時(shí)，豎向應(yīng)力仍處于第一模態(tài)而橫向應(yīng)力出現(xiàn)第二模態(tài)，且變化更為復(fù)雜。

圖8 不同頻率下上層土層應(yīng)力最大值分布圖Fig.8 The max value of the stress against frequency

圖9 剪力沿列車運(yùn)行方向及深度方向變化情況Fig9 The stress varies along the train moving direction and depth

5 結(jié)論

本文基于FEM原理和TMM方法開(kāi)發(fā)一種用于計(jì)算軌道－隧道－土層耦合情況下列車振動(dòng)引起的振動(dòng)響應(yīng)的模型，從與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比以及相關(guān)頻散特征分析上看，本模型在研究與計(jì)算軌道及土層耦合響應(yīng)問(wèn)題上是切實(shí)可行的。其能較好的求解軌道系統(tǒng)位移和土體應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。結(jié)論如下:

(1)由軌道隧道系統(tǒng)與土層耦合頻散特性分析中，可以清晰得到當(dāng)簡(jiǎn)諧移動(dòng)荷載頻率超過(guò)一定量值時(shí)，將在地表位移及土層剪力中將會(huì)出現(xiàn)多普勒效應(yīng)。

(2)由耦合結(jié)構(gòu)頻散特性分析中，從軌道及土層頻散曲線的交點(diǎn)(f0，k0)上判斷出頻率為f0的振動(dòng)波在波數(shù)為k0時(shí)，能同時(shí)在軌道和土層中傳播。如上海四號(hào)線軌道與土層共振頻率在7.8 Hz附近的激勵(lì)荷載會(huì)造成較大的地表位移與應(yīng)力。

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