陳 帥，楊智春，李 斌，黨會(huì)學(xué)

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

動(dòng)載荷識(shí)別屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第二類逆問題研究范疇，主要包括動(dòng)載荷值的識(shí)別及載荷作用部位的識(shí)別兩方面。

動(dòng)載荷識(shí)別的方法大致可分為頻域方法和時(shí)域方法兩種。目前，動(dòng)載荷識(shí)別的頻域方法已趨于成熟，而時(shí)域識(shí)別方法的問題甚多，為此許多學(xué)者在動(dòng)載荷的時(shí)域識(shí)別方面開展了許多有意義的工作，例如:基于函數(shù)逼近的動(dòng)載荷識(shí)別方法［1－4］、基于模態(tài)空間變換與Duhamel積分的動(dòng)載荷識(shí)別方法［5－9］、逆系統(tǒng)動(dòng)載荷識(shí)別方法［10－12］、SWAT 動(dòng)載荷識(shí)別方法［13］以及其它方法［14－16］等。然而，這些方法都存在值得完善的地方，其根源在于動(dòng)載荷識(shí)別這類逆問題在數(shù)學(xué)上的不適定性:完全依賴于數(shù)值方法進(jìn)行動(dòng)載荷識(shí)別，可能會(huì)過多地降低該問題的內(nèi)在物理約束，而使得其求解條件惡化［5，8－9，17］;相反，僅靠理論分析進(jìn)行解析求解必然會(huì)提高計(jì)算的復(fù)雜度且降低識(shí)別效率，同時(shí)受模型簡(jiǎn)化(包括物理簡(jiǎn)化與數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化)方法優(yōu)劣的影響較大。為提高動(dòng)載荷識(shí)別效率并避免單純采用數(shù)值方法或解析方法等進(jìn)行動(dòng)載荷識(shí)別的不足，本文結(jié)合離散數(shù)據(jù)擬合與模態(tài)空間轉(zhuǎn)換及模態(tài)疊加原理，提出一種動(dòng)載荷時(shí)域半解析識(shí)別方法，并通過數(shù)值仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證此方法的可行性。

1 基本方程

1.1 模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)識(shí)別方程

對(duì)一個(gè)N自由度系統(tǒng)，假設(shè)已知其n(n≤N)個(gè)自由度的響應(yīng)，進(jìn)行模態(tài)截?cái)鄷r(shí)保留m階模態(tài)，模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)采用前s階基函數(shù)進(jìn)行擬合。

對(duì)N自由度系統(tǒng)，其物理坐標(biāo)函數(shù)x(t)與模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)q(t)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

即:

其中:［Φij］N×N=［φ1φ2… φN］，列向量 φ1，φ2，…，φN分別為結(jié)構(gòu)第 1，2，…，N 階振型，滿足 Φij=φj(i)即振型 φj的第 i個(gè)分量作為矩陣［Φij］N×N的第 i行第 j列元素。

若已知結(jié)構(gòu)n個(gè)自由度的響應(yīng)，為表述方便，假定已知前n個(gè)自由度的響應(yīng)，則結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)x(t)與模態(tài)坐標(biāo)q(t)的轉(zhuǎn)換關(guān)系縮減為:

其中:矩陣［Φij］n×N由矩陣［Φij］N×N的前 n 行元素構(gòu)成。當(dāng)響應(yīng)已知的n個(gè)自由度并不對(duì)應(yīng)于前n個(gè)自由度時(shí)，則矩陣［Φij］n×N由矩陣［Φij］N×N中已知自由度對(duì)應(yīng)行的元素構(gòu)成，并進(jìn)行重新編號(hào)，其它響應(yīng)的處理方法類似。

進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，保留m階模態(tài)，則結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)x(t)與模態(tài)坐標(biāo)q(t)的轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)一步縮減為:

即:

選取一組基函數(shù) T1(t)，T2(t)，…，Tr(t)，…對(duì)模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)q1(t)，q2(t)，…，qm(t)進(jìn)行最小二乘擬合。

令{Ti(t)}={T1(t)，T2(t)，…，Tr(t)，…}T，并據(jù)精度要求截取基函數(shù)前r階進(jìn)行擬合，則:

模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)擬合模型為:

即:

聯(lián)立式(4)與式(8)，得:

同理，截取基函數(shù) T1(t)，T2(t)，…，Tr(t)，…的前r階對(duì)給定n個(gè)自由度的響應(yīng)x1(t)，x2(t)，…，xn(t)進(jìn)行最小二乘擬合。其時(shí)域響應(yīng)的擬合模型為:

即:

聯(lián)立式(9)與式(11)，得:

由于{Ti(t)}r×1不恒為零，故要使式(12)在任意時(shí)刻t均成立，則應(yīng)有:

式中:［aij］m×r為待求解的模態(tài)坐標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣;［Φij］n×m可由結(jié)構(gòu)固有特性分析獲得，也可直接由結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試得到;而［Aij］n×r則需利用離散數(shù)據(jù)曲線擬合方法獲得。

利用式(13)求解［aij］m×r，得:

式中(［Φij］n×m)+滿足:

1.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)識(shí)別方程

由坐標(biāo)變換與模態(tài)疊加原理，得:

聯(lián)立式(8)和式(16)，得:

將式(14)代入式(17)，得:

將式(15)代入式(18)，得:

由此便求出由保留模態(tài)疊加得到的各自由度時(shí)域位移響應(yīng)函數(shù)。對(duì)已知某些自由度速度響應(yīng)或加速度響應(yīng)的情況，類似的有:

其中:［bij］m×r與［dij］m×r分別為模態(tài)速度函數(shù)系數(shù)矩陣與模態(tài)加速度函數(shù)系數(shù)矩陣。

1.3 動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別方程

對(duì)多自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)控制方程為:

設(shè)式(22)描述的運(yùn)動(dòng)方程是對(duì)結(jié)構(gòu)用有限元方法進(jìn)行離散化后的方程，并假定用粘性阻尼;而實(shí)際上，本文提出的方法并不僅僅針對(duì)此種形式表示的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，該方法的使用條件為線性系統(tǒng)，即滿足模態(tài)疊加原理。

按照第1.2節(jié)方法識(shí)別出位移響應(yīng){xi(t)}N×1，速度響應(yīng)與加速度響應(yīng)中的任意一種響應(yīng)后，即可利用這三者間的積分與求導(dǎo)關(guān)系及初始條件，得到其它兩種形式的響應(yīng)［18］，而后將其代入運(yùn)動(dòng)方程，最終識(shí)別出結(jié)構(gòu)各自由度的動(dòng)態(tài)載荷{fi(t)}N×1。

2 數(shù)值仿真

圖1為典型的20自由度無阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，其參數(shù)及外載荷為:

① 質(zhì)量:m1=m2=…=m20=1kg;

② 剛度:k1=k2=…=k20=1×104N/m;

圖1 20自由度的無阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)Fig.1 Undamped mass-spring system of20 DOFs

對(duì)圖1結(jié)構(gòu)按照如下兩種工況施加外激勵(lì):工況一 單點(diǎn)載荷激勵(lì)(單位:N):

工況二 多點(diǎn)載荷激勵(lì)(單位:N):

針對(duì)上兩種工況，利用MSC.NASTRAN計(jì)算求解，分別得到該兩工況下的時(shí)域位移響應(yīng)，并以此為輸入(已知響應(yīng))進(jìn)行動(dòng)載荷識(shí)別。在此采用代數(shù)多項(xiàng)式1，t，t2，…，tr，…作為基函數(shù)，用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合。不過其基函數(shù)并不局限于代數(shù)多項(xiàng)式，實(shí)際問題中可據(jù)需要選擇較優(yōu)的基函數(shù)，但其方法的實(shí)質(zhì)并未改變。利用MATLAB軟件編程，實(shí)現(xiàn)了第1節(jié)中的動(dòng)載荷識(shí)別方法，該程序的具體流程如圖2所示。

利用編寫的動(dòng)載荷識(shí)別程序，可得到本節(jié)中各工況下的動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果，如圖3～圖5所示。數(shù)值仿真結(jié)果表明:

(1)不管是單點(diǎn)載荷激勵(lì)(工況一)還是多點(diǎn)載荷激勵(lì)(工況二)，其動(dòng)載荷的識(shí)別結(jié)果均與實(shí)際載荷吻合較好，進(jìn)而在一定程度上通過數(shù)值仿真論證了該方法的可行性;

(2)該方法可以較準(zhǔn)確地識(shí)別載荷的作用位置，因而可用來進(jìn)行動(dòng)載荷加載位置識(shí)別，特別是對(duì)一些具有局部動(dòng)載荷激勵(lì)的結(jié)構(gòu)，可用它來進(jìn)行動(dòng)載荷的初步定位，進(jìn)而為確定后續(xù)分析中需要詳細(xì)分析的結(jié)構(gòu)部件或部位提供有效的選擇依據(jù);

(3)由于該方法可識(shí)別出各自由度上的時(shí)域動(dòng)載荷，因而利用結(jié)構(gòu)有限元方法中的分布載荷與結(jié)點(diǎn)載荷之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可進(jìn)行結(jié)構(gòu)的時(shí)域分布動(dòng)載荷識(shí)別。

圖5 工況二②的載荷識(shí)別結(jié)果(第6，10，16自由度)Fig.5 The identified loads of load case 2②.(Excite at the 6th，10th and 16th DOFs)

為進(jìn)一步分析該方法的抗噪能力，針對(duì)工況二①的情況，對(duì)計(jì)算得到的動(dòng)響應(yīng)分別人為地增加0%，5%，10%，15%，20%，30%，50%，80%，100% 的隨機(jī)噪聲和高頻正弦噪聲，并以此為輸入識(shí)別出其動(dòng)載荷時(shí)間歷程，如圖6、圖7所示。

圖6 隨機(jī)噪聲下的動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果Fig.6 The identified loads with random noise

其中，噪聲水平采用定義:

由圖6、圖7可見，雖然隨著噪聲水平的增加，其動(dòng)載荷識(shí)別精度有所降低，然而即便是存在某一有用信號(hào)完全被噪聲淹沒的情況，其識(shí)別結(jié)果仍能具備可接受的精度，且在較低噪聲水平下其識(shí)別結(jié)果比較滿意，顯然此方法具有良好的抗噪聲能力。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 模型簡(jiǎn)化與動(dòng)力學(xué)建模

圖7 高頻正弦噪聲下的動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果Fig.7 The identified loads with sine noise of high frequency

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的可行性，設(shè)計(jì)如圖8所示的8層空間剪切框架結(jié)構(gòu)，并對(duì)該結(jié)構(gòu)的時(shí)域動(dòng)載荷進(jìn)行識(shí)別。根據(jù)該框架的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行模型簡(jiǎn)化:① 每層的質(zhì)量都集中在層間隔框上;② 剛度集中在層間支柱上;③每兩層之間有4個(gè)支柱，每個(gè)支柱由3根截面為 0.139 m ×0.027 m×0.001 m的扁鋼層疊而成，其 y方向(寬度方向)的彎曲剛度遠(yuǎn)大于x方向(厚度方向)的彎曲剛度，只需要考慮其x方向的運(yùn)動(dòng);④ 由于響應(yīng)測(cè)試時(shí)間很短且該結(jié)構(gòu)的阻尼較小，因而模型簡(jiǎn)化時(shí)忽略阻尼的作用。

按上述模型簡(jiǎn)化方法，可得到8層空間剪切框架簡(jiǎn)化模型如圖9所示。

由文獻(xiàn)［19］中提出的基于固有頻率向量的模型修正方法，得修正后的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣分別為:

在第一層結(jié)構(gòu)上施加水平方向正弦激勵(lì)載荷為f1(t)=sin(6πt)(N)，而在其它各層上不進(jìn)行激勵(lì)，即當(dāng)i≠1時(shí) f1(t)=0(N)。

3.2 載荷識(shí)別與結(jié)果對(duì)比分析

針對(duì)上述工況，通過試驗(yàn)測(cè)試得到該工況下的時(shí)域加速度響應(yīng)，以此作為輸入進(jìn)行動(dòng)載荷識(shí)別。同樣，采用基函數(shù)多項(xiàng)式 1，t，t2，…，tr，…進(jìn)行測(cè)試動(dòng)響應(yīng)擬合，結(jié)果如圖10所示。

利用MATLAB7.0軟件編程，實(shí)現(xiàn)了第1節(jié)中的動(dòng)載荷識(shí)別方法，得到動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果，如圖11所示。由圖可見，除了少數(shù)自由度(第5層)外，基本上也能較好地識(shí)別出結(jié)構(gòu)的動(dòng)載荷。雖然其識(shí)別結(jié)果存在一定偏差，但基本上也能滿足載荷識(shí)別要求;同時(shí)其誤差主要在于載荷識(shí)別時(shí)使用的是簡(jiǎn)化模型而非完全真實(shí)模型，試驗(yàn)中空間框架僅被簡(jiǎn)化為8自由度模型，得到的動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化程度較高，說明對(duì)模型簡(jiǎn)化的優(yōu)劣必然會(huì)對(duì)載荷識(shí)別的結(jié)果產(chǎn)生影響，因而必須在載荷識(shí)別前盡可能合理地建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。此外，試驗(yàn)測(cè)試誤差、噪聲干擾與擬合基函數(shù)類型及階數(shù)的選擇也會(huì)對(duì)載荷識(shí)別結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

因本算例中結(jié)構(gòu)自由度較少，其動(dòng)響應(yīng)可通過測(cè)試獲得，已知信息較充分，故載荷識(shí)別結(jié)果很好;但考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度較多且無法測(cè)試獲得全部動(dòng)響應(yīng)，因此為分析響應(yīng)測(cè)點(diǎn)位置的選擇對(duì)載荷識(shí)別結(jié)果的影響，任意選擇三組測(cè)點(diǎn)進(jìn)行加速度響應(yīng)測(cè)試:① 第1，2，3，5，6，8 自由度，② 第 1，2，4，6，7，8 自由度，③ 第1，3，4，5，7，8 自由度;分別將所選測(cè)點(diǎn)處的測(cè)試加速度為輸入進(jìn)行載荷識(shí)別，得到的動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果如圖12所示。

圖12 響應(yīng)測(cè)點(diǎn)不夠時(shí)8層空間剪切框架的載荷識(shí)別結(jié)果Fig.12 Identified loads of the 8-story frame without enough testing points of response

由圖12可見，在第③種輸入情況下除少數(shù)自由度上的載荷識(shí)別誤差相對(duì)較大外，其它自由度的載荷識(shí)別結(jié)果較好;而在第①種、第②種輸入情況下，與其他相比載荷識(shí)別精度較低。結(jié)果表明，當(dāng)測(cè)試響應(yīng)不全(即已知信息缺失)時(shí)，載荷識(shí)別精度會(huì)降低，甚至產(chǎn)生較大誤差，此問題主要是由于在約束不足的情況下使用［Φij］n×m的廣義逆陣進(jìn)行未知自由度響應(yīng)重構(gòu)所得到的是最小二乘解，且考慮到測(cè)試中存在噪聲與誤差，而各自由度測(cè)得的有用信號(hào)成分與干擾信號(hào)成分(噪聲成分及測(cè)試誤差成分等)的比例各不同，顯然所選測(cè)點(diǎn)組的有用信號(hào)成分比例越大，其獲得的動(dòng)載荷識(shí)別精度越高;同時(shí)，識(shí)別結(jié)果的好壞與響應(yīng)測(cè)點(diǎn)位置的選擇有關(guān)，合理地布置測(cè)點(diǎn)能改善識(shí)別精度，因此需要采用優(yōu)化方法進(jìn)行專題研究。實(shí)際應(yīng)用中，測(cè)試響應(yīng)不全的問題在數(shù)學(xué)及物理上只憑借測(cè)試有限自由度的響應(yīng)通常都是無法徹底解決的，依靠現(xiàn)有的各種方法得到的動(dòng)載荷僅為工程可用解(本例中是最小二乘解)，是一種在有限約束下的等效載荷，而并非一定是真實(shí)解。要得到真實(shí)的動(dòng)載荷則必須根據(jù)實(shí)際情況增加相應(yīng)約束，考慮到結(jié)構(gòu)本身具有的濾波作用，并非所有成分載荷都能引起顯著的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，因而在實(shí)際應(yīng)用中識(shí)別出一組相對(duì)較優(yōu)的工程可用載荷也同樣具有重要意義。

4 結(jié)論

為提高動(dòng)載荷識(shí)別效率并避免單純采用數(shù)值方法或解析方法進(jìn)行動(dòng)載荷識(shí)別的不足，本文結(jié)合離散數(shù)據(jù)擬合與模態(tài)空間轉(zhuǎn)換及模態(tài)疊加原理，提出了一種動(dòng)載荷時(shí)域半解析識(shí)別方法。

以數(shù)值仿真響應(yīng)為輸入的動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果表明:無論是單點(diǎn)載荷還是多點(diǎn)載荷，該方法均能較好地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)載荷大小與作用位置識(shí)別;同時(shí)，它還具有較好的抗噪聲干擾能力;此外，還可利用結(jié)構(gòu)有限元方法中的分布載荷與結(jié)點(diǎn)載荷之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)行結(jié)構(gòu)時(shí)域分布動(dòng)載荷識(shí)別，即具有一定的拓展?jié)摿?。而以試?yàn)測(cè)試加速度響應(yīng)為輸入的動(dòng)載荷識(shí)別實(shí)例結(jié)果表明:該方法對(duì)動(dòng)載荷識(shí)別的優(yōu)劣程度，受模型簡(jiǎn)化優(yōu)劣程度、響應(yīng)測(cè)點(diǎn)布置等因素影響，合理簡(jiǎn)化模型與響應(yīng)測(cè)點(diǎn)選擇是比較關(guān)鍵的。此外，試驗(yàn)測(cè)試誤差、噪聲干擾與擬合基函數(shù)類型及階數(shù)的選擇也會(huì)對(duì)載荷識(shí)別結(jié)果產(chǎn)生影響。

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