翁劍楓

（浙江科技學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，杭州310023）

模擬濾波器在信號(hào)處理中起著重要的作用，從模擬信號(hào)采樣前的限帶濾波到數(shù)字處理后的信號(hào)重建恢復(fù)都須用到，因而在混合集成處理芯片中得到了廣泛的使用。即就數(shù)字處理本身，實(shí)際使用的數(shù)字IIR濾波器也往往由其模擬原型進(jìn)行變換得到，與FIR濾波器相比，雖然不具線性相位，但在相同的通帶幅度特性情況下，IIR濾波器的復(fù)雜度即濾波器的階次卻遠(yuǎn)較FIR濾波器為低。因此，模擬濾波器至今仍是信號(hào)處理系統(tǒng)中的一個(gè)不可或缺的部分。

經(jīng)典的模擬濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)已成熟多年［1－2］，設(shè)計(jì)過(guò)程非常簡(jiǎn)單，給定少量的頻率參數(shù)和相應(yīng)頻率范圍內(nèi)的設(shè)計(jì)指標(biāo)，套用公式即可完成低通原型設(shè)計(jì)，而且已有現(xiàn)成表格給出經(jīng)頻率變換后的各種實(shí)際使用的低通、帶通、高通、帶阻等濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和結(jié)構(gòu)。借助MATLAB，還可方便地從低通模擬原型濾波器構(gòu)建出相應(yīng)的任何階次的IIR數(shù)字濾波器。但在實(shí)際應(yīng)用中，除了通常的頻域?yàn)V波外，還會(huì)遇到有時(shí)域性能要求的應(yīng)用情況，如數(shù)據(jù)流傳輸中將會(huì)對(duì)所傳輸信號(hào)的波形失真也即時(shí)域誤差提出要求，又如有些應(yīng)用中系統(tǒng)對(duì)某種給定輸入需要具有特定的響應(yīng)形式，以及對(duì)濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)或階躍響應(yīng)有時(shí)間要求等。對(duì)于這種應(yīng)用要求，由于無(wú)法將時(shí)域性能要求用作濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，因此也就無(wú)法直接采用上述廣泛用于工程中的經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)。文獻(xiàn)［3－7］中給出了這類(lèi)應(yīng)用的一些例子，從中可見(jiàn)，為滿足時(shí)域性能要求，濾波器的設(shè)計(jì)通常需要采用算法難度和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度均較經(jīng)典濾波器情況為高的方法，如文獻(xiàn)［3］所提出的時(shí)域綜合方法完全基于非線性數(shù)值優(yōu)化技術(shù)，文獻(xiàn)［4］涉及了逆濾波誤差準(zhǔn)則及隨后生成的一個(gè)線性系統(tǒng)的最優(yōu)求解，而文獻(xiàn)［5－7］則在經(jīng)典濾波器基礎(chǔ)上再采用了時(shí)變參數(shù)技術(shù)。文獻(xiàn)［8］提出的方法雖簡(jiǎn)單，從理想傳輸條件下的系統(tǒng)函數(shù)出發(fā)，就貝塞爾濾波器的情況逼近得到了可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)，但文中卻并未涉及時(shí)域誤差的定量分析，也未涉及其他設(shè)計(jì)指標(biāo)。

從理論上說(shuō)，將時(shí)域性能要求引入經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)的主要障礙，是由于濾波器系統(tǒng)函數(shù)產(chǎn)生自其幅度平方函數(shù)。因此，不論使用何種形式的濾波器逼近方法，只有與幅度平方函數(shù)有關(guān)的性能要求才能在濾波器設(shè)計(jì)中用作設(shè)計(jì)指標(biāo)，而濾波器的時(shí)域性能與其頻率特性之間不存在解析關(guān)系，從而無(wú)法將這類(lèi)要求取為經(jīng)典濾波器的定量設(shè)計(jì)指標(biāo)。

然而，進(jìn)一步的考察表明，在眾多的時(shí)域性能要求中，信號(hào)的時(shí)域誤差在一定條件下是個(gè)例外。眾所周知，信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器后產(chǎn)生失真的來(lái)源有兩個(gè)，一是濾波器的幅度特性非理想，另一是其不具線性相位特性。一方面，相位特性是由濾波器系統(tǒng)函數(shù)中分子分母的所有零極點(diǎn)的位置所形成，因此無(wú)法給出其對(duì)于線性相位特性的偏差表達(dá)，從而無(wú)法得到非理想相位特性對(duì)信號(hào)失真貢獻(xiàn)的定量估計(jì)。另一方面，濾波器幅度特性與理想特性之間的差距則可以與所使用濾波器的幅度特性相聯(lián)系。因此，去除相位特性非理想這一因素后，信號(hào)通過(guò)濾波器后產(chǎn)生的失真就完全由濾波器的幅度特性非理想所貢獻(xiàn)。這樣，只要導(dǎo)出由輸出失真導(dǎo)致的誤差信號(hào)的上界與所用濾波器的幅度平方函數(shù)之間的解析關(guān)系，就可將時(shí)域信號(hào)誤差要求引入為濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)，從而可以使用成熟的經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)。不過(guò)，或許是由于經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)從理論到技術(shù)都極為完備的緣故，迄今未見(jiàn)有對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探索。

由上述分析可知，在消除了濾波器非理想相位特性因素后，時(shí)域誤差要求就有可能引入經(jīng)典的模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)之中。為消除非理想相位特性這一因素，最簡(jiǎn)單有效的方法是對(duì)濾波器進(jìn)行相位補(bǔ)償，也即用全通網(wǎng)絡(luò)對(duì)濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置進(jìn)行校正，使其具有近似的線性相位特性。各類(lèi)經(jīng)典濾波器形式中，貝塞爾或高斯濾波器具有十分出色的相位特性，但其幅度特性卻遠(yuǎn)遜于巴特沃斯濾波器［1－2］。另外，巴特沃斯濾波器既具有最平幅度響應(yīng)，又很容易用一個(gè)相對(duì)低階的全通濾波器對(duì)其進(jìn)行相位補(bǔ)償。文獻(xiàn)［2］中給出的一個(gè)實(shí)例表明，用4階全通網(wǎng)絡(luò)即可對(duì)一個(gè)10階巴特沃斯濾波器實(shí)現(xiàn)接近理想的相位補(bǔ)償，使其在群延遲特性及單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)等方面均非常接近于理想濾波器。這樣，為將時(shí)域誤差要求引入到濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)之中，采用相位補(bǔ)償?shù)陌吞匚炙篂V波器就是一個(gè)合理有效的選擇。

本研究將根據(jù)上述思路，設(shè)法在經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)中引入時(shí)域失真即時(shí)域信號(hào)誤差指標(biāo)。

1 濾波器輸出的時(shí)域誤差上界

對(duì)于有時(shí)域誤差要求的應(yīng)用情況，濾波器在濾除其通帶以外雜散信號(hào)和噪聲的同時(shí)，應(yīng)使有用信號(hào)通過(guò)濾波器時(shí)盡可能不產(chǎn)生失真。在這種應(yīng)用情況下，有用信號(hào)的帶寬應(yīng)是有限的，即輸入信號(hào)是帶限信號(hào)。現(xiàn)設(shè)濾波器的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)分別為f（t）和g（t），相應(yīng)的傅里葉變換分別為F（jω）和G（jω），濾波器的頻率特性為

式（1）中，A（ω）｜max＝1，則相應(yīng)的理想濾波器頻率特性為

式（2）中，ωp大于信號(hào)的最高頻率。

由式（1）～（2）可知，在頻率范圍｜ω≤ωp｜內(nèi)，實(shí)際濾波器與理想濾波器之間幅度誤差與相位誤差分別為

對(duì)于實(shí)際使用的各種濾波器形式，顯然都有0≤ΔA（ω）≤1。

不失一般性，令理想濾波器中的td＝0，則在頻率范圍｜ω≤ωp｜內(nèi)，實(shí)際濾波器的頻率特性可寫(xiě)為

信號(hào)f（t）通過(guò)濾波器H（jω）后的時(shí)域誤差為

利用柯西－許瓦茲不等式，再利用帕斯維爾等式，從式（5）可得

式（6）中，L2范數(shù) f（t）2是輸入信號(hào)f（t）的均方根能量。注意到上式對(duì)任何t都成立，式（6）可進(jìn)一步寫(xiě)為

式（7）中，e（t）∞為誤差信號(hào)e（t）的契比雪夫范數(shù)，即e（t）的最大值。

由式（2）和（4），并計(jì)入理想濾波器的td＝0，則在濾波器通帶范圍內(nèi)有

對(duì)濾波器進(jìn)行相位補(bǔ)償后，式（8）成為

將式（9）代入式（7）可知，信號(hào)通過(guò)經(jīng)相位補(bǔ)償?shù)臑V波器后，時(shí)域誤差信號(hào)關(guān)于均方根輸入信號(hào)能量的相對(duì)誤差上界為

在式（10）中，右端所示的時(shí)域誤差上界已與濾波器幅度特性相聯(lián)系。

對(duì)于巴特沃斯濾波器，由于只需使用低階相位補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)即可實(shí)現(xiàn)很好的相位補(bǔ)償，因此式（10）給出的時(shí)域誤差上界具有足夠的可靠性，可以據(jù)此導(dǎo)出設(shè)計(jì)指標(biāo)及相應(yīng)的設(shè)計(jì)公式。

2 濾波器設(shè)計(jì)公式

經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)中，總是先求出低通原型，而后再借助頻率變換技術(shù)得到實(shí)際需要的濾波器。巴特沃斯歸一化原型低通濾波器的幅度平方特性為

對(duì)式（12）右端中的后兩項(xiàng)作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到

注意到在低通原型濾波器的通帶內(nèi)，恒有ω＜1，故式（13）中6 N次以上高次項(xiàng)的合成貢獻(xiàn)為負(fù)，從而有

將式（14）代入式（10），求出右端的積分后得到

再將上式中的頻率關(guān)于截止頻率ωc進(jìn)行歸一化，式（15）成為

引入歸一化單位帶寬上的輸入信號(hào)能量E2f：

其均方根為Ef，則時(shí)域誤差最大值與均方根歸一化單位帶寬輸入信號(hào)能量之比為

上式表示的e可適用于不同的輸入信號(hào)情況，因而是信號(hào)通過(guò)濾波器后時(shí)域誤差的一個(gè)很好量度，可以據(jù)此構(gòu)建出時(shí)域信號(hào)誤差指標(biāo)。

將式（16）中的 f（t）2按式（17）所示關(guān)系以Ef表示，得到

此即相位補(bǔ)償巴特沃斯濾波器情況下時(shí)域誤差信號(hào)關(guān)于均方根歸一化單位帶寬輸入信號(hào)能量的相對(duì)誤差上界，簡(jiǎn)稱(chēng)為時(shí)域誤差上界。

對(duì)于給定的時(shí)域誤差指標(biāo)emax，根據(jù)式（19），顯然應(yīng)有

這樣就構(gòu)建出了以時(shí)域誤差要求形式出現(xiàn)的濾波器通帶要求。

濾波器的阻帶要求與經(jīng)典設(shè)計(jì)相同［1－2］，仍為

式（21）中，As為阻帶衰減，單位為分貝（dB）。式（21）所示的阻帶要求也可改寫(xiě)為

從式（20）、（22）中消去ωc，得到

這樣，在給定通帶頻率ωp、阻帶頻率ωs及時(shí)域誤差指標(biāo)emax、阻帶衰減指標(biāo)As后，濾波器的階次N即可由式（23）求出。盡管式（23）所示的不等式為超越形式，無(wú)法求出解析解，但由于所求N值是個(gè)正整數(shù)，因此稍作試湊就可求出使此式成立的最小N值，也不難編程求取。

在得到濾波器階次N后，由式（20）和式（22）可得到濾波器的截止頻率

這樣，式（23）和式（24）就給出了將時(shí)域信號(hào)誤差作為通帶指標(biāo)的巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)公式。

3 與經(jīng)典設(shè)計(jì)方法的比較與示例

現(xiàn)對(duì)以上提出的設(shè)計(jì)方法與經(jīng)典設(shè)計(jì)方法作一比較并給出設(shè)計(jì)示例。由于線性帶通系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的復(fù)包絡(luò)不隨頻譜搬移而改變［9］，因此最大時(shí)域誤差也不會(huì)因頻譜搬移而改變；而在經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)中，頻率變換技術(shù)已完全成熟，因此僅討論低通濾波器情況。表1給出了兩種設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)參數(shù)與指標(biāo)及設(shè)計(jì)方程和設(shè)計(jì)公式。

表1 兩種設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)參數(shù)與指標(biāo)、設(shè)計(jì)方程和設(shè)計(jì)公式Table 1 Parameters and specifications，equations and formulas of two design procedures

表1中，經(jīng)典設(shè)計(jì)方法的截止頻率ωc求取公式與常規(guī)所見(jiàn)形式有所不同，這里以不等式方式給出了其取值范圍，以便對(duì)兩種設(shè)計(jì)方法所得截止頻率的異同進(jìn)行比較。通常，文獻(xiàn)中經(jīng)典設(shè)計(jì)的ωc求取公式為［1－2］：

這樣所得的兩個(gè)截止頻率將分別嚴(yán)格滿足通帶起伏要求或阻帶衰減要求。實(shí)際上，稍加分析即可看出，將表1所示不等式中的兩個(gè)“≤”號(hào)分別取為等號(hào)，就可得到式（25）和式（26）。還可看出，由于兩種設(shè)計(jì)方法的阻帶衰減要求相同，式（26）也適用于本研究提出的方法。

由表1可見(jiàn)，兩種方法的設(shè)計(jì)思路相同，計(jì)算復(fù)雜度也無(wú)實(shí)質(zhì)性差別。從指標(biāo)系統(tǒng)看，兩者的阻帶指標(biāo)完全相同，而筆者提出的方法將時(shí)域信號(hào)誤差指標(biāo)取為通帶指標(biāo)，從而將時(shí)域誤差要求直接引入到了經(jīng)典的模擬濾波器設(shè)計(jì)之中。注意到在這類(lèi)應(yīng)用中，濾波器的主要功能是要對(duì)有用信號(hào)通過(guò)濾波器通帶后產(chǎn)生的失真進(jìn)行控制，因此，將時(shí)域誤差代替通帶起伏作為通帶要求應(yīng)是一個(gè)合理的做法。此外，從兩者的通帶要求表達(dá)式（20）和式（26）還可以看出，由于在通帶內(nèi)＜1，因此隨著濾波器階次N的增大，無(wú)論是時(shí)域誤差還是通帶起伏都將減小。這就提示了這兩種方法具有相容性，也即，如果設(shè)計(jì)中同時(shí)有時(shí)域誤差指標(biāo)和通帶起伏指標(biāo)要求，則可用兩種方法分別求出濾波器的階次，取其大者，就可同時(shí)滿足時(shí)域誤差指標(biāo)要求和通帶起伏指標(biāo)要求。下面給出兩個(gè)設(shè)計(jì)示例。

例1 低通濾波器要求為：時(shí)域誤差emax＝0．04，阻帶衰減AS＝40dB，ωs＝2ωp。則由式（23）略經(jīng)試探即可得到N＝7。求出濾波器的階次后，從式（24）可求出濾波器的截止頻率為

取定ωc數(shù)值后，再經(jīng)相位補(bǔ)償，就完成了濾波器設(shè)計(jì)。

若將濾波器通帶指標(biāo)由時(shí)域誤差指標(biāo)改為通帶起伏指標(biāo)Rp＝2．1dB，其他不變。則由經(jīng)典設(shè)計(jì)方法可得N＝7，再由表1所給公式求出濾波器截止頻率為

比較兩種設(shè)計(jì)所得結(jié)果可以看出，若取N＝7，截止頻率ωc＝0．517 95ωs，則在進(jìn)行相位補(bǔ)償后，所得的濾波器可同時(shí)滿足上面給定的時(shí)域誤差指標(biāo)和頻域中的通帶起伏和阻帶衰減指標(biāo)要求。

例2 低通濾波器要求為：時(shí)域誤差emax＝0．02，通帶起伏Rp＝1dB，阻帶衰減AS＝50dB，ωs＝2ωp。此例中，在通帶內(nèi)同時(shí)存在著時(shí)域誤差要求和通帶起伏要求，因此應(yīng)結(jié)合使用兩種設(shè)計(jì)方法。這時(shí)，用筆者的方法根據(jù)時(shí)域誤差要求得到的N＝9，而用經(jīng)典設(shè)計(jì)方法根據(jù)通帶起伏要求得到的N＝10。因此應(yīng)取N＝10，然后從N＝10出發(fā)類(lèi)似例1分別由表1中設(shè)計(jì)公式求出相應(yīng)的截止頻率范圍，決定出合適的截止頻率ωc，再進(jìn)行相位補(bǔ)償，就可以完成設(shè)計(jì)。實(shí)際上，實(shí)用中只需根據(jù)式（26）求出ωc＝0．562 34ωs即可。顯然，例2中得到的濾波器在滿足頻域指標(biāo)要求的同時(shí)，在時(shí)域誤差性能上已超過(guò)了設(shè)計(jì)要求。不難驗(yàn)證，這一濾波器可滿足emax＝0．01的時(shí)域誤差要求。

這兩個(gè)示例表明，改進(jìn)的設(shè)計(jì)方法彌補(bǔ)了經(jīng)典濾波器設(shè)計(jì)不能使用時(shí)域誤差指標(biāo)的不足。更有意義的是，在同時(shí)存在時(shí)域誤差與頻域通帶起伏要求的情況下，可將兩種方法結(jié)合起來(lái)使用以滿足設(shè)計(jì)要求。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于存在濾波器時(shí)域失真性能要求的應(yīng)用場(chǎng)合，由于經(jīng)典的濾波器設(shè)計(jì)方法不能將時(shí)域失真要求設(shè)置為設(shè)計(jì)指標(biāo)，因而無(wú)法直接采用。針對(duì)這一問(wèn)題，筆者考察了產(chǎn)生這一困難的原因，探索了可能的解決途徑?？疾毂砻?，在對(duì)濾波器進(jìn)行相位補(bǔ)償后，就可以導(dǎo)出時(shí)域信號(hào)誤差的上界并進(jìn)而據(jù)此形成設(shè)計(jì)指標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，筆者就巴特沃斯濾波器提出了一種新的濾波器設(shè)計(jì)方法，用時(shí)域信號(hào)誤差指標(biāo)代替了經(jīng)典設(shè)計(jì)中的通帶起伏指標(biāo)，并給出了完整的設(shè)計(jì)公式。比較與示例分析表明，此設(shè)計(jì)方法與經(jīng)典設(shè)計(jì)方法的算法難度基本相同，且完全相容。因此，將兩種設(shè)計(jì)方法結(jié)合，就可適用于同時(shí)存在通帶起伏要求和時(shí)域誤差要求的應(yīng)用場(chǎng)合。此外，雖然筆者僅就巴特沃斯濾波器進(jìn)行了探索，但從文中分析可見(jiàn)，所提出方法在原理上也可適用于經(jīng)相位補(bǔ)償后的其他濾波器形式。

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