陳 铓，龔存宇

（湖南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湘潭 411101）

0 引 言

對(duì)舊產(chǎn)品進(jìn)行回收并循環(huán)利用能夠減少廢棄物數(shù)量，保護(hù)自然環(huán)境，同時(shí)企業(yè)也可以通過回收舊產(chǎn)品再生利用在經(jīng)濟(jì)上得到收益，故近年來各界對(duì)進(jìn)行產(chǎn)品回收再制造也就是逆向物流管理更加關(guān)注.Dobos［1］指出逆向物流管理即是將已使用過的或者可重復(fù)使用的零件和產(chǎn)品從客戶處回收到生產(chǎn)者進(jìn)行再處理.大多數(shù)逆向物流庫存模型一般假設(shè)回收產(chǎn)品的質(zhì)量水平符合再制造的要求，然而現(xiàn)實(shí)的逆向物流系統(tǒng)中回收產(chǎn)品的質(zhì)量水平確實(shí)參差不一，需要進(jìn)行檢驗(yàn)才能決定再處理的方式.Salameh［2］研究了所有回收的舊產(chǎn)品在全數(shù)檢驗(yàn)完成后，將其中的不良品以低價(jià)賣出為原則的逆向物流庫存問題，假設(shè)不允許缺貨且補(bǔ)貨為瞬間完成.Papachristos［3］以Salameh模型為基礎(chǔ)，對(duì)不允許缺貨發(fā)生的庫存模型進(jìn)行最優(yōu)經(jīng)濟(jì)訂購量求解，其中假設(shè)不良品是在檢查完畢后直到訂購量用完后才進(jìn)行銷售.Eroglu［4］則依循先前的方法并增加了允許缺貨的條件.

Chan等人［5］亦對(duì)此問題進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)回收產(chǎn)品的不良率越高，所需要對(duì)外訂購的新產(chǎn)品的批量也越大.Porteus［6］認(rèn)為回收產(chǎn)品的質(zhì)量與再制造批量之間存在著顯著關(guān)系，即在給定的概率下，回收產(chǎn)品的批量足夠大就會(huì)出現(xiàn)不良品，如此再制造系統(tǒng)便會(huì)因?yàn)橹毓さ认嚓P(guān)的操作而發(fā)生額外的費(fèi)用.Porteus提供了三項(xiàng)生產(chǎn)質(zhì)量改善的方法，即降低過程失控的機(jī)會(huì)、降低固定成本以及同時(shí)使用上述兩種方法.Lee［7］將生產(chǎn)的時(shí)間長(zhǎng)度視為決策的主要因素，并強(qiáng)調(diào)用檢驗(yàn)的方式進(jìn)行質(zhì)量控制以建立EPQ模型.

圖1 逆向物流庫存系統(tǒng)

本文以Salameh模型為基礎(chǔ)提出如圖1所示的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)，其中只有那些滿足最低質(zhì)量水平的已使用過的產(chǎn)品才被允許從客戶處購買回來供再制造，但是由于回收產(chǎn)品的質(zhì)量參差不齊，所以將質(zhì)量水平作為隨機(jī)變量處理，研究目標(biāo)是最小化平均總庫存成本.

1 符號(hào)定義與假設(shè)

1.1 符號(hào)定義

（1）決策變量

T：一個(gè)制造與再制造周期的時(shí)間長(zhǎng)度；

P：回收產(chǎn)品與新產(chǎn)品的價(jià)格比（0≤P≤1）；

q：允許的最低質(zhì)量水平（0≤q≤1）；

（2）輸入?yún)?shù)：

a，θ：價(jià)格函數(shù)的參數(shù)（0≤a≤1）；

b，Φ：質(zhì)量函數(shù)的參數(shù)（0≤b≤1）；

c，δ：再制造成本函數(shù)的參數(shù)；

hS：?jiǎn)挝粫r(shí)間銷售備用品的庫存持有成本；

hR：再制造產(chǎn)品的庫存持有成本；

hraw：外購原材料的庫存持有成本；

CM：?jiǎn)挝恢圃斐杀荆?/p>

（1／γ）D：再制造的速率；

（1／β）D：制造的速率；

SR：再制造的準(zhǔn)備成本；

SM：制造的準(zhǔn)備成本；

D：需求率；

Pn：產(chǎn)品的銷售價(jià)格；

Craw：原材料的單位購買成本；

Co：有原材料的訂貨成本；

（3）模型參數(shù)：

R：回收產(chǎn)品的數(shù)量；

CR：再制造的單位成本；

HS，1：新制造產(chǎn)品在銷售備用倉庫存儲(chǔ)時(shí)平均庫存成本；

HS，2：再制造產(chǎn)品在銷售備用倉庫存儲(chǔ)時(shí)平均庫存成本；

HR：再制造存貨的平均庫存成本；Hraw：原材料的平均庫存成本；

1.2 模型假設(shè)

假設(shè)無限計(jì)劃期內(nèi)客戶需求是穩(wěn)定的，為已知的常數(shù)，由制造和再制造產(chǎn)品共同滿足.回收率是回收產(chǎn)品的質(zhì)量水平和單位回購價(jià)格的函數(shù)，即舊產(chǎn)品的回收率取決于最低允許的質(zhì)量水平以及回購價(jià)格與新產(chǎn)品價(jià)格的比例.只有那些滿足最低質(zhì)量水平的舊產(chǎn)品才被允許從客戶處購買回來以供再制造，但是由于回收產(chǎn)品的質(zhì)量參差不齊，所以將質(zhì)量水平作為隨機(jī)變量處理，假設(shè)回收產(chǎn)品的質(zhì)量水平服從均勻分布.回收產(chǎn)品將由再制造庫存轉(zhuǎn)移到再制造環(huán)節(jié)，所有回收的產(chǎn)品均進(jìn)行再制造，再制造產(chǎn)品的質(zhì)量與新生產(chǎn)的產(chǎn)品是相同的，另外再制造的單位成本依賴于回收產(chǎn)品的質(zhì)量水平.再制造產(chǎn)品被存儲(chǔ)在銷售備用倉庫中，假設(shè)庫存容量是無限的.由于假設(shè)不允許缺貨發(fā)生，新產(chǎn)品必須是新制造的并儲(chǔ)存在銷售備用倉庫中以滿足市場(chǎng)需求.在新產(chǎn)品制造中，從外部供應(yīng)商訂購原材料采用經(jīng)濟(jì)訂購批量（EOQ）.另外假設(shè)每個(gè)周期中新品制造與回收品再制造均為單一批次，即一個(gè)周期內(nèi)僅進(jìn)行一次制造和再制造作業(yè).

2 庫存模型的建立

2.1 回收率函數(shù)

假設(shè)舊產(chǎn)品的回收數(shù)量R是價(jià)格因素與質(zhì)量因素的函數(shù)，本文采用 V?r?s［8］提出的需求函數(shù)進(jìn)行修改，同時(shí)假設(shè)這兩個(gè)因素是相互獨(dú)立的.質(zhì)量因素是指生產(chǎn)廠家為再制造作業(yè)規(guī)定的回收產(chǎn)品的最低允許質(zhì)量水平，質(zhì)量函數(shù)為fq＝beφq.價(jià)格因素是指舊產(chǎn)品的回購價(jià)格與新產(chǎn)品的價(jià)格之比，價(jià)格函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為R＝R（p，q）＝D（1－αe－θp）be－φq.于是舊產(chǎn)品的回收率函數(shù)為

2.2 各類存貨的庫存持有成本

以回收產(chǎn)品的庫存水平下降至零為節(jié)點(diǎn)，定義T為兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)的時(shí)間間隔，表示為周期時(shí)間長(zhǎng)度.再制造需要的時(shí)間為TR，新產(chǎn)品制造需要的時(shí)間為TM，于是T＝TR＋TM.本文提出的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)中有三種不同的存貨，即再制造庫存、銷售備用庫存和原材料庫存（如圖2所示）.

圖2 三種存貨的庫存水平

（1）新產(chǎn)品的銷售備用庫存的平均庫存成本

（2）再制造產(chǎn)品的銷售備用庫存的平均庫存成本

（3）再制造庫存的平均庫存成本

（4）外購原材料的平均庫存成本

2.3 系統(tǒng)的平均總庫存成本

逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的平均總成本包括平均庫存持有成本、平均設(shè)置成本、平均訂購成本、平均再制造成本、平均生產(chǎn)成本、平均采購成本和平均回購成本.

（1）平均庫存持有成本

平均持有成本是方程（1）至（4）之和.

（2）再制造和制造的平均設(shè)置成本

（3）原材料的平均訂購成本

（4）平均再制造成本

平均再制造成本是預(yù)期再制造的成本乘以舊產(chǎn)品的回收數(shù)量.

其中CR＝ce－δx

（5）平均制造成本

平均制造成本等于再制造產(chǎn)品不能滿足的需求的數(shù)量乘以單位制造成本

（6）平均原材料成本

根據(jù)公式（9），原材料所需的材料平均金額可以表示為

（7）平均回購成本

回購成本等于從客戶回購舊產(chǎn)品的價(jià)格乘以數(shù)量

（8）平均總庫存成本

逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)的平均總成本可以表示為

假設(shè)P和Q為已知數(shù)，對(duì)上式取T的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)

由于SR，SM，CO，T均為正數(shù)，所以二階偏導(dǎo)數(shù)值大于零.由于p、q為已知值，TC在T為凸，令一階偏導(dǎo)數(shù)為零求解T，即可得到T的最優(yōu)值

3 模型求解與數(shù)值算例

在上節(jié)建立的逆向物流生產(chǎn)庫存模型中有三個(gè)決策變量，即實(shí)數(shù)T、p和q，其范圍在0～1之間.由于目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)復(fù)雜性，因此本文提出了基于粒子群優(yōu)化的啟發(fā)式算法.

3.1 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是一個(gè)連續(xù)的非線性函數(shù)的優(yōu)化方法.Kennedy［9］使用鳥群和魚群的比喻介紹了這種方法.粒子群算法是受個(gè)人之間的社會(huì)行為的啟發(fā)，這些人（我們稱之為粒子）在整個(gè)n維搜索空間運(yùn)動(dòng)，每個(gè)粒子代表一個(gè)問題的潛在解決方案.所有的粒子可以分享他們對(duì)搜索空間的信息，這樣他們就可以得到全局最好的解決辦法.在每次迭代中，每個(gè)粒子的速度根據(jù)給定的算法更新和計(jì)算.

粒子群優(yōu)化算法如下：

步驟1初始化一個(gè)隨機(jī)事件的立場(chǎng)和對(duì)p－q的粒子尺寸速度陣列.

步驟2計(jì)算T＊.

步驟3在搜索空間計(jì)算每個(gè)粒子的TC.

步驟4檢查是否符合停止運(yùn)算的標(biāo)準(zhǔn).如果符合標(biāo)準(zhǔn)，即停止，否則轉(zhuǎn)到步驟5.

步驟5更新每個(gè)粒子的pbest值和gbest值.

步驟6使用pbest，gbest和以前的速度更新每個(gè)粒子的位置.

步驟7轉(zhuǎn)到步驟2.

3.2 數(shù)值算例

本文使用C＋＋編程對(duì)提出的啟發(fā)式算法性能進(jìn)行了測(cè)試，并通過網(wǎng)格搜索方法得到次優(yōu)解.測(cè)試問題的參數(shù)值為：hS＝4，hR＝3，hraw＝1，CM＝30，SR＝5000，SM＝5000，D＝1000，Pn＝100，Craw＝20，Co＝1000，a＝0.9，b＝0.9，γ＝0.6，β＝0.5，δ＝1.對(duì)于三個(gè)不同的θ和Φ值，一共有9個(gè)算例.

表1 粒子群?jiǎn)l(fā)式算法的性能

0.01 1 0.7 0.06 0.51 20.76 2009.24 18755.03 48534..51 ＜0.01 1 0.04 0.20 20.42 2052.54 18379.30 48709.83 ＜0.01 2 0.05 0.16 20.80 2003.82 18803.24 48976.82 ＜0.01 2 0.06 0.11 17.02 2599.64 14421.37 48483.73 ＜

表2 網(wǎng)格搜索算法的性能

如表1、表2所示，在所有情況下粒子群優(yōu)化算法的計(jì)算時(shí)間小于0.01s，然而網(wǎng)格搜索算法的計(jì)算時(shí)間超過1min.

表3 PSO與網(wǎng)格搜索算法的性能對(duì)比

如表3所示，基于粒子群的啟發(fā)式算法的性能與網(wǎng)格搜索算法一樣良好，即次優(yōu)解的最大差值為0.4519%.因此，本文提出的算法可以在很短的時(shí)間內(nèi)得到次優(yōu)解.

4 結(jié) 論

本文對(duì)以再制造與新制造產(chǎn)品共同滿足固定需求的逆向物流生產(chǎn)庫存系統(tǒng)進(jìn)行了研究.本文引入在以往文獻(xiàn)中被忽略的但是在現(xiàn)實(shí)世界中很重要的最低允許質(zhì)量水平的概念，假設(shè)舊產(chǎn)品的回收率是質(zhì)量水平與單位回購價(jià)格的函數(shù)，以此變量建立了庫存成本函數(shù).由于逆向物流庫存模型的復(fù)雜性，本文提出了粒子群優(yōu)化算法去求解該模型.為了檢驗(yàn)粒子群算法的性能，本文將該算法得到的次優(yōu)解與網(wǎng)格搜索方法進(jìn)行了比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該算法與網(wǎng)格搜索方法得到相同結(jié)果的時(shí)間基本相同，由此證明了本算法的有效性.

［1］Dobos I.，Richter.An Extended Production／Recycling model with Stationary Demand and Return Rates［J］.International Journal of Production Economics，2008，90（3）：311－323.

［2］Salameh M.K.，Jaber M.Y.Economic Production Quantity Model for Items with Imperfect Quality［J］.International Journal of Production Economics，2000，64：59－64.

［3］Papachristos S.，Konstantaras I.Economic Ordering Quantity Models for Items with Imperfect Quality［J］.International Journal of Production Economics，2006，100：148－154.

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［9］Kennedy J.，Eberhart R.Particle Swarm Optimization［J］Proc.of Neural Networks 1995，IEEE International Conference on 1995，l4：1942－1948.