顧朝暉，趙志紅

（1.廣東外語外貿(mào)大學 思科信息學院，廣州510006；2.北京理工大學 珠海學院數(shù)理學院，珠海519085）

1 引言及預備知識

定義1［1］設(shè)X是Banach空間，T是X 到X 的映射，若

?x，y∈D（T），a，b，c≥0，a＋2b＋2c≤1，則稱T 為平均非擴張映射.

定義2［2］設(shè)X是Banach空間，T為平均非擴張映射.若序列｛xn｝滿足

則序列｛xn｝是關(guān)于｛αn｝，｛βn｝?［0，1］的Ishikawa迭代.

近來，很多作者對Ishikawa迭代收斂性進行研究，在許多文獻中得到了很重要的結(jié)果，見參考文獻［3］－［9］，其中文獻［8］和［9］給出了漸近偽壓縮等映射的Ishikawa迭代在光滑的Banach空間收斂的充要條件.在這篇文章中，主要證明平均非擴張映射的Ishikawa迭代在一般Banach空間收斂的充要條件.文章的結(jié)論擴展了平均非擴張映射的相關(guān)性質(zhì)，更進一步揭示了Ishikawa迭代收斂的本質(zhì).

2 主要結(jié)論及證明

主要結(jié)論如下：

證明：首先來證明序列｛xn｝有界，設(shè)F（T）是T的不動點集，p∈F（T），則

化簡整理，得

（因為a＋2b＋2c≤1，所以

所以

所以序列｛xn｝為有界序列.下面討論

從而

因為a＋b＋c≤1－b－c，且c＞0所以1－（a＋b－c）

因此

下面證明定理的充分性：

由于b＞0，因此1－a－2c＞0.

整理，得

因為‖xnk－Txnk‖→0（nk→＋∞）

故‖xnk1－Txnk1‖→0

‖xnk2－Txnk2‖→0（nk1，nk2→＋∞），

因此‖Txnk1－Txnk2‖→0

（nk1，nk2→＋∞），從而｛Txnk｝是柯西列，所以｛Txnk｝

收斂，設(shè)Txnk→q，故xnk→q，

而

當nk→＋∞時，有：

‖Tq－q‖≤b‖q－Tq‖＋c‖q－Tq‖，所以（1－b－c）‖Tq－q‖≤0

而1－b－c≥a＋b＋c＞0），所以‖Tq－q‖＝0，q∈F（T）.

因為

‖xn＋1－q‖≤‖xn－q‖≤‖xn－1－q‖

≤…≤‖x0－q‖，所以xn→q.

下面證明必要性：

根據(jù)定理的證明，可以得到下面兩個推論：

推論2：設(shè)X是Banach空間，T是X→X的具有不動點的平均非擴張映射，且b＞0，c＞0則T的Ishikawa迭代序列｛xn｝收斂的充要條件是：‖xn－Tyn‖有收斂于0的子列.

如果將定理中的條件c＞0換成βn＜1，定理結(jié)論仍然成立，即

［1］ 張石生.關(guān)于Banach空間中平均非擴張映射的不動點理論［J］.四川大學學報，1975，2：67－78.

［2］ S.Ishikawa.Fixed Points by a New Iterations Method［J］.Proc.Amer.Math.Soc.1974，44：147－150.

［3］ 趙漢賓.Banach空間中的平均非擴張映象：不動點的存在理論［J］.數(shù)學學報，1979，22（4）：459－469.

［4］ 鄧 磊，李勝宏.一致凸Banach空間中非擴張映射的I shikawa迭代［J］.數(shù)學年刊，2000，21A（2）：159－164.

［5］ V.Berinde.On the Convergence of the Ishikawa Iteration in the Class of Quasi Contractive Operators［J］.Acta Math.Univ.Comenian，2004，73：119－126.

［6］ Zhaohui Gu，yongjin Li.Approximating Fixed Points of Mean Nonexpansive Mapping in Banach Spaces［J］.Int.J.Pure Appl.Math，2007，40（2）：201－208.

［7］ Zhaohui Gu，Yongjin Li.Approximation Methods for Common Fixed Points of Mean Nonexpansive Mapping in Banach Spaces［J］.Fixed Point Theory and Applications，Volume 2008（2008），Article ID 471532，7pages.

［8］ 王 朝，劉理蔚.漸近偽壓縮映象的Ishikawa迭代序列強收斂的充要條件［J］.應(yīng)用泛函分析學報，2006，8（2）：252－258.

［9］ 薛祖華，顧正剛.－強增生型變分包含的Ishikawa迭代序列強收斂的充要條件［J］.應(yīng)用泛函分析學報，2010，12（1）：91－96.