馮積社

(隴東學院 數學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽745000)

0 引言

在孤立波解的研究領域內尋求非線性發(fā)展方程的解長期以來一直得到數學家和物理學家的關注。目前已得到基于計算機代數的許多方法，如雙曲正切函數法［1］、齊次平衡法［2］、Jacobi 橢圓函數法［3］、輔助方程法［4，5］等。其中比較有效的方法是Adomian 分解法(ADM)［6］，盡管一般情況下得到的是近似解，但有時也可以得到精確解［7］。此外這種方法比標準的數值方法更具優(yōu)勢，因為不需要進行離散化從而不用修正誤差，并且不需要大量的計算機內存和運算能力，因此對于許多非線性方程，ADM 能夠提供精度非常高的數值解且收斂非?？欤?］。

標準的ADM 方法需要顯式求Adomian 多項式［6］，文獻［9 -11］用ADM 求解KdV 和幾類推廣的KdV方程;文獻［12］對標準的ADM 方法作了改進，得到了不用顯式求Adomian 多項式的一種新的ADM 方法。本文利用文獻［12］的方法求解一類廣義的KdV 方程的孤立波解，借助Maple 求得了一類廣義KdV 方程的孤立波解的高精度的近似解。

1 廣義KdV 方程

本文中的廣義KdV 方程是指［10］

其中p 為正整數，取1，2，3…，ε 和μ 是正常數。初值條件為u(x，0)=f(x);邊值條件為:當|x|→+∞時，u，u″→0。設c 表示波沿著x 軸的正方向傳播的速度，進行行波變換

則(1)可變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?/p>

對(3)兩邊積分，并注意其邊值條件，從而得到

2 標準的ADM 方法及改進的ADM 方法

對于方程

其中L 表示待求函數u(x，t)關于t 是最高階導數，R 是除L 外的其余線性運算項，F(u)是非線性運算項，g(t)關于時間的函數。若L 的逆運算L-1可表示為

對(5)兩邊進行運算，得

其中f0是滿足初值和邊值條件的齊次方程Lu=0 的解。

標準的AMD 方法是假設待求函數u(x，t)為無窮級數和的形式

非線性F(u)項可分解為所謂的Adomian 多項式級數和的形式

其中An是基于u0，u1，…，un而求得，具體為

改進的ADM［12］定義了一種新的Adomian 多項式

其中sn=u0+u1+Λ+un-1。這樣由(11)，有

由此得到算法:

3 廣義KdV 方程的求解

下面分別對于(1)中p=1，2，3，利用上面介紹的改進ADM 求出其孤立波解。

1)當p=1 時，取c=1.3，ε= -6，μ=1，若取其初值條件為此時(1)為

兩邊關于t 積分，得

與(5)對應的，這里R(u)=uxxx，F(u)=uux，g(t)=0，根據上述改進的ADM，有

從而可得到方程(12)的精確解

這與文獻［9 -11］的結果是一致的，注意在文獻［11］中有筆誤。

2)當p=2 時，取c=1，ε=6，μ=1，若取其初值條件為u(x，0)=seeh(x)［10］，此時(1)為

可變形為

與(5)相對應，這里R(u)=uxxx，F(u)=u2ux，g(t)=0。根據上述改進的ADM，采用Maple 軟件可以求到

這雖然是近似解，但已經跟其精確解比較，近似的程序相當好了。這一點通過圖1與圖2可以看到。

圖1 精確解sech(x-t)的圖像

圖2 近似解公式(18)的圖像

3)當p=3 時，取c=0.6，ε=6，μ=1。若取初值，此時(1)為

與(5)對應的，這里R(u)=uxxx，F(u)=u3ux，g(t)=0。由上述改進的ADM，利用Maple 軟件可以求得

可以通過圖3精確解sech(x -t)的圖像和圖4近似解公式(20)的圖像的比較看出，近似的程度已相當好了。

圖3 精確解sech(x-t)的圖像

圖4 近似解公式(20)的圖像

4 結語

本文利用改進的Adomian 分解法，討論了一類廣義KdV 方程的孤立波解，最后通過計算機代數軟件Maple 求得了精確度比較高的近似解。

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