李 娟

（天津河?xùn)|區(qū)職工大學(xué)，天津 300171）

“00”型未定式極限一般在求冪指函數(shù)的極限時(shí)產(chǎn)生，通常采用換底方法，即limf（x）g（x）＝elimg（x）lnf（x）轉(zhuǎn)化為“0·!”，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“”型極限，利用羅必達(dá)法則求解。但是，當(dāng)極限式子中的f（x）、F（x）比較復(fù)雜，或者其求導(dǎo)運(yùn)算比較麻煩時(shí)，應(yīng)用羅必達(dá)法則就會(huì)遇到很多不便。為解決這個(gè)問(wèn)題本文給出一個(gè)新的方法，可以使計(jì)算或證明過(guò)程得以簡(jiǎn)化。

為此，先提出如下命題：

命題 設(shè)α、β、α′、β′均為同一自變量變化趨勢(shì)下無(wú)窮小，且α＞0，α′＞0，α～α′，β～β′。如果極限limα′β′存在，則limαβ存在，且limα′β′＝limαβ

證明 設(shè)y＝αβ，取對(duì)數(shù)，有l(wèi)ny＝βlnα，

于是limlny＝lim（βlnα）

由題設(shè)limβ＝0，lim＝1，lim＝1

lim（lnα′β′）＝ln（limα′β′）存在

故limlny＝ （limβ）（lim）＋ （lim）［lim（lnα′β′）］

＝0·1＋1·ln（limα′β′）

＝ln（limα′β′）

則limy＝limelny＝elim（lny）＝eln（limα′β′）＝limα′β′證畢通過(guò)舉例，來(lái)看此命題的應(yīng)用及其優(yōu)點(diǎn)。

解法一 設(shè)y＝ （sinx）tanx，取對(duì)數(shù)，有l(wèi)ny＝tanx·（lnsinx）

解法二 當(dāng)x→0＋時(shí)，sinx＞0，tanx＞0

且sinx～x，tanx～x

解法二 當(dāng)x→＋!時(shí)，－arctanx＞0且

解法一 設(shè)y＝ （cotx）arcsinx，取對(duì)數(shù)，有l(wèi)ny＝arcsinx·lncotx

解法二 當(dāng)x→0＋時(shí)，tanx＞0，arcsinx＞0，

且tanx～x，arcsinx～x，

我們知道，當(dāng)x→0＋時(shí)，x，sinx，arcsinx，tanx，arctanx，ln（1＋x）均大于0，且是彼此等價(jià)的無(wú)窮小量。因此，在求冪指函數(shù)αβ的極限時(shí)，如果出現(xiàn)它們，均可用x代替，從而使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。

［1］劉玉縺編.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，1985.

［2］盛祥耀編.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1987.