李海霞， 孟憲云， 陳雁東， 蔣燕美， 趙 丹， 陳變娟

(1.燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004；2.山西省廣靈縣第一中學(xué)校 山西 大同 037500)

0 引言

可修系統(tǒng)的最優(yōu)更換問(wèn)題已經(jīng)成為該領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，基于“修復(fù)如新”的系統(tǒng)，許多學(xué)者經(jīng)過(guò)研究并取得了不少成果[1-2].文獻(xiàn)[3]針對(duì)系統(tǒng)修理后的壽命隨機(jī)遞減、維修時(shí)間隨機(jī)遞增而最終系統(tǒng)不能再工作也不能再修理的問(wèn)題，提出了“幾何過(guò)程”.文獻(xiàn)[4-5]對(duì)預(yù)防維修能夠“修復(fù)如新”，而故障維修為“修復(fù)非新”的系統(tǒng)進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[6]對(duì)有延遲修理的修理工多重休假的單部件可修系統(tǒng)進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[7]對(duì)單重休假的可修系統(tǒng)進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[8-9]對(duì)預(yù)防性維修策略進(jìn)行了討論.

本文假定系統(tǒng)預(yù)防維修為“修復(fù)如新”，而故障維修為“修復(fù)非新”，且系統(tǒng)每次故障以概率1-p延遲修理，并選擇以系統(tǒng)的故障次數(shù)N為更換策略，利用更新過(guò)程和幾何過(guò)程理論，使得系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望費(fèi)用達(dá)到最小.另外，對(duì)預(yù)防維修的定長(zhǎng)間隔時(shí)間T及更換策略N也進(jìn)行了討論.最后，通過(guò)數(shù)值算例分析了該結(jié)果的有效性.

1 模型假設(shè)

假設(shè)1設(shè)t=0時(shí)，系統(tǒng)是新的，修理工開(kāi)始一次休假，且假定休假時(shí)間小于預(yù)防維修的定長(zhǎng)間隔時(shí)間T.休假結(jié)束時(shí)，若系統(tǒng)的工作時(shí)間達(dá)到指定時(shí)間T尚未發(fā)生故障，修理工立即對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防維修，且假定預(yù)防維修是“修復(fù)如新”的；若系統(tǒng)故障，修理工對(duì)其進(jìn)行修理；若系統(tǒng)沒(méi)有故障，修理工等待，待系統(tǒng)的工作時(shí)間未達(dá)到指定時(shí)間T而發(fā)生故障時(shí)，修理工對(duì)其進(jìn)行修理，且假定故障維修是“修復(fù)非新”的，預(yù)防維修和修理結(jié)束，開(kāi)始下一次休假.

假設(shè)4系統(tǒng)更換時(shí)，用新的同型部件更換，更換如新，且更換時(shí)間忽略不計(jì).

假設(shè)5系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)的工作報(bào)酬、故障維修費(fèi)用、預(yù)防維修費(fèi)用、待修時(shí)造成的損失和故障后延遲修理造成的損失分別為C1,C2,C3,C4,C5，而系統(tǒng)更換一次費(fèi)用為C.

2 主要結(jié)果及證明

定理1系統(tǒng)的故障次數(shù)為N時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望費(fèi)用為

(1)

其中，

圖1為系統(tǒng)的一個(gè)可能進(jìn)程圖，設(shè)τ1為系統(tǒng)第一次更換時(shí)間，τn(n≥2)為系統(tǒng)第n-1次更換與第n次更換之間的間隔時(shí)間.顯然，{τ1,τ2,…}為一個(gè)更新過(guò)程，相鄰兩次更換的間隔時(shí)間為一個(gè)更新周期.令D(N)為系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望費(fèi)用，根據(jù)更新報(bào)酬定理得

(2)

圖1 系統(tǒng)的一個(gè)可能進(jìn)程圖Fig.1 A possible progressive figure of the system

由系統(tǒng)進(jìn)程圖1以及模型假設(shè)得更新周期長(zhǎng)度為

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中定理1及條件期望的性質(zhì)知，

(3)

(4)

將(3)式和(4)式代入(2)式得定理.證畢.

推論在本文考慮的策略中，如不考慮預(yù)防維修，則公式(1)中的結(jié)果DN為

因?yàn)锽(T,N)為關(guān)于T的單調(diào)減函數(shù)，所以C(N)為其下確界，如果D(N)≥C(N)，則有C(N)≤D(N)

由定理2可得

因此本文的策略N*優(yōu)于C(N)中的策略N**.

3 數(shù)值算例

設(shè)Xn,Yn,Zn,Wn及Vn的分布函數(shù)分別為

其中，a>1,01,τ<∞,t≥0,n=1,2,….因此，

(5)

(6)

(7)

將(5)，(6)和(7)式代入(1)式，則(1)式成為

(8)

其中,

令a=1.01;b1=0.95;b2=0.98;d=2;λ=600;μ1=16;μ2=8;β=400;τ=0.6;C1=15；C2=45;C3=30;C4=22;C5=25;C=10 000;T=720;p=0.7，由(8)式得表1.

由表1可知，系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)最小期望費(fèi)用為Dmin(5)=1.745 9，即最優(yōu)的更換策略為N*=5，且是唯一存在的.

表1 D(N)隨N的變化規(guī)律Tab.1 The change of D(N) over N

4 結(jié)論

本文提出了一類新的修理工單重休假且延遲修理的預(yù)防維修更換模型.該模型以系統(tǒng)的故障次數(shù)為更換策略，選取系統(tǒng)經(jīng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)期望費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，利用幾何過(guò)程和更新過(guò)程的理論，建立了數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了該結(jié)果的有效性.特別地，本文的策略N優(yōu)于不考慮預(yù)防維修的策略N.該結(jié)果對(duì)指導(dǎo)企業(yè)合理使用及維護(hù)設(shè)備、降低生產(chǎn)成本、提高經(jīng)濟(jì)效益和系統(tǒng)安全性都具有一定的指導(dǎo)意義和參考價(jià)值.

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