王保軍, 楊永舉, 王順欽, 王景泉, 職占江
(1.南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南 南陽 473061;2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 開封 475001)
微分方程的黎曼問題是最簡單、最經(jīng)典的初值問題,Riemann、Von Neumann和Courant等著名數(shù)學(xué)家對此都做了深入研究;張同等利用相平面分析法專注于空氣動力學(xué)中的黎曼問題[1].在數(shù)值計算方面,Godunov構(gòu)造了求解黎曼問題的Godunov格式[2];Ben-Artzi等以Godunov格式為基礎(chǔ),引入二階Godunov類型格式并研究了反應(yīng)流的廣義黎曼問題[3];文獻[4]利用解析的方法對中心疏散波重解,構(gòu)造了可壓流體方程組的廣義黎曼問題(GRP)格式.GRP格式關(guān)于時間和空間都是二階的,是真正意義上的二階數(shù)值格式.
壓差方程最初是李蔭藩和曹亦明在用流體矢量分裂法[5]對歐拉方程組做數(shù)值分析時引入的,是歐拉方程的一種特殊形式[6].本文研究一維壓差方程的簡化形式
(1)
其中,U=(u,E)T,F(xiàn)(U)=(p,pu)T,E=p+u2/2,x和t分別為空間變量和時間變量[7].
(2)
其中,
(3)
圖1 壓差方程廣義黎曼問題伴隨黎曼問題的波形 Fig.1 Wave pattern of associate Riemann problem for the general Riemann problem of pressure gradient equations(PGE)
故
(4)
因為ψ在β-曲線方向不發(fā)生變化,所以
(5)
(6)
(7)
利用(5)、(6)和(7),可得
(8)
另一方面,
(9)
將(4)和(9)代入(8)即得引理1的結(jié)論.
GRP格式的計算過程包括4個步驟:
1)對初值進行分段線性逼近,求解黎曼問題以確定
得到,其中,aL,bL,dL,aR,bR和dR由壓差方程的黎曼解的波形和引理1~4確定.
確定,α為常數(shù)且α∈[0,3).
利用GRP格式計算一維壓差方程的經(jīng)典黎曼問題,部分結(jié)果如圖2和圖3所示.?dāng)?shù)值實驗表明壓差方程的GRP格式有很高的精度,但不能從本質(zhì)上克服Godunov類型格式的缺陷[8-9].文[9]證明了Godunov格式的這個缺陷來自它本身,可知Godunov類型格式對壓差方程只包含強簡單波的黎曼解有很好的性質(zhì),而對包含弱簡單波的黎曼解則是不適用的.
圖2 壓差方程僅含有強簡單波的黎曼解(實線)及GRP格式計算的數(shù)值解(點)的比較Fig.2 Comparison of true-solution without weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE
圖3 壓差方程含有弱簡單波的黎曼解(實線)及GRP格式計算的數(shù)值解(點)的比較Fig.3 Comparison of true-solution containing weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE
參考文獻:
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