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        壓差方程的廣義黎曼問題格式

        2012-05-22 07:14:03王保軍楊永舉王順欽王景泉職占江

        王保軍, 楊永舉, 王順欽, 王景泉, 職占江

        (1.南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南 南陽 473061;2.河南大學(xué) 數(shù)學(xué)系 河南 開封 475001)

        0 引言

        微分方程的黎曼問題是最簡單、最經(jīng)典的初值問題,Riemann、Von Neumann和Courant等著名數(shù)學(xué)家對此都做了深入研究;張同等利用相平面分析法專注于空氣動力學(xué)中的黎曼問題[1].在數(shù)值計算方面,Godunov構(gòu)造了求解黎曼問題的Godunov格式[2];Ben-Artzi等以Godunov格式為基礎(chǔ),引入二階Godunov類型格式并研究了反應(yīng)流的廣義黎曼問題[3];文獻[4]利用解析的方法對中心疏散波重解,構(gòu)造了可壓流體方程組的廣義黎曼問題(GRP)格式.GRP格式關(guān)于時間和空間都是二階的,是真正意義上的二階數(shù)值格式.

        壓差方程最初是李蔭藩和曹亦明在用流體矢量分裂法[5]對歐拉方程組做數(shù)值分析時引入的,是歐拉方程的一種特殊形式[6].本文研究一維壓差方程的簡化形式

        (1)

        其中,U=(u,E)T,F(xiàn)(U)=(p,pu)T,E=p+u2/2,x和t分別為空間變量和時間變量[7].

        1 符號說明

        (2)

        其中,

        2 簡單波的重解

        2.1 中心疏散波的重解

        (3)

        圖1 壓差方程廣義黎曼問題伴隨黎曼問題的波形 Fig.1 Wave pattern of associate Riemann problem for the general Riemann problem of pressure gradient equations(PGE)

        (4)

        因為ψ在β-曲線方向不發(fā)生變化,所以

        (5)

        (6)

        (7)

        利用(5)、(6)和(7),可得

        (8)

        另一方面,

        (9)

        將(4)和(9)代入(8)即得引理1的結(jié)論.

        2.2 激波的重解

        3 GRP格式的計算

        GRP格式的計算過程包括4個步驟:

        1)對初值進行分段線性逼近,求解黎曼問題以確定

        得到,其中,aL,bL,dL,aR,bR和dR由壓差方程的黎曼解的波形和引理1~4確定.

        確定,α為常數(shù)且α∈[0,3).

        4 數(shù)值試驗

        利用GRP格式計算一維壓差方程的經(jīng)典黎曼問題,部分結(jié)果如圖2和圖3所示.?dāng)?shù)值實驗表明壓差方程的GRP格式有很高的精度,但不能從本質(zhì)上克服Godunov類型格式的缺陷[8-9].文[9]證明了Godunov格式的這個缺陷來自它本身,可知Godunov類型格式對壓差方程只包含強簡單波的黎曼解有很好的性質(zhì),而對包含弱簡單波的黎曼解則是不適用的.

        圖2 壓差方程僅含有強簡單波的黎曼解(實線)及GRP格式計算的數(shù)值解(點)的比較Fig.2 Comparison of true-solution without weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE

        圖3 壓差方程含有弱簡單波的黎曼解(實線)及GRP格式計算的數(shù)值解(點)的比較Fig.3 Comparison of true-solution containing weak waves and numerical solution computed by GRP scheme for PGE

        參考文獻:

        [1] Zhang Tong,Xiao Ling.The Riemann Problem and Interaction of Waves in Gas Dynamics[M].New York: Longman Scientific & Technical, 1989:3-161.

        [2] Godunov S K. A finite difference method for the computation of discontinuous solutions of the equations of fluid dynamics[J]. Math Sb, 1959, 47(1):357-393.

        [3] Ben-Artzi M. The generalized Riemann problem for reactive flows[J].J comput Phys,1989,81(1):70-101.

        [4] Ben-Artzi M,Li Jiequan, Warnecke G. A direct Eulerian GRP scheme for compressible fluid flows[J].J comput Phys, 2006,218(1):19-43.

        [5] 蘇克勤,邢家省,馮仁忠.結(jié)合矢通分裂的差分格式[J].鄭州大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2008,40(2):39-41.

        [6] Li Yinfan, Cao Yiming. “Large-particle” difference method with second order accuracy in gas dynamics[J]. Scientia Sinica: Series A, 1985, 28(10): 1024-1035.

        [7] Li Jiequan, Zhang Tong, Yang Shuli. The Two-dimensional Riemann Problem in Gas Dynamics[M]. New York: Longman Scientific & Technical, 1998:157-159.

        [8] 王保軍,王景泉.壓差方程的HLL逼近Riemann格式[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報,2008,7(3):26-28.

        [9] 王保軍,張炳俠.壓差方程的Godunov格式[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報,2008,7(12):10-13.

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