楊凌輝，邾繼貴，張廣軍，葉聲華

(1. 北京航空航天大學(xué)精密光機(jī)電一體化技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

工作空間測量定位系統(tǒng)(workspace measurement positioning system，WMPS)是針對大型制造業(yè)測量需求特點(diǎn)而發(fā)展的一種新型多站網(wǎng)絡(luò)式測量系統(tǒng)．系統(tǒng)由分布于工作空間內(nèi)的多臺(tái)激光發(fā)射站及位于待測點(diǎn)處的若干接收器組成，可同時(shí)對多個(gè)接收器進(jìn)行跟蹤定位，非常適于為工業(yè)機(jī)械手等自動(dòng)化組裝設(shè)備提供精確引導(dǎo)信息，近年來已成為國內(nèi)外大尺寸測量領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)．目前產(chǎn)品化的WMPS系統(tǒng)只有Nikon Metrology生產(chǎn)的iGPS系統(tǒng)．在由4臺(tái)發(fā)射站組成的測量網(wǎng)絡(luò)中，iGPS坐標(biāo)測量不確定度優(yōu)于200,μm+10,μm/m，并已有英國巴斯大學(xué)及意大利都靈理工大學(xué)的研究人員對其進(jìn)行性能評(píng)價(jià)驗(yàn)證[1-5]．在國內(nèi)，除對 iGPS系統(tǒng)進(jìn)行介紹外，西安交通大學(xué)劉志剛和天津大學(xué)邾繼貴等[6-8]已分別研制出 N-RLATs(network of rotating laser automatic theodolites)系統(tǒng)及WMPS系統(tǒng)樣機(jī).

WMPS系統(tǒng)在工作時(shí)需要通過發(fā)射站定向得到發(fā)射站坐標(biāo)系到全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換關(guān)系(定向參數(shù))，才能將各站坐標(biāo)系統(tǒng)一到測量坐標(biāo)系下并計(jì)算接收器坐標(biāo)．在現(xiàn)有系統(tǒng)中，發(fā)射站定向通常采用接收器在測量空間內(nèi)多個(gè)控制點(diǎn)處測量各站光信號(hào)并將控制點(diǎn)的坐標(biāo)或相互距離作為已知條件建立優(yōu)化方程，解算定向參數(shù)．控制點(diǎn)坐標(biāo)值或距離值一般通過跟蹤儀等輔助設(shè)備確定，如 iGPS系統(tǒng)在進(jìn)行系統(tǒng)平差定向時(shí)需要用跟蹤儀測量控制點(diǎn)間距離，而 NRLATs系統(tǒng)及WMPS系統(tǒng)需要采用位移平臺(tái)或跟蹤儀測量控制點(diǎn)坐標(biāo)初值才能實(shí)現(xiàn)發(fā)射站定向[9-11]．

現(xiàn)有依靠輔助設(shè)備配合的定向方法雖然精度高，但是效率較低，定向過程中容易發(fā)生點(diǎn)位信息配對失誤并導(dǎo)致解算失敗，不適用于空間受限或需要快速組網(wǎng)測量的場合．為簡化定向過程，提高測量效率，筆者在研究 WMPS系統(tǒng)測量原理的基礎(chǔ)上，充分利用發(fā)射站工作時(shí)水平安置這一特點(diǎn)，引入2點(diǎn)距離約束結(jié)合發(fā)射站空間角度測量模型，提出采用標(biāo)準(zhǔn)尺的發(fā)射站全局定向方法，建立了基于幾何約束的平差優(yōu)化模型并給出了解算方法及初值生成方法．最后，采用天津大學(xué)測控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室研制的WMPS系統(tǒng)對所述定向方法進(jìn)行了驗(yàn)證．

1 WMPS系統(tǒng)測量原理及數(shù)學(xué)模型

1.1 發(fā)射站數(shù)學(xué)模型

WMPS系統(tǒng)組成如圖 1所示．發(fā)射站工作時(shí)向測量空間內(nèi)發(fā)射兩束繞軸勻速旋轉(zhuǎn)并帶一定傾角的激光平面，同時(shí)每當(dāng)平面轉(zhuǎn)到預(yù)定位置處發(fā)射站發(fā)射光脈沖作為同步標(biāo)記．當(dāng)接收器收到發(fā)射站的旋轉(zhuǎn)光平面信號(hào)或同步標(biāo)記信號(hào)時(shí)，處理電路記錄信號(hào)到達(dá)時(shí)間并將其轉(zhuǎn)換為光平面旋轉(zhuǎn)角度．計(jì)算機(jī)通過采集各個(gè)接收器記錄的時(shí)間值可計(jì)算出此時(shí)接收器的精確坐標(biāo)．

圖1 WMPS系統(tǒng)組成示意Fig.1 Schematic configuration of workspace measurement positioning system

WMPS系統(tǒng)激光發(fā)射站可被抽象為繞公共轉(zhuǎn)軸勻速旋轉(zhuǎn)的 2個(gè)非平行半平面及 1個(gè)以固定頻率發(fā)射脈沖光的點(diǎn)光源，其光平面結(jié)構(gòu)參數(shù)及旋轉(zhuǎn)角速度在制造時(shí)進(jìn)行設(shè)定[8]．接收器則可簡化為以靶面光學(xué)中心為中心的質(zhì)點(diǎn)，數(shù)學(xué)模型如圖2所示．

圖2 數(shù)學(xué)模型Fig.2 Geometry model

定義激光平面1與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)O為發(fā)射站坐標(biāo)系原點(diǎn)，2平面旋轉(zhuǎn)軸為z軸，x軸為光平面轉(zhuǎn)至固定位置，發(fā)射站發(fā)射脈沖光時(shí)(初始時(shí)刻)光平面1光軸所在位置，y軸遵循右手定則．如接收器在光平面內(nèi)且在發(fā)射站坐標(biāo)系下坐標(biāo)為 P'RX：(x，y，z)T，則發(fā)射站的光平面與接收器位置關(guān)系可表示為

式中(a'1，b'1，c'1，d'1)T及(a'2，b'2，c'2，d'2)T為預(yù)先標(biāo)定的光平面系數(shù)．當(dāng)兩平面激光分別掃過接收器時(shí)，測量同步光信號(hào)及掃描平面光信號(hào)到達(dá)光電二極管的時(shí)刻t0及t1、t2可得到光平面旋轉(zhuǎn)角度為

此時(shí)，在發(fā)射站坐標(biāo)系下的平面方程系數(shù)變?yōu)樾D(zhuǎn)角度 θ1、θ2的函數(shù)為

1.2 單站角度測量模型

由發(fā)射站數(shù)學(xué)模型可知當(dāng)發(fā)射站的 2個(gè)掃描光分別到達(dá)接收器時(shí)，可求得光平面方程在發(fā)射站坐標(biāo)系下的方程系數(shù)，則兩平面法矢可表示為

此時(shí)可由發(fā)射站原點(diǎn)引出一條射線指向接收器，并定義接收器在發(fā)射站坐標(biāo)系下的俯仰角 β及方位角α，如圖2所示．假設(shè)射線的方向矢量為r，則當(dāng)接收器分別位于該發(fā)射站旋轉(zhuǎn)激光平面 1及平面 2內(nèi)時(shí)有1⊥rn，2⊥rn即制造過程中通常調(diào)整光平面 2與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)近似與發(fā)射站原點(diǎn)重合，因此接收器在發(fā)射站坐標(biāo)系下的方位角及俯仰角近似值為

1.3 多站坐標(biāo)測量模型

當(dāng)系統(tǒng)定向完成后，發(fā)射站坐標(biāo)系到測量坐標(biāo)系的平移向量PTXG及旋轉(zhuǎn)矩陣RTXG已知．如發(fā)射站的兩掃描光平面分別到達(dá)待測接收器時(shí)，其轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過角度分別為1nθ、2nθ，易知發(fā)射站在全局坐標(biāo)系下光平面系數(shù)滿足

式中：m為發(fā)射站掃描光平面序號(hào)；n為發(fā)射站序號(hào)；TXG表示該參數(shù)為測量坐標(biāo)系下的發(fā)射站結(jié)構(gòu)參數(shù)．此時(shí)接收器在測量坐標(biāo)系下坐標(biāo) PRXG：(xRXG，yRXG，zRXG)T待求，則有

當(dāng)測量空間內(nèi)布置有 n臺(tái)(n≥2)已定向發(fā)射站時(shí)可以列出 2n個(gè)形如式(10)的方程．對由這些方程組成的超定方程組進(jìn)行最小二乘求解即可得到接收器坐標(biāo)PRXG．

2 基于標(biāo)準(zhǔn)尺的定向算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)尺

WMPS系統(tǒng)所用標(biāo)準(zhǔn)尺由碳纖維或殷鋼等溫度系數(shù)較小的材料制成，同時(shí)尺兩端各安裝一個(gè)信號(hào)接收器，并配有信號(hào)處理單元，可獨(dú)立采集兩接收器數(shù)據(jù)，如圖3所示．

圖3 標(biāo)準(zhǔn)尺Fig.3 Scale bar

可通過外部手段標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)尺兩接收器光學(xué)中心的準(zhǔn)確距離，該數(shù)值即為標(biāo)準(zhǔn)尺長度，測量過程中可作為定值使用．

2.2 發(fā)射站定向模型

為便于分析WMPS系統(tǒng)發(fā)射站定向參數(shù)的解算過程，假設(shè)在標(biāo)定時(shí)全局測量網(wǎng)絡(luò)中包括 N臺(tái)發(fā)射站，標(biāo)準(zhǔn)尺分布于 J個(gè)參考位置，并且接收器在每個(gè)參考點(diǎn)處都可接收到全部發(fā)射站發(fā)出的光信號(hào)．由坐標(biāo)測量模型可知，當(dāng) 2個(gè)光平面分別掃過接收器時(shí)，其測量坐標(biāo)系平面方程系數(shù)可由式(9)得到．此時(shí)測量空間內(nèi)任意一點(diǎn)坐標(biāo)(x，y，z)到測站n的光平面m的距離約束dnm可以表示為

長期以來，測繪標(biāo)準(zhǔn)的制修訂管理業(yè)務(wù)都是以電子文檔、郵箱或電話方式進(jìn)行交互式提交和反饋，標(biāo)準(zhǔn)制修訂過程文檔的存儲(chǔ)由文件夾方式管理，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)制修訂管理低效，資源共享性差，標(biāo)準(zhǔn)分析困難等。

定向時(shí)，以 1號(hào)發(fā)射站坐標(biāo)系為 WMPS系統(tǒng)測量坐標(biāo)系，當(dāng)采用4元數(shù)表示激光發(fā)射站坐標(biāo)系到測量坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣 RTXGn時(shí)，每個(gè)發(fā)射站有平移向量 PTXGn及旋轉(zhuǎn)矩陣 RTXGn7個(gè)全局姿態(tài)參數(shù)未知數(shù)．如位置 j處的標(biāo)準(zhǔn)尺上接收器坐標(biāo)：PRXGj1：(xRXGj1，yRXGj1，zRXGj1)T 及 PRXGj2：(xRXGj2，yRXGj2，zRXGj2)T未知，則每處標(biāo)準(zhǔn)尺引入6個(gè)未知數(shù)，總未知數(shù)為 7(N-1)+6,J，如果每個(gè)參考位置處的接收器都可以接收到全部發(fā)射站發(fā)出的光信號(hào)，則可以列出4,NJ個(gè)形如下式

的優(yōu)化方程．考慮標(biāo)準(zhǔn)尺兩端的接收器及標(biāo)準(zhǔn)尺本身長度還可構(gòu)造約束關(guān)系．則此時(shí)約束方程總數(shù)為4,NJ+J．當(dāng) 4,NJ+J＞7,N+3,J，通過式(11)及式(12)可以構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為

采用 L-M 算法對該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小二乘優(yōu)化求解即可得到每個(gè)發(fā)射站在測量坐標(biāo)系下的定向參數(shù)最優(yōu)解[12]．

2.3 迭代初值生成

對式(13)進(jìn)行優(yōu)化求解的關(guān)鍵前提是以標(biāo)準(zhǔn)尺兩端接收器的坐標(biāo)近似值作為迭代初值．由于WMPS系統(tǒng)工作時(shí)發(fā)射站通常采取水平安置的方式，因此當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)尺豎直放置時(shí)靠發(fā)射站測角功能結(jié)合三角關(guān)系即可估算標(biāo)尺兩端接收器在各站坐標(biāo)系下的坐標(biāo)近似值．此時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)尺方向與發(fā)射站轉(zhuǎn)軸近似平行，采用接收器角度測量式(8)可分別得到標(biāo)準(zhǔn)尺頂部接收器的俯仰角β1及水平角α1，以及底部接收器的俯仰角β2及水平角α2，如圖4所示．

圖4 坐標(biāo)估算Fig.4 Coordinate estimation

如已知標(biāo)準(zhǔn)尺長 L，則標(biāo)尺到發(fā)射站的水平距離l近似為

當(dāng)?shù)玫蕉鄠€(gè)位置處標(biāo)準(zhǔn)尺兩端接收器在不同發(fā)射站下的坐標(biāo)近似值后，可采用基于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的坐標(biāo)系配準(zhǔn)算法求解測量網(wǎng)絡(luò)內(nèi)其他發(fā)射站到 1號(hào)發(fā)射站的旋轉(zhuǎn)矩陣及平移向量初值[13]．將這些迭代初值連同標(biāo)準(zhǔn)尺長度約束帶入優(yōu)化方程(12)進(jìn)行優(yōu)化求解便可得到精確坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系．

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖5 實(shí)驗(yàn)環(huán)境Fig.5 Experimental environment

表1 發(fā)射站光平面參數(shù)Tab.1 Optical plane’s parameters of transmitters

由求解條件可知，標(biāo)準(zhǔn)尺最少移動(dòng)4次即可完成雙站系統(tǒng)定向．因此，定向過程中首先采用標(biāo)準(zhǔn)尺在距兩發(fā)射站約6,m遠(yuǎn)處3.5,m×4.0,m×2.0,m的空間內(nèi)分別移動(dòng)4次，解算后得到的發(fā)射站2個(gè)定向參數(shù)(單位：mm)結(jié)果為

為考察參與標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)尺位數(shù)量對定向精度的影響，在保持發(fā)射站不動(dòng)的前提下，增加測量空間中用于標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)尺參考位置并進(jìn)行重新標(biāo)定．當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)尺參考位置增加至8個(gè)時(shí)，解算得到的發(fā)射站兩定向參數(shù)(單位：mm)結(jié)果為

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)尺參考位置增加至 16個(gè)時(shí)，得到的發(fā)射站兩定向參數(shù)(單位：mm)結(jié)果為

上述 3組標(biāo)定結(jié)果說明當(dāng)采用最小二乘優(yōu)化求解發(fā)射站兩定向參數(shù)時(shí)，解算結(jié)果隨標(biāo)定參考位置不同而略有不同，但隨位置數(shù)量的增加而趨于穩(wěn)定．為驗(yàn)證不同情況下的定向精度，采用同一標(biāo)準(zhǔn)尺在標(biāo)定空間內(nèi)不同位置進(jìn)行了 10次驗(yàn)證測量，并采用上述3組定向參數(shù)分別解算了10個(gè)位置標(biāo)準(zhǔn)尺長度l，如圖6所示．

圖6 采用不同定向參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)尺長度測量結(jié)果Fig.6 Scale bar length measurement results using different orientation parameters

由圖6中3組驗(yàn)證結(jié)果對比可知，標(biāo)準(zhǔn)尺長度測量誤差隨標(biāo)定參考位置的增加而趨于減小，即增加標(biāo)定參考位置的數(shù)量可在一定程度上提高標(biāo)定精度．其中采用 16個(gè)參考位置定向結(jié)果解算得到的接收器坐標(biāo)及尺長測量誤差Δl如表2所示.

表2 標(biāo)準(zhǔn)尺接收器坐標(biāo)及長度測量結(jié)果Tab.2 Scale bar’s reciever coordinates and length measurement results

由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)采用 16個(gè)參考位置定向時(shí)尺長測量誤差可控制在 0.25,mm以內(nèi)．由于現(xiàn)有測量原理默認(rèn)發(fā)射站工作時(shí)保持勻速旋轉(zhuǎn)，因此測量時(shí)接收器坐標(biāo)測量精度及標(biāo)準(zhǔn)尺長度測量精度主要受到發(fā)射站轉(zhuǎn)速控制穩(wěn)定性的影響．另一方面，受到器件制造工藝(感光元件外形及封裝厚度)限制，尺上接收器在接收不同方向光信號(hào)時(shí)也會(huì)引入角度測量誤差．因此，在采用豎直姿態(tài)標(biāo)準(zhǔn)尺生成迭代初值進(jìn)行定向優(yōu)化求解后，豎直狀態(tài)下的尺長驗(yàn)證測量精度略高于其他姿態(tài)．

4 結(jié) 論

(1) 在介紹了工作空間坐標(biāo)測量定位系統(tǒng)的基礎(chǔ)上建立了基于光平面方程描述的發(fā)射站數(shù)學(xué)模型，并推導(dǎo)了接收器角度測量公式及坐標(biāo)測量方程．

(2) 利用發(fā)射站工作時(shí)水平安置這一特點(diǎn)，引入2點(diǎn)距離約束結(jié)合發(fā)射站空間角度測量模型，提出了采用標(biāo)準(zhǔn)尺的發(fā)射站全局定向方法，建立了基于幾何約束的平差優(yōu)化模型，最后通過實(shí)驗(yàn)對所述定向方法進(jìn)行了驗(yàn)證．

(3) 以含有2臺(tái)激光發(fā)射站的WMPS測量系統(tǒng)為基礎(chǔ)，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所述系統(tǒng)定向方法及優(yōu)化模型，定向過程中標(biāo)準(zhǔn)尺長度解算誤差小于 0.25,mm，已達(dá)到國外同類設(shè)備水平．

(4) 相比于現(xiàn)有采用輔助設(shè)備的定向方法，新方法在保證測量精度的前提下使測量效率大大提高．通過改善器件加工精度、提高發(fā)射站穩(wěn)速精度及適當(dāng)增加參考點(diǎn)位，系統(tǒng)標(biāo)定精度具有進(jìn)一步提高的空間，在大尺寸測量中具有廣泛的應(yīng)用前景．

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