譚文斌，李醒飛，向紅標(biāo)，吳騰飛，張晨陽(yáng)

(1. 天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；

2. 天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384；3. 天津商業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300131)

摩擦力矩在機(jī)械伺服系統(tǒng)中普遍存在，并對(duì)機(jī)械伺服系統(tǒng)產(chǎn)生極大的不利影響，主要表現(xiàn)為機(jī)械伺服系統(tǒng)低速時(shí)出現(xiàn)爬行，穩(wěn)態(tài)時(shí)有較大的靜差或出現(xiàn)極限環(huán)振蕩等．隨著工業(yè)的發(fā)展，機(jī)械伺服系統(tǒng)的性能要求越來(lái)越高，對(duì)摩擦力矩的補(bǔ)償已成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[1]．為最大程度消除摩擦力矩的不利影響，摩擦補(bǔ)償必須同時(shí)具備快速性和精確性．基于摩擦模型的補(bǔ)償作為摩擦補(bǔ)償方法中應(yīng)用最為廣泛的一種，可以預(yù)估系統(tǒng)的摩擦力矩[2]，并通過(guò)前饋控制實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償?shù)目焖傩?，而其補(bǔ)償?shù)木_性則取決于所依賴的摩擦模型的精確性．

隨著對(duì)摩擦研究的不斷深入，摩擦模型經(jīng)歷了由靜態(tài)模型到動(dòng)態(tài)模型發(fā)展過(guò)程[3]，其中Canudas[4-5]于1995年提出的 LuGre摩擦模型，由于其能精確地描述預(yù)滑動(dòng)位移、摩擦滯環(huán)、變靜摩擦、爬行以及Stribeck效應(yīng)等各種摩擦動(dòng)靜態(tài)特性，已成為當(dāng)前基于模型的摩擦補(bǔ)償時(shí)最常采用的一種摩擦模型．如Felix等[6]利用 LuGre模型減輕了非理想振動(dòng)；陳劍鋒等[7]基于LuGre模型進(jìn)行了氣缸摩擦力特性實(shí)驗(yàn)；王曉東等[8]將 LuGre模型和辨識(shí)結(jié)果引入電液加載系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，有效地提高了電液加載系統(tǒng)控制精度．但是 LuGre模型描述摩擦特性的精確性還有待進(jìn)一步驗(yàn)證，該模型認(rèn)為穩(wěn)定狀態(tài)下，摩擦在高速階段隨速度呈線性變化，但也有學(xué)者通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該結(jié)論與實(shí)驗(yàn)情況并不完全一致，如 Erkorkmaz等[9]通過(guò) Kalman濾波器提取等效摩擦力矩的信號(hào)，發(fā)現(xiàn)高速階段隨著速度的增加，摩擦力矩的增加幅度降低．因此需要根據(jù)開(kāi)放式伺服系統(tǒng)的實(shí)際情況對(duì)LuGre模型進(jìn)行修正，以獲得更為精確的摩擦模型．

筆者在對(duì)傳統(tǒng)的 LuGre摩擦模型的黏性摩擦進(jìn)行了修正，提出了 LuGre的修正模型，并基于該修正模型利用前饋補(bǔ)償?shù)目刂品桨笇?shí)現(xiàn)了開(kāi)放式伺服系統(tǒng)的摩擦補(bǔ)償，有效地改善了系統(tǒng)的跟蹤性能，提高了系統(tǒng)的控制精度．

1 LuGre摩擦模型及修正

1.1 傳統(tǒng)LuGre摩擦模型

LuGre摩擦模型認(rèn)為剛體表面是通過(guò)有彈性的鬃毛接觸的，下表面材料的剛度大于上表面．當(dāng)施加外力時(shí)，由于切向力作用，鬃毛產(chǎn)生變形，從而產(chǎn)生摩擦力，當(dāng)切向力足夠大時(shí)，鬃毛進(jìn)一步變形，以致產(chǎn)生滑動(dòng)．設(shè)狀態(tài)量 z代表接觸面鬃毛的平均變形，摩擦力矩Tf可由LuGre模型描述[4]為

式中：θ˙為電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度；0σ為剛性系數(shù)，1σ為阻尼系數(shù)，均為動(dòng)態(tài)摩擦參數(shù)；Tc為庫(kù)倫摩擦，Ts為靜摩擦，Bθ為黏性摩擦系數(shù)，θ˙s為切換速度，均為靜態(tài)摩擦參數(shù)．另外，該模型假設(shè) θ˙ (g)總是嚴(yán)格正實(shí)且有界．

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)，即0z=˙時(shí)，由式(1)～式(3)得到此時(shí)摩擦力矩Tfss和速度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

因此，在穩(wěn)態(tài)時(shí) LuGre摩擦模型能準(zhǔn)確地反映Stribeck效應(yīng)，如圖1所示．

圖1 Stribeck效應(yīng)Fig.1 Stribeck effect

1.2 LuGre摩擦修正模型

圖2所示為一種典型的開(kāi)放式伺服系統(tǒng)，由工業(yè)控制計(jì)算機(jī)、Turbo PMAC運(yùn)動(dòng)控制器、交流伺服系統(tǒng)、滾珠絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌以及運(yùn)動(dòng)平臺(tái)組成．

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 System structure diagram

當(dāng)平臺(tái)移動(dòng)處于較低范圍內(nèi)(0～30,mm/s)時(shí)，傳統(tǒng) LuGre摩擦模型能很好地估計(jì)系統(tǒng)的摩擦力矩，基于該模型的摩擦補(bǔ)償可以有效地提高伺服系統(tǒng)的跟蹤精度[2]．當(dāng)速度為 0～150,mm/s時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[2]所述方法可以得到上述系統(tǒng)的速度與摩擦力矩對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)利用文獻(xiàn)[2]中低速條件下辨識(shí)得到的LuGre摩擦模型，對(duì)不同速度時(shí)的摩擦力矩進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖3所示．從圖3中可以看出低速條件下辨識(shí)得到的 LuGre摩擦模型，在高速時(shí)對(duì)摩擦力矩的估計(jì)存在較大偏差，而且隨著速度的繼續(xù)升高，偏差越來(lái)越大．

圖3 平臺(tái)移動(dòng)速度與摩擦力矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3 Relationship between platform speed and friction torque

由于在速度較高時(shí)，式(4)中非黏性摩擦部分基本不隨速度的變化而改變，因此圖4反映了黏性摩擦隨速度的增大其增長(zhǎng)逐漸減緩的性質(zhì)，與 LuGre模型描述不符．從而需要對(duì)黏性摩擦進(jìn)行修正，建立一種修正模型，新模型應(yīng)既能描述黏性摩擦增加趨勢(shì)變化的現(xiàn)象，又能體現(xiàn)傳統(tǒng)LuGre模型的特點(diǎn)．

本文描述黏性摩擦的公式為

(1) 對(duì)式(5)求導(dǎo)得

圖4 開(kāi)放伺服系統(tǒng)摩擦前饋補(bǔ)償方案Fig.4 Friction feedforward compensation scheme of open servo system

由此可知，式(5)能很好地滿足建立修正模型的要求．據(jù)此，本文提出一種LuGre的修正模型為

式中：Bθ1為黏性摩擦斜率因子，N m?；Bθ2為黏性摩擦變化因子，s/rad．

2 前饋補(bǔ)償控制策略

伺服系統(tǒng)中由于摩擦力矩的影響，將產(chǎn)生一定的穩(wěn)態(tài)誤差，并且摩擦力矩越大，則穩(wěn)態(tài)誤差越大，同時(shí)，由摩擦的特性可知，摩擦隨速度的增加而增加，因此系統(tǒng)速度越高時(shí)，也將產(chǎn)生更大的穩(wěn)態(tài)誤差，需要采用合適的控制策略對(duì)其補(bǔ)償，以提高控制系統(tǒng)的性能．

通過(guò)辨識(shí)得到伺服系統(tǒng)準(zhǔn)確的摩擦模型后，可設(shè)計(jì)前饋補(bǔ)償器進(jìn)行摩擦補(bǔ)償．其基本思想是在伺服系統(tǒng)的控制信號(hào)或者在電機(jī)力矩輸出轉(zhuǎn)矩上疊加一個(gè)補(bǔ)償信號(hào)來(lái)提高伺服系統(tǒng)的跟蹤精度，從而改善伺服系統(tǒng)的性能．圖 4所示為采用的摩擦前饋補(bǔ)償方案．首先對(duì)開(kāi)放式伺服系統(tǒng)進(jìn)行速度加速度前饋補(bǔ)償，確保由輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零；然后基于LuGre摩擦修正模型，在系統(tǒng)控制信號(hào)u上疊加摩擦補(bǔ)償信號(hào)，完成對(duì)伺服系統(tǒng)的摩擦前饋補(bǔ)償．利用Turbo PMAC控制器的用戶自定義伺服算法功能[10]，可以編寫(xiě)實(shí)現(xiàn)該控制策略的伺服算法程序．

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

首先分別辨識(shí)傳統(tǒng)模型和修正模型的參數(shù)，得到辨識(shí)結(jié)果如表1所示．

然后利用辨識(shí)后的模型對(duì)穩(wěn)態(tài)時(shí)的系統(tǒng)摩擦力矩進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖 5所示，可以看出當(dāng)系統(tǒng)具有較高速度時(shí)，傳統(tǒng) LuGre模型對(duì)伺服系統(tǒng)摩擦力矩的估計(jì)具有較大的偏差，最大誤差為 0.023,N·m，而本文提出的修正模型在不同速度條件下均具有較高的估計(jì)精度，最大誤差為 1.7×10-3,N·m，為有效實(shí)現(xiàn)開(kāi)放式伺服系統(tǒng)的摩擦補(bǔ)償提供條件．

表1 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.1 Results of model parameter identification

圖5 平臺(tái)移動(dòng)速度與摩擦力矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.5 Relationship between platform speed and friction torque

最后驗(yàn)證本文中提出的基于修正模型的摩擦前饋補(bǔ)償方法的有效性．采用 3種不同的補(bǔ)償方法，方法 A僅做速度、加速度前饋補(bǔ)償；方法 B在方法 A的基礎(chǔ)上，基于傳統(tǒng) LuGre模型進(jìn)行摩擦前饋補(bǔ)償；方法 C在方法 A基礎(chǔ)上，基于修正模型進(jìn)行摩擦前饋補(bǔ)償．當(dāng)系統(tǒng)具有較高的運(yùn)行速度時(shí)，觀測(cè)對(duì)比 3種補(bǔ)償方法下系統(tǒng)的跟蹤誤差．

輸入勻加速運(yùn)動(dòng)信號(hào)(加速度為 500,mm/s2)時(shí)，如圖6所示，采用方法A時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零以較快速度增大到 40,μm，然后慢速增大，最大為91,μm；采用方法 B時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差在約±9,μm 的范圍內(nèi)波動(dòng)；而采用方法C時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差的波動(dòng)范圍縮小到約±5,μm．

輸入正弦信號(hào)(r(t)＝5,sin(3,πt)mm)時(shí)，如圖 7所示，采用方法A時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零快速增大215,μm 附近，然后快速減小，其穩(wěn)態(tài)誤差在±80,μm范圍內(nèi)波動(dòng)；采用方法B時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤誤差從零快速增大 160,μm 附近，然后快速減小，其穩(wěn)態(tài)誤差在±12.5,μm 范圍內(nèi)波動(dòng)；采用方法 C 時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差得到更好的抑制，在±8,μm范圍內(nèi)波動(dòng)．

圖6 勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的跟蹤誤差和位移曲線Fig.6 Curves of tracking error and displacement for uniformly accelerated motion

圖7 正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)的跟蹤誤差和位移曲線Fig.7 Curves of tracking error and displacement for sinusoidal motion

由此可知，采用基于傳統(tǒng)模型或者修正模型的摩擦前饋補(bǔ)償時(shí)，開(kāi)放式伺服系統(tǒng)的跟蹤性能得到不同程度的改善；而修正模型能更準(zhǔn)確地預(yù)估系統(tǒng)的摩擦力矩，基于修正模型的摩擦前饋補(bǔ)償能使系統(tǒng)跟蹤誤差得到更好的抑制，提高了系統(tǒng)的控制精度．

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)傳統(tǒng) LuGre摩擦模型的黏性摩擦進(jìn)行了修正，建立了 LuGre摩擦修正模型，并提出了一種基于修正模型的摩擦前饋補(bǔ)償方案．

(2) 當(dāng)系統(tǒng)具有較高速度時(shí)，修正模型對(duì)系統(tǒng)摩擦力矩的最大估計(jì)誤差為 0.001,7,N·m，優(yōu)于傳統(tǒng)模型的 0.023,N·m．

(3) 與基于傳統(tǒng)模型的摩擦補(bǔ)償相比，基于修正模型的摩擦補(bǔ)償時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，加速運(yùn)動(dòng)時(shí)由±9,μm 降到±5,μm，正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)由±12.5,μm 降到±8,μm．

(4) 本文中提出的摩擦模型在不同速度條件下均能對(duì)系統(tǒng)摩擦力矩進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)估，采用本文提出的補(bǔ)償方案能有效地抑制摩擦干擾對(duì)伺服系統(tǒng)的不利影響，提高了伺服系統(tǒng)的跟蹤性能．

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