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        一個(gè)腫瘤化學(xué)治療空間結(jié)構(gòu)模型的定性分析*

        2012-05-09 08:25:24高帥帥衛(wèi)雪梅馮兆永
        關(guān)鍵詞:邊界問題邊值問題穩(wěn)態(tài)

        高帥帥,衛(wèi)雪梅,馮兆永

        (1.廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006;2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510275)

        早在20世紀(jì)70年代人們就發(fā)現(xiàn),腫瘤生長的基本規(guī)律在數(shù)學(xué)上可表述為偏微分方程的自由邊界問題[1-2]。在生物和醫(yī)學(xué)中,很多關(guān)于體內(nèi)和體外腫瘤細(xì)胞生長的模型已被提出。隨著人們研究的深入,考慮的參量越來越多,描述的腫瘤生長的自由邊界問題的形式也越來越復(fù)雜。目前,關(guān)于這些自由邊界問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析正在逐步深入地進(jìn)行著,并且已經(jīng)得到很多有意義的結(jié)果[3-9]。

        本文研究了一個(gè)腫瘤化學(xué)治療反應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)模型。這個(gè)模型是Norris等在文[10]中提出來的。這里假設(shè)腫瘤生長模型是連續(xù)的(i.e.繁殖和死亡的過程是連續(xù)的),腫瘤細(xì)胞球體對稱且是不可壓縮的,藥物按比例濃度抑制細(xì)胞生長。這是一個(gè)簡單的腫瘤細(xì)胞生長模型,它使藥物的化學(xué)治療的效果盡可能的明顯。這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)偏微分方程的自由邊界問題。這個(gè)問題的具體模型如下:

        ,00

        (1)

        00

        (2)

        (3)

        S(0)=1,w(r,0)=w0(r),0≤r≤S(t)

        (4)

        (5)

        w(S(t),t)=w(t),t>0

        (6)

        其中μ是藥物效用函數(shù),kd是一個(gè)臨界藥物濃度。易知Case(Ⅰ)線性動(dòng)力系統(tǒng)和Case(Ⅱ)米氏動(dòng)力系統(tǒng)有不同的形式,顯然k(w)是Lipschitz連續(xù)的。

        本文的主要目的是對這個(gè)非線性問題做嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析。我們將討論以下3個(gè)問題:①局部解的存在唯一性;②整體解的存在唯一性;③穩(wěn)態(tài)解的分布。

        在第1-3節(jié)中,將在下面的假設(shè)下討論整體解的存在唯一性:

        在第4節(jié)中將在下面假設(shè)下討論穩(wěn)態(tài)解的分布:

        (B1)f∈C1[0,∞),f′(w)>0,f(0)=0(即對?w>0,有f(w)>0),其中f(w)如第4節(jié)中定義)。

        (B3)=(A2)。

        本文主要結(jié)果如下:

        定理2 假設(shè)條件(B1),(B2)和(B3)滿足,則下列結(jié)論成立:

        1 問題的簡化

        將(1)代入(2)可得一個(gè)等價(jià)的問題如下

        ,00

        (7)

        00

        (8)

        (9)

        S(0)=1,w(r,0)=w0(r),0≤r≤S(t)

        (10)

        (11)

        w(S(t),t)=w(t),t>0

        (12)

        其中

        g(w)=kn-k(w),h(w)=k(w)/(βα)

        顯然g(w)和h(w)是Lipschitz連續(xù)的。

        作變量替換

        (13)

        并記

        u(z,τ)=S(t)v(r,t),η(τ)=S(t),n(z,τ)=w(z,t)

        則自由邊界問題(7)-(12)轉(zhuǎn)換為在固定區(qū)域{(z,τ)|0≤z≤1,τ≥0}上的初邊值問題如下:

        η2(τ)g(n),00

        (14)

        u(0,τ)=0,τ>0

        (15)

        p(η,n)n-q(η,n),00

        (16)

        (17)

        η(0)=1,n(z,0)=n0(z),0

        (18)

        (19)

        n(1,τ)=n(τ),τ>0

        (20)

        其中

        d(z,τ)=u(z,τ)-zu(1,τ)

        p(η,n)=η2(τ)g(n),q(η,n)=η2(τ)h(n)

        (21)

        上面的結(jié)果可以總結(jié)為如下引理。

        引理1 在變量替換(13)下,初邊值問題(14)-(20)與自由邊界問題(7)-(12)是等價(jià)的。

        2 基本引理

        下面我們將介紹一個(gè)基本引理,首先引進(jìn)一些記號:

        (i)記QT={(z,τ)|00;

        ∈Lp(QT),m+2k≤2}

        u(·,0)=φ)}

        0

        w(z,0)=w0(z),0≤z≤1

        ≤Cp(T)(‖w(τ)‖W2,p(0,T)+

        ‖w0(z)‖Dp(0,1)+‖f‖p)

        且有如下估計(jì):

        ‖w‖∞≤max{‖w(t)‖∞,‖w0‖∞}+Ted0T‖f‖∞

        其中

        證明參見文獻(xiàn)[3]。

        3 整體解的存在唯一性

        3.1 局部解的存在唯一性

        這部分將證明系統(tǒng)(14)-(20)有唯一的整體解。先通過運(yùn)用壓縮映像原理證明系統(tǒng)(14)-(20)有唯一的局部解。由g(w),h(w)是Lipschitz連續(xù)的和(21)知p和q是Lipschitz連續(xù)的。記

        對給定的T>0,引進(jìn)度量空間(XT,d)如下:XT由向量函數(shù)(η,n)=(η(τ),n(z,τ))(0≤z≤1,0≤τ≤T)組成,滿足如下條件:

        定義XT中的度量d為

        d((η1,n1),(η2,n2))=‖η1-η2‖∞+‖n1-n2‖∞,

        0≤z≤1,0≤τ≤T

        顯然(XT,d)是一個(gè)完備度量空間。由式(14)-(15)可得

        (22)

        (τ)u(1,τ),τ>0

        (23)

        (24)

        (25)

        (26)

        (27)

        首先證明F是XT到XT上的映射。

        τ,0≤τ≤T

        (28)

        (29)

        結(jié)合式(28)得

        ‖∞≤C(T)

        (30)

        其次要證當(dāng)T充分小時(shí),映射F是壓縮的。設(shè)(ηi,ni)∈XT,i=1,2,則

        (31)

        di(z,τ)=ui(z,τ)-zui(1,τ),

        d=d((η1,n1),(η2,n2))

        由式(31),g(n)的Lipschitz連續(xù)性,|g(n)|≤A和|η(τ)|<2,計(jì)算可得

        |u1(z,τ)-u2(z,τ)|≤C(T)d

        (32)

        利用(28),有

        ≤TC(T)d

        (33)

        (34)

        (35)

        (36)

        其中

        ‖F(xiàn)‖∞≤C(T)d

        (37)

        對問題(34)-(36)應(yīng)用引理2,再結(jié)合式(37)可得

        ≤T‖F(xiàn)‖∞≤TC(T)d

        (38)

        結(jié)合式(33)、式(38),可以推出

        d((η1,n1),(η2,n2))≤TC(T)d

        因此,當(dāng)T足夠小時(shí)滿足TC(T)d<1,此時(shí)F為壓縮映射。

        應(yīng)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理,可知當(dāng)T足夠小時(shí)F在XT中有唯一的不動(dòng)點(diǎn)(η(τ),n(z,τ)),它是系統(tǒng)(14)-(20)的局部唯一解,其中0≤τ≤T。

        定理3 條件(A1)和(A2)滿足,當(dāng)0

        3.2 整體解的存在唯一性

        定理4 系統(tǒng)(14)-(20)的解對所有的t≥0都存在。

        證明由式(17)和式(29)得

        ≤≤,0≤τ

        (39)

        ≤η(τ)≤,0≤τ

        (40)

        由引理2知

        ≤C(p,T)

        (41)

        由系統(tǒng)(14)-(20)與系統(tǒng)(1)-(6)的等價(jià)性得知,系統(tǒng)(1)-(6)的整體解存在且唯一。因此,定理1得證。

        4 穩(wěn)態(tài)解

        考慮如下邊值問題:

        ΔrW=λf(W),0

        (42)

        (43)

        其中λ是一個(gè)非負(fù)參數(shù)。

        引理3 假設(shè)條件(B1)滿足,則對任意的λ>0,問題(42)-(43)有唯一的解W=W(r,λ)滿足條件

        (44)

        λ≤0≤λ,0

        顯然(ws(r),Rs)為(1)-(6)的穩(wěn)態(tài)解當(dāng)且僅當(dāng)它滿足如下兩點(diǎn)邊值問題:

        Δrws=f(ws),0

        (45)

        (46)

        (47)

        引進(jìn)一個(gè)函數(shù)

        ,,S>0

        引理4 問題(45)-(47)有解(ws(r),Rs)(Rs>0)當(dāng)且僅當(dāng)方程F(S)=0有一個(gè)正根Rs。而且當(dāng)Rs是這樣的根時(shí),(45)-(47)的解為Rs和

        ,,0

        (48)

        證明必要性。已知Rs是(45)-(46)的解由(48)給出時(shí),將(48)代入(47)可得F(Rs)=0。

        充分性。 給定Rs>0,顯然(48)是(45)-(46)的解,故若Rs是F(S)=0的正根,顯然由(48)和Rs得到的(ws(r),Rs)為(45)-(47)的解。

        (49)

        所以式(49)成立。由介值定理可得,存在Rs>0使F(Rs)=0。

        利用以上引理可得到定理2,下面將給出證明。

        證明(i)由引理3和引理5易得結(jié)論。

        參考文獻(xiàn):

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