抽象函數(shù)f（x），由于不知道其解析式，因而不能畫出其圖像的全貌，對(duì)它的研究成了中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).本文介紹有關(guān)抽象函數(shù)圖像對(duì)稱性與函數(shù)周期性的幾個(gè)定理，幫助同學(xué)們提高解決此類函數(shù)問(wèn)題的能力.

一、對(duì)稱性

定理1：函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.

證明：在y=f（x）圖像上任取一點(diǎn)，設(shè)為P（x，y），則y=f（x）.點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)為P′（2a-x，2b-y）.

1.必要性

若y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱，則點(diǎn)P′也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x），又y=f（x），∴f（x）+f（2a-x）=2b成立.由P點(diǎn)的任意性得f（x）+f（2a-x）=2b恒成立.

2.充分性

若f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，則f（x）+f（2a-x）=2b，∴2b-y=f（2a-x），∴點(diǎn)P′也在y=f（x）圖像上.由P點(diǎn)的任意性得y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.

說(shuō)明：f（x）+f（2a-x）=2b有許多等價(jià)形式，如f（a+x）+f（a-x）=2b，應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵看橫坐標(biāo)之和、縱坐標(biāo)之和皆為常數(shù).

以上證法是證明函數(shù)圖像對(duì)稱性的一般方法，以后幾個(gè)結(jié)論可以仿此證明.

推論：函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0恒成立（即函數(shù)為奇函數(shù)）.

定理2：函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f（x）=f（2a-x）恒成立.

說(shuō)明：f（x）=f（2a-x）也有許多等價(jià)形式，如f（a+x）=f（a-x），應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵看橫坐標(biāo)之和為常數(shù)、縱坐標(biāo)相等.

推論：函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（x）=f（-x）恒成立（即函數(shù)為偶函數(shù)）.

例1.如果二次函數(shù)y=f（x）滿足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根x、x，那么x+x=（ ）

A. 0 B.3 C.6 D.不能確定

解析：∵f（3+x）=f（3-x），∴f（x）圖像關(guān)于直線x=3對(duì)稱（定理2），∴f（x）圖像與x軸兩交點(diǎn)關(guān)于直線x=3對(duì)稱，∴x+x=6，故選C.

例2.設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）-f（a-x），求證：y=F（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（a/2，0）中心對(duì)稱.

解析：仿定理1的證明.在y=F（x）圖像上任取一點(diǎn)P（x，F(xiàn)（x）），它關(guān)于（a/2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（a-x，-F（x））.∵F（a-x）=f（a-x）-f[a-（a-x）]=f（a-x）-f（x）=-F（x），∴點(diǎn)P′也在y=F（x）圖像上.由P點(diǎn)的任意性得結(jié)論成立.

二、周期性

定理3：若函數(shù)y=f（x）恒滿足下列條件之一，則它是周期函數(shù).|2T|是它的一個(gè)周期.

（1）f（x+T）=-f（x）；（2）f（x+T）=；（3）f（x+T）=-；（4）f（x+T）=；（5）f（x+T）=，其中T≠0.

下面對(duì)第四個(gè)進(jìn)行證明，其他類似，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

（4）證明：∵f（x+2T）=f[（x+T）+T]===f（x），又T≠0，∴|2T|是f（x）的一個(gè)周期.

例3.f（x）是R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=-，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f（x）=x，那么f（5.5）= .

解析：由f（x+2）=-，根據(jù)定理3，得4為f（x）的一個(gè)周期.∴f（5.5）=f（5.5-8）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5.

三、對(duì)稱性與周期性

定理4：若函數(shù)y=f（x）圖像滿足下列條件之一，則y=f（x）是周期函數(shù).其中前兩個(gè)的一個(gè)周期為2|a-b|，第三個(gè)為4|a-b|.

（1）同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）（a≠b）中心對(duì)稱.

（2）同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b（a≠b）軸對(duì)稱.

（3）既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）中心對(duì)稱，又關(guān)于直線x=b（a≠b）軸對(duì)稱.

下面對(duì)第三條進(jìn)行證明，其他類似.

（3）證明：∵y=f（x）圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，c）中心對(duì)稱

∴f（x）+f（2a-x）=2c①

∵y=f（x）圖像關(guān)于直線x=b軸對(duì)稱

∴f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=f（2b-2a+x）②

②代入①得

f（x）+f（2b-2a+x）=2c③

把上式中x換成2b-2a+x得f（2b-2a+x）+f（4b-4a+x）=2c④

由③④得f（x）=f（4b-4a+x）

∵a≠b

∴4b-4a≠0

∴4|a-b|為f（x）的一個(gè)周期.

例4.設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），則函數(shù)y=f（x）的一個(gè)周期為 .

解析：由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），根據(jù)定理2得函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=2和x=7.再根據(jù)定理4得y=f（x）的一個(gè)周期為T=2|7-2|=10.

例5.f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x-2）=-f（x），給出下列4個(gè)結(jié)論：①f（2）=0；②f（x）是以4為周期的函數(shù)；③f（x）圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；④f（x+2）=f（-x），其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .

解析：①在f（x-2）=-f（x）中令x=2得f（0）=-f（2）；又f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0∴f（2）=0正確；②根據(jù)定理3知一個(gè)周期為4正確；③若正確，則f（x）又為偶函數(shù)，應(yīng)有f（x）恒為0，∴不正確；④根據(jù)周期為4，∴f（x+2）=f（x-2），再根據(jù)題設(shè)f（x-2）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x）=f（-x）正確.因此答案是①②④.