摘 要： 數(shù)的問題，可借助形去觀察；形的問題，也可借助數(shù)去思考.采用這種“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解決數(shù)學(xué)問題可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易.本文主要就“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納小結(jié)，通過具體實(shí)例說(shuō)明.

關(guān)鍵詞： “數(shù)形結(jié)合”思想 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 函數(shù)問題 不等式問題 平面解析幾何問題

在數(shù)學(xué)解題中，將抽象思維與形象思維在解題過程中交互應(yīng)用，可以使初看很難、很繁的問題變得簡(jiǎn)單，這就涉及“數(shù)形結(jié)合”思想方法的應(yīng)用，本文主要就“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納小結(jié)，通過具體實(shí)例說(shuō)明.

解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，根據(jù)問題的背景與可能，對(duì)于數(shù)的問題，借助形去觀察，而對(duì)于形的問題，則借助數(shù)去思考，采用這種“數(shù)形結(jié)合”來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的策略，稱為“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

“數(shù)形結(jié)合”的基本思路：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題，稱為“以形解數(shù)”；也可以將圖形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論，稱為“以數(shù)解形”.

“數(shù)形結(jié)合”思想在函數(shù)、不等式、解析幾何中均有較廣泛的應(yīng)用.下面通過具體實(shí)例說(shuō)明“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決函數(shù)問題

一些函數(shù)的概念最值問題、值域問題、單調(diào)性、奇偶性等問題，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，解題快捷.

1.函數(shù)的概念問題

例1：觀察下圖，指出哪個(gè)圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)存在反函數(shù).

分析：由反函數(shù)定義知x y之間應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，故應(yīng)選D.

2.二次函數(shù)問題

例2：若函數(shù)y=x+2ax+1在（+∞，1]上是為減函數(shù)，則a的取值范圍為（-∞，1].

解：函數(shù)對(duì)稱軸為x=a，當(dāng)函數(shù)對(duì)稱軸在直線x=1上或在x=1右側(cè)時(shí)，函數(shù)在（-∞，1]上為減函數(shù)，則-a≥1，即a≤-1.

3.函數(shù)單調(diào)性、奇偶性問題

例3：若奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上為增函數(shù)，且最小值為6，那么f（x）在區(qū)間[-7，-3]上為（ ）

A.增函數(shù)且最小值為-6 B.增函數(shù)且最大值為-6

C.減函數(shù)且最小值為-6 D.減函數(shù)且最大值為-6

用一般方法過程較繁，可利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，構(gòu)造出符合條件的函數(shù)圖像.

解：由奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性的特征，可得[-7，-3]上為增函數(shù)且有最大值為-6，故應(yīng)選B.

4.方程解的個(gè)數(shù)問題

方程解的個(gè)數(shù)問題用一般方法有時(shí)較繁、較難，若利用“數(shù)形結(jié)合”的方法，將方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，問題更易于解決.

例4：討論方程|x-4x+3|=a（a∈R）的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).

解：作出及y=|x-4x+3|及y=a圖像方程解的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

①當(dāng)a<0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解；

②當(dāng)a=0或a>1時(shí)，原方程有2個(gè)實(shí)數(shù)解；

③當(dāng)a=1時(shí)，原方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解；

④當(dāng)0

二、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決不等式問題

利用“數(shù)形結(jié)合”思想方法解不等式時(shí)可避開復(fù)雜的分類討論，利用幾何意義，結(jié)合幾何圖形解題，可以化難為易，過程簡(jiǎn)潔.

1.不等式中確定變量的范圍

例1：已知關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-4|

解：設(shè)y=|x+2|+|x-4|表示數(shù)軸上點(diǎn)P到表示數(shù)-2，4兩點(diǎn)的距離之和，由圖可知y的最小值為4-（-2）=6，故所求a的取值范圍為a>6.

2.解不等式

例2：不等式

A.（0，2） B.（2，+∞） C.（2，4） D.（-∞，0）∪（2，+∞）

此題可用一般方法解不等式，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法過程較為簡(jiǎn)單.

解：設(shè)y=，y=x的圖像，由圖可知當(dāng)2

三、應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決平面解析幾何問題

“數(shù)形結(jié)合”的思想方法解決斜率、直線與圓、直線與圓錐曲線的相關(guān)問題，可以化難為易，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算、減小運(yùn)算量，應(yīng)用廣泛.

1.直線相關(guān)問題

例1：已知直線L過點(diǎn)P（0，2）且與已點(diǎn)A（2，4）、B（-2，3）為端點(diǎn)的線段AB相交，求直線L的斜率的取值范圍.

解：設(shè)L的斜率為k，k==3，k==-，直線L在AP、PB之間旋轉(zhuǎn)時(shí)與線段AB均有交點(diǎn)，則k≥3或k≤-.

2.圓相關(guān)問題

在求與圓有關(guān)的最值問題時(shí)利用“數(shù)形結(jié)合”的思想，可以使問題迅速得到解決.

例2：圓x+y-2x+4y+4=0上的點(diǎn)P到直線3x-4y+9=0的最大距離為？搖 5 ？搖.

解：將圓配方得（x-1）+（y+2）=1，圓心（1，-2），半徑r=1，P為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)PC垂直直線3x-4y+9=0時(shí)距離最大，最大距離為d+r（d的為圓心到直線的距離），d==4，則最大距離為5.

3.圓錐曲線相關(guān)問題

利用“數(shù)形結(jié)合”思想方法解決圓錐曲線的相關(guān)問題，結(jié)合圖像、性質(zhì)，直觀形象，有利于迅速找到解題思路.

例3：已知A（3，2）P為拋物線y=2x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，當(dāng)|PA|+|PF|最小時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（ ）

A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（，3）

解：由拋物線定義知|PN|=|PF|，則|PA|+|PF|=|PA|+|PN|，由圖像得，當(dāng)N、P、A三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，|PA|+|PN|最小，此時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)與A縱坐標(biāo)相同，均為2，故選C.

直線與雙曲線交點(diǎn)問題，利用“數(shù)形結(jié)合”思想方法，過程簡(jiǎn)單、快捷.

例4：直線L：y=k（x-3）與雙曲線-=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有（ ）

解：由圖形結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)知，直線L與雙曲線的右頂點(diǎn)，當(dāng)直線L與雙曲線漸近線分別平行時(shí)均只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線垂直與x軸時(shí)也只有一個(gè)交點(diǎn)，但斜率不存在，故應(yīng)選C.

以上實(shí)例，簡(jiǎn)單分析了“數(shù)形結(jié)合”思想在函數(shù)、不等式、解析幾何中的相關(guān)應(yīng)用，當(dāng)然，“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)列、三角函數(shù)等方面也有較廣泛的應(yīng)用，將一些數(shù)學(xué)問題利用“數(shù)形結(jié)合”的方法去解決，可以化難為易，形象直觀，更易于理解，可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高解題速度與正確率.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐有標(biāo)，劉治平.高考中的數(shù)學(xué)思想方法.北京：龍門書店，2002，第一版.

[2]薛金星.怎樣解題.高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧.北京.北京教育出版社，2006，第一版.