摘 要： 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生的自主建構(gòu)的過程，無論是數(shù)學(xué)知識的獲得、能力的發(fā)展，還是創(chuàng)新精神的形成，都離不開學(xué)生的學(xué)習(xí)反思。反思是一種隱性的教育資源，目前學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果不夠理想的原因之一是他們?nèi)狈Ψ此家庾R和反思習(xí)慣。本文明確了培養(yǎng)學(xué)生參與思維過程，在反思中提高能力的重要性，重點談了反思能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)模式。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 參與 反思 提出問題 評價

學(xué)生是課堂活動的主體，更是課堂教學(xué)的主角，促使學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維過程，才能增強教學(xué)的針對性，才能對自己的思維活動進行針對性的反思。荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家費賴登塔爾教授指出“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力”，“通過反思才能使現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)化”。英國心理學(xué)家貝恩布里奇（R·Bainbridge）說過，差錯人皆有之，作為教師不利用是不能原諒的。讓學(xué)生學(xué)會反思，可以使學(xué)生自行調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)策略，選擇學(xué)習(xí)方法，有利于提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。更重要的是，還可以培養(yǎng)學(xué)生自我調(diào)控的意識和能力，增強學(xué)生的主體意識，加強學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性和責(zé)任感。

我提出的反思性學(xué)習(xí)是以學(xué)生的參與為基礎(chǔ)，以問題為載體，通過學(xué)生“實驗、觀察、猜想、類比、歸納、討論、應(yīng)用”等活動，以“學(xué)會學(xué)習(xí)”為目的，既關(guān)注思維的結(jié)果，更關(guān)注思維過程，反思性學(xué)習(xí)不僅要完成學(xué)習(xí)的任務(wù)，而且使學(xué)生的理性思維得到發(fā)展。

一、引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動

著名教育家陶行知先生說：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)?！币淖儌鹘y(tǒng)的“學(xué)生被老師牽著走”的做法，真正讓學(xué)生主動、自覺地參與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動，才有可能對學(xué)習(xí)行為進行反思。

（一）強化反思意識和動力

由于數(shù)學(xué)知識的抽象性，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很容易產(chǎn)生困難，根據(jù)問卷調(diào)查，百分之七十八的同學(xué)都覺得自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在困難，沒有自信。如果沒有強大的精神動力，即使意識到學(xué)習(xí)中存在的困難，也不能克服，或者暫時克服了而不能堅持。調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要動力是考上一所好的大學(xué)，而要考上好的大學(xué)，數(shù)學(xué)是一門很關(guān)鍵的學(xué)科。通過教育，學(xué)生把長遠(yuǎn)目標(biāo)和近期目標(biāo)結(jié)合起來，為自己設(shè)定一個近期的目標(biāo)，強化學(xué)習(xí)的動力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思意識和行為。

（二）分層教學(xué)使每個學(xué)生都參與其中

每個人的思維能力是有差異的，教學(xué)中要深入了解學(xué)情，掌握大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知能力。比如，新授課中，選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)起點，只有教學(xué)起點適合或略高于學(xué)生的認(rèn)知水平、認(rèn)知能力，才能激發(fā)學(xué)生的參與欲望。習(xí)題課中，通過題組程序教學(xué)法，從再現(xiàn)組、鞏固組，逐步過渡到提高組、拓展組，使中差生能聽懂，優(yōu)等生能弄通。

案例1：（必修一：基本初等函數(shù)）

如二次函數(shù)學(xué)了后，學(xué)生對其單調(diào)性有了一定認(rèn)識，那么在復(fù)習(xí)時，就可以提這樣的問題：

（1）已知f（x）=x-ax+2在（-∞，1］上單調(diào)遞減，那么a的取值范圍是什么？

這一設(shè)問是在已知區(qū)與最近發(fā)展區(qū)的結(jié)點上，學(xué)生會主動地去探索問題，等問題解決了，再進一步追問：

（2）改函數(shù)為f（x）=lg（x-ax+2）又如何？學(xué)生在新的已知區(qū)上又進行新的思考，當(dāng)（2）也解決了，再問：

（3）如果改已知函數(shù)為f（x）=log（x-ax+2）又如何？

這個問題雖難度比較大，但由于是在新的已知區(qū)和最近發(fā)展的交匯點上進行的提問，由（1）到（3），層層遞進，問題也馬上得到了解決。這樣的提問恰到好處，學(xué)生“跳一跳能夠得著果子”。這必將能激發(fā)學(xué)生積極主動地探求新知識，使新舊知識發(fā)生相互作用，產(chǎn)生有機聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)。

（三）創(chuàng)設(shè)“學(xué)生被問題牽著走”的情境和程序

問題的設(shè)計是為了有利于學(xué)生的自主探究，因此課堂上的有效提問才能提高學(xué)生的參與性及參與的深度。在實際的教學(xué)中，我嘗試了以問題鏈的形式貫穿于課堂教學(xué)中。

（1）在新舊知識的結(jié)合處設(shè)計問題；

（2）在激發(fā)學(xué)生的好奇心，求知欲和積極的思維處設(shè)計問題；

（3）在學(xué)生的思維受阻處設(shè)計問題；

（4）在學(xué)生所遇疑難之處設(shè)計問題。

這一系列問題成為學(xué)生“跳一跳能摘到的果子”，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主探究的熱情，以問題鏈為載體實現(xiàn)了學(xué)生的參與性。教師課堂提問應(yīng)該注意的是，問題必須有啟發(fā)性，能激活學(xué)生思維，必須深淺適度，問在學(xué)生知識和能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，而且要面向全體，盡可能讓每位同學(xué)有所思，有所得。

案例2：比如在正弦定理的教學(xué)中：

問題情境：在建設(shè)水口電站閩江橋時，需預(yù)先測量橋長AB，于是在江邊選取一個測量點C，測得CB=435m，∠CBA=80°，∠BCA=42°。由以上數(shù)據(jù)，能測算出橋長AB嗎？

為了解決這個問題，我提出了一系列的問題。

問題1：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？

生：……“大角對大邊，大邊對大角”。

問題2：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？

問題3：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？

生：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出a/sinA=b/sinB=c/sinC。

問題4：這一關(guān)系式是否在任一三角形中成立呢？如何通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？

生：直角三角形ABC中，==成立。

問題5：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示“a與sinA、b與sinB”的關(guān)系呢？

問題6：能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題？

問題7：能否引入向量，歸結(jié)為向量運算？

（1）圖中蘊涵哪些向量關(guān)系式？

（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？（施以什么運算）

生：施以數(shù)量積運算。

（3）可取與哪些向量的數(shù)量積運算？

（四）在教師的緘默下實現(xiàn)學(xué)生的參與

在課堂教學(xué)中，教師往往容易犯一個通病，就是留給學(xué)生思考的時間太少。說是讓學(xué)生考慮，可不到一分鐘，就開始“啟發(fā)”、“分析”，而此刻，學(xué)生連題目都還沒有看完，更別說審清題意，當(dāng)然也沒有自己的思維。有的雖然留有時間，但是學(xué)生剛剛開始思考就被打斷，只好停下來聽老師講。

學(xué)校提出“課堂45分鐘分段式模塊教學(xué)”這一先進理念，其中最具特色的就是旗幟鮮明地強調(diào)在每一個教學(xué)段落中必須預(yù)設(shè)在教師緘默的情境下學(xué)生自主學(xué)習(xí)活動時間，而且總體時間不能少于20—25分鐘，充分體現(xiàn)了把時間還給學(xué)生的理念。我在提出這一理念后就一直在課堂上實行，雖然不能說每堂課都能保證緘默的時間，但是每堂課都能刻意多留給學(xué)生一點時間去思考。努力做到“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”，意思是“不到學(xué)生努力想弄明白但仍然想不透的程度不要去開導(dǎo)他；不到學(xué)生心里明白卻不能完善表達出來的程度不要去啟發(fā)他。如果他不能舉一反三，就不要先往下進行了”。

緘默就像一幅畫當(dāng)中的空白，有了這些空白，這幅畫才顯得比較和諧平衡，讓人更具有想象的空間。緘默不僅是一種方式，更是一種藝術(shù)。

二、注重思維過程的反思性學(xué)習(xí)

（一）向?qū)W生要思維過程

數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是只講結(jié)果的教學(xué)，而應(yīng)該是講過程的教學(xué)。暴露學(xué)生的思維過程最好的方法是板演。

案例3：已知函數(shù)f（x）=2ax-x，x∈（0，1］，（a＞0），若f（x）在（0，1］上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

學(xué)生：由題意，得f′（x）=2a-3x，且f（x）在（0，1］上是增函數(shù)，

∴f′（x）＞0在（0，1］上恒成立，∴2a＞3x，即a＞x，

又∵x∈（0，1］，∴x∈（0，］，即a＞.

分析：當(dāng)a=時，f（x）=3x-x在（0，1］上也是增函數(shù)，漏解a=的情況，故出錯.

正解：由題意，得f′（x）=2a-3x，且f（x）在（0，1］上是增函數(shù)，

∴f′（x）≥0在（0，1］上恒成立，∴2a≥3x，即a≥x，

又∵x∈（0，1］，∴x∈（0，］，即a≥.

點評：當(dāng)f′（x）＞0時，可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，反之，若f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，則應(yīng)f′（x）≥0在區(qū)間D上恒成立，在解題時，往往易漏等號，造成錯解.在板演的過程中，充分暴露學(xué)生的思維漏洞，有利于學(xué)生形成視覺上的直觀沖擊，印象深刻。

（二）向?qū)W生展示自己的思維過程

在教學(xué)過程中，教師要保證緘默的時間。當(dāng)然也不是越多越好，也不是教師什么都不講，過猶不及，關(guān)鍵是在于把握一個度，適時介入。比如問問學(xué)生：做完了嗎？有不會做的嗎？哪里遇到了困難？教師是需要講的，是需要教學(xué)生的，要教學(xué)生如何去學(xué)的。所以課堂上，教師需要展示自己的思維過程，給學(xué)生做示范，暴露自己的解決問題的思維過程。但是往往教師所謂的“分析”也只是把題目做了一遍，根本沒有啟發(fā)學(xué)生的思維。比如：為什么這么想？這個問題的本質(zhì)是什么？這類問題的通法通解是什么？有哪些途徑？哪個更具有一般性？關(guān)鍵點在哪里？自己打算如何去解？解題過程中如何防范和克服差錯？問題涉及哪些知識和思想方法？過程可否優(yōu)化？

案例4：已知命題p：函數(shù)y=log（x-2ax+3a-2）的定義域為R；

命題q：方程ax+2x+1=0有兩個不相等的負(fù)數(shù)根，若p∨q是真命題，求a的取值范圍．

解法一：p真q假，p假q真，p真q真，然后求它們的并集.

解法二：因為p、q至少有一個為真，其反面就是p，q均為假命題，若p假，則a≥2或a≤1，若q假，則a≥1或a≤0.若p，q都為假，得a≥2或a≤0或a=1.所以p∨q為真命題時，解得0＜a＜1或1＜a＜2.

解法三：“p或q”是真命題，即p，q至少有一個為真命題，即p真或q真，“或”字聯(lián)系到集合，就是集合中并的運算，故只需求p真，q真時a的范圍的并集.

大部分同學(xué)（65%）采用了第一種解法，小部分（24%）同學(xué)采用了第二種做法，只有幾個（11%）同學(xué)采用了第三種解法.交流的過程中，學(xué)生對于第三種解法只是驚嘆而不知其所以然，通過教師展示自己的思維過程，才知道“p或q”真中的“或”就是邏輯連接詞“或”，因而聯(lián)系到集合，只需求p真和q真的并集.

案例5：比如在高一求函數(shù)最值的教學(xué)中我舉了以下的例子：

求函數(shù)y=4+2-1的最小值.

學(xué)生很快就想到用換元法，若設(shè)t=2，此題變換為y=t+2t-1=（t+1）-2，

當(dāng)t=-1時，函數(shù)有最小值-2.

全班同學(xué)都洋洋得意，認(rèn)為太完美了，三下五除二就完成了。當(dāng)問到t的范圍時，有些同學(xué)開始思索并有覺悟，大部分同學(xué)覺得迷惘。這里的t等于2，必定大于0，故不能取到-1，所以這個函數(shù)沒有最小值。全班徹悟：換元法是一種替換，但是不是等價替換，還必須注意到它們之間范圍的區(qū)別。

在與同學(xué)、教師的思維交流和對接的過程中，學(xué)生反思自己的思維，并把更優(yōu)的思維同化到自己的思維中，從而提升了自己的思維。

（三）引導(dǎo)學(xué)生在解題教學(xué)中進行反思性學(xué)習(xí)

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中將數(shù)學(xué)解題劃分為四個階段：弄清問題→擬訂計劃→實現(xiàn)計劃→回顧，其中“回顧”就是解題后的反思，它是解題思維過程中的深化和提高。解題過程的反思，實際是解題學(xué)習(xí)的信息反饋調(diào)控階段，通過反思，有利于學(xué)生深層次地建構(gòu)。解完一道題后不能停留在滿足所得出的結(jié)論上，教學(xué)生學(xué)會自我提問是培養(yǎng)學(xué)生反思能力的重要方法。這種方法適用于學(xué)習(xí)過程中。諸如“怎樣做”，“為什么這樣做”，“可以用幾種方法做”，“哪一種方法更簡便”，“錯在哪里”，“為什么錯”等自我提問，可以促進學(xué)習(xí)主體更深層次地思考。其次，在解完一道題后可引導(dǎo)學(xué)生反思此類問題有無規(guī)律可循，或改變條件或結(jié)論，以探索新命題，即進行變式教學(xué)。通過多題一解、一題多解、一題多變、一法多用的變式教學(xué)，學(xué)生能夠掌握解決一類問題的方法、深刻了解各知識點之間的聯(lián)系，促使學(xué)生反思解題規(guī)律，做到舉一反三，觸類旁通。最后，還需引導(dǎo)學(xué)生思考：解題結(jié)果是否合理？解題過程有沒有漏洞？這樣，不僅能鞏固知識，減少解題的錯誤，更重要的是發(fā)展思維，培養(yǎng)探索能力，引發(fā)再創(chuàng)造。

1.利用一題多解，發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維能力和創(chuàng)造思維能力。

案例6：設(shè)M是三角形ABC內(nèi)一點，且三角形ABC的面積是1，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是三角形ABC，三角形MBC，三角形MCA的面積，若f（M）=（1，x，y），則+的最小值為 .

學(xué)生A：因為x+y=1≥2，所以xy≤，

而+≥2=≥2，（*）

所以+有最小值2.

教師：基本不等式≤在用時要注意哪幾個條件？

學(xué)生根據(jù)反思“一正二定三相等”的三個條件，知道出錯的原因是（*）中兩個等號不能同時取到.

學(xué)生B：因為x+y=1，設(shè)x=cosθ，y=sinθ，θ∈（0，），

則+=+=…

教師：利用三角換元，不錯！誰能繼續(xù)？

學(xué)生C：因為x+y=1，設(shè)1+3x=t，

+=+==…

教師：想到換元，非常好！誰來繼續(xù)？

學(xué)生D：因為x+y=1，設(shè)1+3x=t，

+=+==≥=9，

當(dāng)且僅當(dāng)t=，即t=2，x=，y=時有最小值9.

學(xué)生E：因為x+y=1，

+=（+）（x+y）=5++≥5+2=9，

當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=，y=時有最小值9.

教師：不錯，巧用“1”的代換，創(chuàng)造性地使用了基本不等式的條件，使問題很快得到了解決。

學(xué)生F：+=+=+

=5++≥5+2=9

當(dāng)且僅當(dāng)=，即sinθ=，即x=，y=時有最小值9.

在學(xué)生嘗試的過程中，教師沒有急著去“啟發(fā)”，“點破”，而是順應(yīng)學(xué)生的思維，充分展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程。通過一題多解的探索，促使學(xué)生展開思維廣泛聯(lián)想，同時有利于學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本方法的融會貫通。這時，由于學(xué)生有了親身經(jīng)歷，教師再從中點評，提煉知識、方法、思想，比教師單純地講解效果當(dāng)然要好得多。學(xué)生也從中體會到最優(yōu)的解法，優(yōu)化了自己的思維。

2.充分應(yīng)用變式提升學(xué)生的思維層次。

在概念教學(xué)時，注重對概念進行變式，也就是通過變換概念的非本質(zhì)屬性來突出概念的本質(zhì)屬性，或者通過“非概念變式”來明確概念的外延。在每個概念教學(xué)之后，設(shè)置幾個小題，對概念進行辨析鞏固。

案例6：比如對于對數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)，我們設(shè)置了如下小題：

①y=2logx，y=log是不是對數(shù)函數(shù)？

②函數(shù)y=logx的定義域是 （其中a＞0，a≠1）；

③函數(shù)y=log（4-x）的定義域是 （其中a＞0，a≠1）。

解題時運用變式可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，思維的廣闊性史發(fā)散思維的一個特征。思維的狹窄性表現(xiàn)在只知其一不知其二，稍有變化，就不知所云。進行一式多變的訓(xùn)練，是幫助學(xué)生克服思維狹窄性的有效辦法。

案例7：在高三復(fù)習(xí)課上，關(guān)于求解含參數(shù)問題，我設(shè)置了變式題組，引導(dǎo)學(xué)生的思維步步深入。

已知函數(shù)f（x）=（a-）x+ln x（a∈R）

變式題組一：

（1）當(dāng)a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）若f（x）在［1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

（3）若f（x）在［1，+∞）上有極值，求a的取值范圍.

（4）若f（x）在［1，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

（5）若f（x）的單調(diào)區(qū)間為［1，+∞），求a的取值范圍.

（6）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

變式題組二：

（7）求f（x）在［1，e］上的最大值.

（8）若f（x）在［1，e］上的最大值為1，求a的值.

變式題組三：

（9）若f（x）的曲線存在垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.

（10）若在區(qū)間［1，+∞］上，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍.

總之，學(xué)生通過反思自己的思維過程，可以對自己的思考過程得到元認(rèn)知的洞察力。因此，堅持讓學(xué)生自己獨立思考，強調(diào)隨時對思維過程進行反思，是增強課堂教學(xué)效果、發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵措施。及時地提供反饋信息，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)反饋信息，不斷地進行反思，從而使學(xué)生在各個不同的程度上了解自己學(xué)習(xí)新知識的方法和掌握新知識的程度，促進多數(shù)學(xué)生及時采取補救措施，全面提高教學(xué)質(zhì)量。在“反思”的教學(xué)中，教師上課不再是“一言堂”，而是常常讓學(xué)生參與，讓學(xué)生發(fā)表見解，因而學(xué)生的主體性得到很好的體現(xiàn)。教師在聆聽中，經(jīng)常得到啟迪，誘發(fā)教學(xué)反思，進而不斷地改進教法，增強教學(xué)的有效性。

參考文獻：

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