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        數(shù)列中的“鵲橋”

        2012-04-29 00:00:00龍影
        考試周刊 2012年18期

        數(shù)列{a}的通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S的綜合問(wèn)題,是數(shù)列中的一類(lèi)熱點(diǎn)問(wèn)題.解答此類(lèi)問(wèn)題,須在a與S之間架起一座“鵲橋”,使二者能互相轉(zhuǎn)化,能擔(dān)此重任者是關(guān)系式a=S,n=1S-S,n>1,大凡a與S的綜合問(wèn)題,都要用這個(gè)“鵲橋”公式解答,下面舉例說(shuō)明.

        一、已知S求a

        例1:已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S=2+n,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        分析:運(yùn)用關(guān)系式a=S,n=1S-S,n>1求解,不要忘記檢驗(yàn)a.

        解:因?yàn)镾=2+n,所以當(dāng)n>1時(shí),a=S-S=2+n-(2+n-1)=2+1.

        又因?yàn)閍=S=2+1=3,而2+1=2≠a,所以a不適合a=2+1.

        所以a=3,n=12+n,n>1.

        評(píng)注:已知S,可用a與S的關(guān)系式a=S,n=1S-S,n>1求a.求解時(shí),一個(gè)常見(jiàn)錯(cuò)誤就是忽視檢驗(yàn)a是否適合求出的通項(xiàng)公式.要避免此類(lèi)錯(cuò)誤,同學(xué)們要牢記:a的“真值”是S,因?yàn)檫@個(gè)值是已知條件賦予的.若a的值不適合求出的通項(xiàng)公式,則需把通項(xiàng)公式分段表示.

        二、已知a與S的關(guān)系式求S

        例2:已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,a=2,S=(n+1)a(n∈N),求S.

        分析:用a=S-S代換其中的a,從而消去a,進(jìn)而可求S.

        解:把a(bǔ)=S-S代入S=(n+1)a,得S=(n+1)(S-S),整理得=.

        所以··…·=··…·=,所以=.

        又因?yàn)镾=a=2,所以S=n+1.

        評(píng)注:已知a與S的關(guān)系式求S,只需用a=S-S代換其中的a,從而消去a,把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于S的遞推式,即可求數(shù)列{S}的通項(xiàng)公式,這個(gè)通項(xiàng)公式即為S的表達(dá)式.

        三、已知a與S的關(guān)系式求a

        例3:已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,且滿(mǎn)足S=2a-2(n∈N),則a= .

        分析:欲求a,需消去S,可根據(jù)S=2a-2再寫(xiě)出一個(gè)式子S=2a-2,然后兩式作差,即可消去S,進(jìn)而可求a.

        解:因?yàn)镾=2a-2①,所以S=2a-2(n>1)②,①-②得a=2a-2a,即a=2a(n>1),所以數(shù)列{a}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,由S=a=2a-2,解得a=2.

        所以a=2.

        評(píng)注:已知a與S的關(guān)系式求a,只需寫(xiě)出當(dāng)n=n-1時(shí)的關(guān)系式,然后用條件式減此式,再運(yùn)用關(guān)系式a=S,n=1S-S,n>1消去S,進(jìn)而求a.在此類(lèi)問(wèn)題中,雖然也有n>1這一要求,但無(wú)需檢驗(yàn)a.這是因?yàn)?,由求解過(guò)程可知,a已經(jīng)是這個(gè)等比數(shù)列的一項(xiàng)了,它一定適合這個(gè)通項(xiàng)公式.若上述求法不能奏效,則可先用例2的方法求S,再代入a與S的關(guān)系式求a.

        四、轉(zhuǎn)化條件式

        例4:設(shè)等比數(shù)列{a}的公比為q,前n項(xiàng)和為S,若S,S,S成等差數(shù)列,則q的值為 .

        分析:S,S,S成等差數(shù)列,即S-S=S-S,把此式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系式,即可求公比.

        解:因?yàn)镾,S,S成等差數(shù)列,所以S-S=S-S,所以-a=a+a,所以-2a=a,所以q==-2.

        評(píng)注:本題若用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答,不但十分繁瑣,還要就q=1和q≠1進(jìn)行討論,而用a和S關(guān)系式解答,避免了小題大做,十分簡(jiǎn)捷.

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