解決某些數(shù)學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識放大考查問題的角度，將要解決的問題看做一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或做整體處理以后，達到順利而又簡單地解決問題的目的，這就是整體思想.整體思想的主要表現(xiàn)形式有：觀察全局、整體代入、整體加減、整體聯(lián)想、整體補形，等等.它是一種重要的數(shù)學觀念，一些數(shù)學問題，若拘泥常規(guī)，從局部入手，則舉止維艱；若整體考慮，則暢通無阻.同時它又能培養(yǎng)學生思維的靈活性、敏捷性.整體思想作為重要的數(shù)學思想之一，我們在解題過程中經(jīng)常使用，那么在數(shù)學解題中如何巧妙運用呢？下面我結(jié)合教學實踐來談一談.

一、觀察全局

觀察全局，就是從全局上對已知條件進行觀察分析，綜合考慮，從而得出解決問題的途徑.

例1．若實數(shù)x滿足y=2003+2004+2，則xy=?搖 ?搖.

分析：僅從局部來看，覺得這是一個二元方程，x、y不能解得.從全局來看，式子要有意義，實數(shù)x需滿足2x-3≥0，3-2x≥0，進一步得到x=，y=2，xy=3.

例2．已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，則k的取值范圍是?搖 ?搖.

分析：本題如果直接解方程求出 x、y，再帶入0＜x+y＜3肯定比較麻煩，注意到條件中x+y是一個整體，因而我們只需求得x+y，通過整體的加減即可達到目的.

解：將方程組的兩邊分別相加，得：3（x+y）=5k+3，所以x+y=k+1，從而得0＜k+1＜3，解得-＜k＜.

二、整體代入

有些習題，如果孤立地利用條件，問題雖可以得到解決，但解題過程比較復雜；但如果把所有已知條件看做一個整體，直接或變形以后代入所求，問題就容易解決多了.

例3．已知+=3，求的值.

分析：根據(jù)條件顯然無法計算出x、y的值，只能考慮在所求的代數(shù)式中構(gòu)造出+的形式，再代入求解.

解：===

本題亦可將條件+=3變形得：x+y=3xy，而===.

例4．若a-2a=b-2b=1，且a≠b，則+=?搖 ?搖.

分析：本題若按常規(guī)解法，從已知條件中解出a、b的值，代入計算就太繁了.運用整體思想，則可考慮a、b是方程x-2x=1的兩個解.

由韋達定理可得：a+b=2，ab=-1，∴+===-6.

例5．關于x的一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1，求a的取值范圍.

分析：此題如果運用根的判別式和韋達定理，解答此題比較困難.整體考慮，把一元二次方程x+（a-1）x+a-2=0與二次函數(shù)y=x+（a-1）x+a-2聯(lián)系起來，利用二次函數(shù)的圖像來解題，則顯得很直觀，也較為容易.

解：由題意知，拋物線與x軸的交點坐標，一個交點在（-1，0）的左邊，另一個交點在（1，0）的右邊，拋物線開口向上，則可得：

當x=1時，y＜0;當x=-1時，y＜0，即

a+a-2＜0a-a＜0，∴-2＜a＜0.

說明：（1）因為當x=1，x=-1時，y＜0，所以解題過程中不必再考慮△＞0了.

（2）利用函數(shù)與圖像整體考查是解決涉及方程（不等式）有關根的問題有效方法之一，在數(shù)學教學中應當引起足夠的重視.

三、整體換元

整體換元就是通過研究新元性質(zhì)來解決問題，此法常用于分解因式及解方程.運用整體換元，可以把一個龐雜的式子轉(zhuǎn)化為一個條干清晰簡單易解的新式子.

例6．分解因式（x-3x+2）（x-3x-4）-72

分析：注意題目的形式特征，把某一部分（可設x-3x=y）看做一個整體，運用整體換元，把原方程化為形如x+px+q的二次三項式，進一步用十字相乘法，最后注意分解要徹底.如果把（x-3x+2）和（x-3x-4）相乘，就會得到一個四次多項式，這時再分解就困難了.

例7.解方程（）-5（）+6=0

分析：此題若將看成一個整體，對方程左邊分解因式，可較簡便地解出.

解：設=y，則原方程可化為y-5y+6=0，∴y=2，y=3，∴x=2，x=經(jīng)檢驗，∴x=2，x=是原方程的根.

說明（1）對于某些方程，如果項中含有相同部分（或部分相同）可把它看做一個整體，用整體換元進行代換，從而簡化方程及解題過程.

（2）利用整體換元，我們還可以解決形如+=這樣的方程，只要設=y，從而將方程變形為3y+=，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解.

四、局部補全

有些題設條件故意提供一個局部圖形，來混淆解題者的思維，但如果把局部圖形補全，通過對整體圖形的研究，正確的解題思路就能浮出水面.

例8．如圖，正方形ABCD的邊長為4，以BC為直徑的半圓O與以D為圓心、DA為半徑的圓弧相交于E，則CE的長為（ ）

A. B.5 C. D.

分析：把局部圖形補全，這實際上是一個兩圓相交求公共弦長的問題，連接連心線OD交CE于F，OD垂直平分CE，在Rt△OCD中，OC=2，CD=4，OD=2；則利用面積相等可得CF=，CE=.所以選C.

例9．已知：AO是△ABC的∠A的平分線，BD⊥AO的延長線于D，E是BC的中點，求證：DE=（AB-AC）.

分析：觀察圖形，AO是∠A的平分線，BD⊥AO，易想到凹五邊形ABDOC是等腰△ABF的一部分，補形后，中點D顯露無遺，問題順利得到解決.

證明：延長BD、AC相交于F，∵AD平分∠BAF，AD⊥BF，∴△ABF是等腰三角形，且AB=AF，BD=DF.∵BE=EC，DE是△BCF的中位線.∴DE=CF=（AF-AC）=（AB-AC）.

五、化整為零

化整為零，就是化部分為整體，避免分散計算處理，在很多幾何習題中，如果把所求部分進行單個計算，問題就無法獲解.只有把所求部分看做一個整體，進行合理轉(zhuǎn)化，才能得出答案.

例10．如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC上的一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的長.

分析：由已知條件并不能求得PE、PF的長，我們把PE+PF的值看成一個整體.由題設條件可知：Rt△BPE∽Rt△BDC，∴=，Rt△CPF∽Rt△CAB，∴=，∴==，∴PE+PF=4.8.

例11．已知五個半徑為1的圓的位置如圖所示，各圓心的連線構(gòu)成一個五邊形，求陰影部分的面積.

分析：由于五邊形不具備特殊性，因此各個扇形的圓心角的度數(shù)均未知，從而不能分別求出各個扇形的面積，為此，要求陰影部分的面積就要將幾個陰影部分（五個扇形）整體考慮.注意到五邊形內(nèi)角和為720°，又因為各個扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為兩個半徑為1的圓的面積.

整體思想在數(shù)學解題中的應用，不僅僅局限于上述的幾種類型，還涉及其他的各種題型，只有通過不斷地挖掘、歸納、提煉，才能更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，從而使問題迎刃而解.用整體思想解題不僅解題過程簡潔明快，而且富有創(chuàng)造性.有了整體思想的意識，在思考問題時，能使復雜問題簡單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過程.同時，強化整體思想觀念，靈活選擇恰當?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功.