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        把“根”鎖住

        2012-04-29 00:00:00湯小青
        考試周刊 2012年18期

        有這樣一類問題:已知一個含參方程(函數(shù)),它的根(零點)在區(qū)間(a,b)上,求其中參數(shù)的取值范圍.換言之,求出了參數(shù)的取值范圍,即可把方程的根(函數(shù)的零點)牢牢地鎖在區(qū)間(a,b)上,故我們把這類問題稱為“鎖根(零點)問題”.下面就來探討一下如何把方程的根(函數(shù)的零點)鎖住.

        一、用f(a)·f(b)<0鎖根

        已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù),且它的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,若函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點,則f(a)·f(b)<0.利用這個結(jié)論,我們可以在已知方程(函數(shù))在區(qū)間(a,b)內(nèi)有根(零點)的前提下,解不等式,求參數(shù)的取值范圍.

        例1:若函數(shù)f(x)=ax-2(a≠0)的零點在區(qū)間(0,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是 .

        分析:無論a<0還是a>0,若函數(shù)在區(qū)間(0,2)上有零點,都會有f(0)·f(2)<0,解此不等式,即得實數(shù)a的取值范圍.

        解:依題意,可得f(0)·f(2)<0,即-2(2a-2)<0,即a-1>0,解得a>1.

        所以,實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).

        解法秀:利用f(a)·f(b)<0鎖零點,是建立在函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的基礎(chǔ)上的,因為一次函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定是單調(diào)函數(shù),所以直接利用f(a)·f(b)<0鎖零點即可.

        二、用函數(shù)性質(zhì)鎖根

        對于二次函數(shù),這個我們比較熟悉的函數(shù),可以借助它的對稱性、單調(diào)性、開口方向等性質(zhì)鎖定其零點.

        例2:已知函數(shù)f(x)=x+2x-m有兩個小于1的不同零點,求m的取值范圍.

        分析:因為函數(shù)f(x)=x+2x-m圖像的對稱軸為直線x=-1,所以它的兩個小于1的零點應分別在(-∞,-1)和(-1,1)內(nèi),故只需利用f(a)·f(b)<0鎖定較大的零點即可.

        解:因為函數(shù)f(x)=x+2x-m圖像的對稱軸為直線x=-1,所以要使函數(shù)有兩個小于1的不同零點,只需f(-1)=-1-m<0f(1)=3-m>0,解得-1<m<3,即m的取值范圍是(-1,3).

        解法秀:兩個不同零點都小于某個數(shù)k,即兩個零點都在區(qū)間(-∞,k)內(nèi),只要鎖定了較大的零點,較小的零點也就被鎖在區(qū)間(-∞,k)上了.本題是利用函數(shù)與不等式鎖定方程的根問題,其中,函數(shù)的主要作用是提供圖像,直觀確定m應滿足的條件,不等式的主要作用就是求出m的取值范圍.一般地,鎖定二次函數(shù)的零點(方程的根)問題需考查以下三方面:根的判別式△、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的符號.對于某些鎖根問題,也可只考慮其中的兩方面或一方面.至于應該考查幾方面,觀察圖像便可一目了然.

        三、用函數(shù)圖像鎖根

        對于由基本初等函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)(方程),我們可借助相關(guān)函數(shù)的圖像鎖定其零點.

        例3:若方程logx-=0(a>0,且a≠1)的根在區(qū)間(0,1)內(nèi),則a的取值范圍是 .

        分析:因本題中的函數(shù)不再是二次函數(shù),顯然不能再用上面的方法解答,鑒于a的情況只有兩種:0<a<1,a>1,故考慮借助函數(shù)圖像直觀確定.

        解:如圖1,在同一坐標系中,分別作出函數(shù)y=、y=logx(0<a<1)、y=logx(a>1)的圖像.觀察圖像,可得只有當0<a<1時,函數(shù)y=logx和y=的圖像的交點的橫坐標在區(qū)間(0,1)內(nèi),即方程logx-=0(a>0,且a≠1)的根在區(qū)間(0,1)內(nèi).所以a的取值范圍是(0,1).

        解法秀:當函數(shù)的單調(diào)性不易判定時,我們不能貿(mào)然用f(a)·f(b)<0鎖根,可借助函數(shù)圖像解答.

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